关于多元函数可微性充分条件的一点注记

关于多元函数可微性的充分条件,在许多有关教材和参考书中是这样写的(以二元函数为例): 假定函数U=f(x、y)的偏导数f′_x及f′_y在点P_0(x_0、y_0)连续,则函数在该点可     

条件极值的一个充分条件

设函数f(x,y,z)与φ(x,y,z)在空间区域Ω上具有二阶连续偏导数,讨论了函数ω=f(x,y,z)在条件φ(x,y,z)=0下取得极值的充分条件及其推广.     

Newton—Leibniz公式的推广

<正>在一般的高等数学或数学分析教科书中,著名的Newton-Leibniz公式由下述形式给出:定理设f(x)在[a,b]上连续,若在[a,b]上存在一可微函数F(x),使得F＇(x)=f(x).则本文的目的是给出该定理的一种推广形式,即将上述定理中的F＇(x)=f(x)换成f(x)是关于单调增加函数g(x)的导数,得到了与Riemann—Stieltjes积分有关的更一般的结论,并以上述定理为其特例.     

多变量函数的可微性

本文论证 n 变量函数可微的充要条件,怀莱布然(de la Vall'ee Poussin)在差分的观点上建立二元函数可微的充要条件,即二元函数 F(x,y)在点 P(x,y)处可微的充要条件为i)函数 F(x,y)在点 P(x,y)处具有确定而有限的偏导数;ii)函数 F(x,y)的第二差分Δ~2F=F(x+h,y+k)-F(x,y+k)-F(x+h,y)+F(x,y)是的无穷小量.但是奥斯脸罗斯基(A.Ostrowski)引用均匀可导的概念建立二元函数可微的主要条件,即二元函数 F(x,y)在点 P(x,y)处可微的主要条件为函数 F(x,y)在点 P(x,y)处对 x 及 y 都是均匀可导:本文首先叙述 n 变量函数 K 度均匀可导的定义,借此来推广奥斯脱罗斯基定理,再通过条件等价性的论证来推广怀莱布然的定理.一、n 变量函数 R 度均匀可导的定义二、奥氏条件的推广三、奥氏条件和怀氏条件的扩充四、和奥氏条件等价对怀氏条件的扩充(一)五、和奥氏条件等价对怀氏条件的扩充(二)     

偏导数在二元函数微分学中的应用

讨论了二元函数中偏导数与连续的关系,即一阶偏导数有界时,则函数连续,对二元函数可微的充分条件是fx,fy在(x0,xy)必须连续以及偏导数相等中fxy,fyx在(x0,y0)连续条件的减弱,得出新定理     

关于单演性条件

关于单复变函数在一区域内为全纯的条件,Looman和Менбщов在1923年曾证明了定理[1]:当f(z)=u(x,y)+iv(x,y)(以后简写为f=u+iv),其中z=x+iy,在域G上连续,并且u,v在域G除了至多可数个点以外都具有通常意义下的对x,y的一阶偏微商,假若Cauchy-Riemann条件在G上几乎处处成立,则f(z)在G中全纯。后来Г.П.Толсвом在1942年证明了[2]Montel所提出的将f(z)在G上连续改为有界的条件后定理仍然成立,他     

预不变拟凸函数的一个充分条件

对于可微的函数,其二阶导数可以刻画函数的凸性.受这种思想的启发,邢志栋等人根据微分方程的极值原理给出了拟凸函数的一个充分条件,本文利用文献[1]中建立的定理1,给出了二次可微的预不变拟凸函数的一个充分条件.X关于η(x,y)为不变凸集,二次连续可微函数f(x)满足条件D,η(x,y)满足条件C且η(x,y)下有界,若(A)x∈X,2f(x) g(x)f(x)T是半正定的(其中g(x):X(∩-)Rn→Rn是下有界函数),则f(x)关于η(x,y)是预不变拟凸函数.本文的结论是对文献[2]中相应结论的推广.     

浅谈高等数学概念之间联系的教学体会

在高等数学的教学中,把概念讲解清楚,使学生理解透切,是一件不容易的事。在讲解完一些相关的概念后,使学生掌握这些概念、命题之间的区别和联系则更为困难。如何来进行这一带有总结性的教学工作呢?下面我从三个方面,谈谈怎样引导学生去总结出它们之间联系的一般性结论。今仅以二元函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)处连续、可微、偏导数存在及偏导数连续这四个概念(或命题)之间的联系为例,加以说明。     

(λ,k)型双解析函数

如果u,v,θ,ω是x,y的连续可微函数,并且适合于方程1组1/k ?u/?x-?v/?y=θ?u/?y 1/k ?v/?x=ωk?θ/?x λ?ω/?y=0k?θ/?y-λ?ω/?x=0 这儿λ,k是实常数,λ≠0,0相似文献   

二元函数极值点判定的充分条件新证

利用多元函数的偏导数与方向导数的概念给出二元函数以f（x,y）的方向导数及其几何意义,然后进一步给出了二元函数沿任意方向L的二阶方向导数Э2f/Эl2再利用其表示的几何意义给出证明二元函数以f（x,y）的极值,最判定定理的一种新方法．     

