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1.
设S={x1,…,xn}是由n个不同元素组成的正整数集合,f是一个算术函数.用(f(S))=(f(xi,xj))表示一个n×n的矩阵,其(i,j)项为f在xi与xj的最大公因子(xi,xj)处的取值,用(f[S])=(f[xi,xj])表示另一个n×n的矩阵,其(i,j)项为f在xi与xj的最小公倍数[xi,xj]处的取值.若xi与xj的最大公因子(xi,xj)=k,1≤i≠j≤n,则称S是k-集合.本文主要给出了定义在k-集合上的矩阵(f(S))和(f[S])的行列式的计算公式.进而作为推论给出了det(f(S))|det(f[S])的条件. 相似文献
2.
何聪 《达县师范高等专科学校学报》2004,14(5):8-9
设S={x1,……,xn}是由n个不同正整数组成的集合,ε∈Z ,如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元xi,xj的最大公因数(xi,xj)的ε次幂(xi,xj)ε,就称这个矩阵是定义在S上的最大公因数的ε次幂矩阵,简记为(S)εn;如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元xi,xj的最小公因倍数[xi,xj]的ε次幂[xi,xj]ε,就称这个矩阵是定义在S上的最小公倍数的ε次幂矩阵,简记[S]εn为.如果S中元素满足1≤i≤j≤n有xi|xj,就称S是一个因子链.研究了对ε∈Z ,定义在任意因子链S上的幂矩阵(S)εn和[S]εn的行列式det(S)εn与det[S]εn间的整除性. 相似文献
3.
设f是算术函数,S={xl,x2,…,xn}是一个n元正整数集.(f[xi,xj])表示一个n阶方阵,它的i行j列处的元素为函数厂在[xi,xj]处的取值,其中[xi,xj]为xi和xi的最小公倍数.作者证明了对于某个算术函数类,若f是一个半乘法函数且1/f属于这个函数类,则矩阵(f[xi,xj])是半正定的,进而给出了其行列式的明确的下界和上界.若以f^(c)表示函数f的c重狄利克雷乘积,则矩阵1/f^(c)[xi,xj]也有类似的结论. 相似文献
4.
定义在两个拟互素因子链上与算术函数相关联矩阵的行列式 总被引:1,自引:0,他引:1
对于任意给定整数x和y ,用(x,y)表示x和y的最大公因数,[x,y]表示x和y最小公倍数。设S={x1,…,xn}是由n个不同元素组成的正整数集合,f是一个算术函数。用(f(S))=(f(xi ,xj ))表示一个n×n的矩阵,其(i,j )项为f在(xi ,xj )处的取值,用(f[S])=(f[xi,xj ])表示另一个n×n的矩阵,其(i,j)项为f在[xi,xj ]处的取值。若存在集合{1,2,…,n}上的置换σ满足xσ(1)|…|xσ(n),则称S是一个因子链。若S能分解成S=S1∪S2,其中S1,S2都是因子链,且S1中最大的元素与S2中最大的元素的最大公因子等于集合S的最大公因子,则称S为两个拟互素因子链集。本文给出了定义在两个拟互素因子链上的矩阵(f(S))和(f[S])的行列式的计算公式。 相似文献
5.
李懋 《四川大学学报(自然科学版)》2007,44(4):779-781
设S={x1,…,xn}是由n个不同正整数组成的集合,e是一个实数. 如果对所有的1≤i,j≤n,有(xi,xj)∈S,则称S是最大公因子封闭的(GCD-closed).第i行j列元素由xi和xj的最小公倍数的e次幂[xi,xj]e 构成的n×n 阶矩阵([xi,xj]e)称为定义在S上的e次幂LCM矩阵. 作者证明了如果e≥1并且n≤7, 那么定义在最大公因子封闭集S上的幂LCM矩阵([xi,xj]e)是非奇异的,从而证明了洪绍方教授2004年提出的一个猜想当n≤7,e≥1时是正确的. 相似文献
6.
设S={x1,x2,…,xn}是n个正整数组成的集合,a是正整数.如果一个n阶矩阵的第f行第j列的元素定义为(-1)i+j(xi,xj)a,其中(xi,xj)a表示S中的元素xi与xj的最大公因数的a次幂,则称这个矩阵是定义在S上的a次交错幂GCD矩阵,用(ASa)表示.类似可定义a次交错幂LCM矩阵ASa].作者证明... 相似文献
7.
设S={x1,…,xn}是由n个不同正整数组成的集合.第i行j列元素为xi和xj的最小公倍数[xi,xj]的n×n阶矩阵([xi,xj])称为定义在S上的LCM矩阵.如果对所有的1≤i,j≤n,有(xi,xj)∈S,称S是最大公因子封闭的(gcd closed).作者考虑了方程11+1(y2,y3)=0[y1,y2,y3,y4]-∑4(y1,y3)+1(y1,y2)+1yii=1的二次幂整数解,证明了对于给定的整数x,如果用ω(x)表示x的不同素因子的个数并令y=[y1,y2,y3,y4],那么当ω(y)<4时,方程没有t(≥2)次幂整数解,并且给出ω(y)=4时方程有二次幂整数解的必要条件.进一步证明了y≤1334025时方程无二次幂整数解. 相似文献
8.
最大公因子封闭集上幂矩阵行列式的整除性 总被引:4,自引:4,他引:0
设S=x1,x2,...,xn是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a≥1.如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素xi和xj的最大公因数的a次幂(xi,xj)a,则称该矩阵是定义在S上的a次幂GCD矩阵,用(Sa)表示.类似可定义幂LCM矩阵[Sa].作者证明了:若S是由n个不同的正整数组成的一个最大公因子封闭集,且a|b,如果n≤3,那么det[Sa]|det[Sb],det[Sa]|det[Sb];如果max{xi}xi∈S<12,那么det[Sa]|det[Sb],det[Sa]|det[Sb]. 相似文献
9.
曹炜 《四川大学学报(自然科学版)》2004,41(6):1124-1131
一个含有n个不同正整数的集合S={xt,…,xn}称为是gcd闭的,如果S中任两个整数的最大公因子也在S中,洪绍方在2002年猜想:对于给定的一个正整数t,存在一个仅由t决定的正整数k(t),使得当n≤k(t)时,定义在任意gcd闲集S={xt,…,xn}上的幂LCM矩阵([xi,xj]^t)是非奇异的;而当n≥k(t) 1,则存在一个gcd闭集S={xt,…,xn},使得定义在其上的幂LCM矩阵([xi,xj]^t)奇异,洪于1999年证明了k (1)=7,在本文中,作者证明了若t≥2,则有k(t)≥8. 相似文献
10.
设S={x1,x2,…,xn}是惟一分解整环R上的不同元素构成的集合,e≥1是一个正整数.(xi,xj)和[xi,xj]分别表示xi,xj的最大公因子和最小公倍数.S称为因子封闭集(简称FC集),如果对S中的任何元xi,它的任意一个因子是S中的一个元的相伴元.以(xi,xj)的P次方为i行j列元素的矩阵称为GCD幂矩阵,记为(S^e);以[xi,xj]的e次方为i行j列元素的矩阵称为LCM幂矩阵,记为[S^e].作者证明了若S是FC集,则(S^e)整除[S^e],即[S^e]等于(S^e)与R上另一个矩阵的乘积,推广了Bourque和Ligh在1992年所得的结果. 相似文献