导函数的极限、连续与函数在一点处的可导性

函数y=f(x)的导函数f＇(x)由原函数f(x)派生,本文试图通过对f＇(x)的存在、极限和连续之间关系的讨论,为某些有关问题的求解提供有效而简便的方法。     

关于尤格定理的推广

尤格(Юнга)定理是这样叙述的:“设函数,(x,y)对分量x、y分别是连续的,而且对其中一个分量是单调的,则f(x,y)是连续函数。”我们现在把这个定理推广到n维向量函数。和二维空间一般正度量函数。定理1 设函数f(x)对各个分量分别连续,对其中n-1个分量分别单调,则f(x)是连续函数。证明当n=a时,由尤格定理知是成立的。下面用数学归纳法来证明。假设任意,n-1维的向量函数f(x)(其中x=(x_1,x_2,…,x_n-1))如果对每个分量连续,对其中n-2个分量分别单调,则f(x)连续。然后来推导:任意n维向量函数f(x)(x=(x,x,)),如果对每个分量连续,对其中n-1个分量分别单调,则f(x)连续。     

一类完全三阶常微分方程边值问题的正解

用锥上的不动点指数理论与导数估计技巧,研究完全三阶边值问题{-u′′′(t)=f(t,u(t),u′(t),u″(t)),t∈[0,1],u(0)=u′(0)=u″(1)=0正解的存在性,其中f:[0,1]×R_+~3→R_+连续.在f(t,x,y,z)满足|(x,y,z)|充分小或充分大时的一些不等式条件下,得到该方程正解的存在性结果,这些不等式条件允许f(t,x,y,z)关于x,y,z超线性或次线性增长.     

关于一阶隐方程解的唯一性

在一般的常微分方程教科书中,例如在最近重印的艾利斯哥尔兹著《微分方程》中,关于一阶隐方程解的唯一性定理的证明是不严格的。这种证法不仅不利于读者正确掌握一阶隐方程的唯一性定理,而且又会引起对数学分析中隐函数存在唯一性定理的误解。因此,我们认为有必要指出这个问题,以引起注意。在数学分析中,学习隐函数定理时,我们知道,仅有函数F(x,y,z)满足条件:F(x_0,y_0,z_0)=0;在点(x_0,y_0,z_0)的某个邻域内,F(x,y,z)连续,且对每个自变量有连续的偏导数;F:′(x_0,y_0,z_0)≠0,还不能保证隐函数的唯一性。一般来说,在上述条件下,满足方程F(x,y,z)=0和条件     

微分方程解对初值可微性定理的简证

定理:若函数f(x,y)以及(?)都在区域G内连续,则方程(dx)/(dx)=f(x,y)的解y=(?)(x,x_0,y_0)作为x,x_0,y_0的函数,在它存在范围内有连续编导数(?)。一般教科收都是直接利用编号数定义来求,其过程相当繁琐,今给出一种简单的证法。     

二元函数的可积性澌论

本文应用有限复盖定理,对二元函数可积的充分性给出了两个新结论.定理1 设f(x,y)是定义在有界闭区域D={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d}上的有界函数.若f(x,y)在D上对y关于x一致连续,对x只有第一类间断点,则f(x,y)在D上可积.定理2 设f(x,y)是定义在有界闭区域D={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d}上的有界函数.f(x,y)在D上有无穷多个间断点,但对(?)(x_0,y_0)∈D,极限(?) f(x,y)都存在,则f(x,y)在D上可积.     

二元函数连续的一个判定定理

我们在研究二元函数f(x,y)在D内的连续往往是较复杂,但它关于x和y的连续性往往很明显,因而在此基础上另附加条件,可确定f(x,y)的连续性,这方面已有几个结论,本文也试着给出一种结论。先叙述大家熟知的几个定理: Th1.若f(x,y)在D内分别对于x和y连续,且关于一个变量一致连续,则f(x,y)在D内连续。 Th2.若函数f(x,y)在D内分别对于x和y连续,且对任意固定的x,f(x,y)是y的单     

无约束最优化问题的一族秩1算法及其性质

本文所讨论的无约束最优化问题是minf(x)。如果目标函数f(x)有一阶偏导数, x∈R~n那么记f(x)在点x处的梯度为g(x)。如果已得到序列{x_k},那么用g_k表示g(x_k)。设H_k为Hessian阵G(x)的第k次近似。本文所给出的秩1校正公式为:     

严格不变拟单调性

本文对严格拟单调进行推广,定义了严格不变拟单调:设K为Rn中的不变凸集,η:Rn×Rn→Rn,如果f是不变拟单调的,且对x,y∈K,x≠y,存在z∈{y λη(x,y):λ∈(0,1)},使得η(x,y)Tf(z)≠0,则称f为集合K上相对于η的严格不变拟单调映射.并建立了严格不变拟单调与严格预拟不变凸之间的关系:设K为Rn中的不变凸集,f是K上的可微函数,η:Rn×Rn→Rn,如果η满足文中所述条件1,则f是集合K上相对于η的严格预拟不变凸函数的充分必要条件是f是集合K上相对于η的严格不变拟单调,且对所有x,y∈K,有f(y)≤f(x)f(y η(x,y))≤f(x)成立.     

曲面的几个重要性质之间的内蕴关系

探讨了曲面的对称性、凸凹性、极值之间的内蕴关系，得到如下结果：①曲面z=f(x,y）关于z轴对称且严格凸（凹）时，一定在（0，0）点取得极大（小）值；②连续可微曲面z=f(x,y）关于z轴对称且在（0，0）点取得极大（小）值，则曲面是凸（凹）的；③曲面z=f(x,y)在（0，0）点取得极大（小）值是凸（凹）的，但z=f(x,y)不一定关于z轴是对称的。