关于LCM方程的李-曹猜想的注记

在研究Hong关于定义在gcd封闭集上的幂LCM矩阵［Se］(e为正整数)的非奇异性的一个猜想时,李和曹研究了如下的不定方程(称为LCM方程)：1lcmy1,y2,y3,y4-4i=11yi+1gcd(y1,y2)+1gcd(y1,y3)+1gcd(y2,y3)[SX)]=0.他们首先证明了当ω(y)＜4时,方程无解,这里y=lcm［y1,y2,y3,y4］,ω(y)表示y的不同素因子的个数;然后他们给出ω(y)=4且y=p21p22p23p2m4时,方程有2次幂整数解的必要条件,这里pi为不同素数,m≥1;根据这些必要条件他们接着验证了方程当y≤1 334 025时没有2次幂整数解;最后他们提出猜想：若n≤9,则定义在gcd封闭集S={x1,…,xn}上的平方LCM矩阵［S2］是非奇异的,即LCM方程没有2次幂整数解.本文作者推广了李-曹关于LCM方程有2次幂整数解的研究：首先给出了当ω(y)=4且y=p2m11p2m22p2m33p2m44时,方程有2次幂整数解的必要条件,并给出了当ω(y)≥4时,方程解的表达式(如果存在的话),这里pi为不同素数,mi≥1;然后根据这些必要条件在计算机上验证了方程当y≤260 620 460 100时没有2次幂整数解,进一步支持了李-曹猜想.     

关于最大公因子封闭集上的幂LCM矩阵的注记

设S={x1,…，xn}是由n个不同正整数组成的集合，e是一个实数. 如果对所有的1≤i，j≤n，有(xi，xj)∈S，则称S是最大公因子封闭的（GCD-closed）.第i行j列元素由xi和xj的最小公倍数的e次幂［xi，xj］e 构成的n×n 阶矩阵(［xi，xj］e）称为定义在S上的e次幂LCM矩阵. 作者证明了如果e≥1并且n≤7, 那么定义在最大公因子封闭集S上的幂LCM矩阵(［xi，xj］e)是非奇异的，从而证明了洪绍方教授2004年提出的一个猜想当n≤7，e≥1时是正确的.     

惟一因子分解整环上的GCD幂矩阵与LCM幂矩阵

设S={x1，x2，…，xn}是惟一分解整环R上的不同元素构成的集合，e≥1是一个正整数．(xi，xj)和[xi，xj]分别表示xi，xj的最大公因子和最小公倍数．S称为因子封闭集(简称FC集)，如果对S中的任何元xi，它的任意一个因子是S中的一个元的相伴元．以(xi，xj)的P次方为i行j列元素的矩阵称为GCD幂矩阵，记为(S^e)；以[xi，xj]的e次方为i行j列元素的矩阵称为LCM幂矩阵，记为[S^e]．作者证明了若S是FC集，则(S^e)整除[S^e]，即[S^e]等于(S^e)与R上另一个矩阵的乘积，推广了Bourque和Ligh在1992年所得的结果．     

最大公因子封闭集上幂矩阵行列式的整除性

设S=x1,x2,...,xn是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a≥1.如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素xi和xj的最大公因数的a次幂(xi,xj)a,则称该矩阵是定义在S上的a次幂GCD矩阵,用(Sa)表示.类似可定义幂LCM矩阵[Sa].作者证明了:若S是由n个不同的正整数组成的一个最大公因子封闭集,且a|b,如果n≤3,那么det[Sa]|det[Sb],det[Sa]|det[Sb];如果max{xi}xi∈S<12,那么det[Sa]|det[Sb],det[Sa]|det[Sb].     

定义在两个互素因子链上的交错Smith矩阵的整除性

设S={x1,x2,…,xn}是n个正整数组成的集合,a是正整数.如果一个n阶矩阵的第f行第j列的元素定义为(-1)i+j(xi,xj)a,其中(xi,xj)a表示S中的元素xi与xj的最大公因数的a次幂,则称这个矩阵是定义在S上的a次交错幂GCD矩阵,用(ASa)表示.类似可定义a次交错幂LCM矩阵ASa].作者证明...     

两个拟互素因子链上倒数幂GCD与倒数幂LCM矩阵的非奇异性

设S={x1,x2,…,xn}是一个正整数的集合,a是一个正实数.如果一个n阶矩阵的第i行第j列的元素定义为1/(xi,xj)a,其中(xi,xj)a表示S中的元素xi与xj的最大公因数的a次幂,则称这个矩阵是定义在S上的倒数幂GCD矩阵,用(1/Sa)表示.类似可定义倒数幂LCM矩阵[1/Sa].作者得到了定义在两个拟互素因子链上的倒数幂GCD矩阵与倒数幂LCM矩阵的行列式公式,并由此证明了定义在两个拟互素因子链上的倒数幂GCD矩阵与倒数幂LCM矩阵均是非奇异的.     

关于本原奇异数的注记

设S={x1,x2,…,xn}是由n个不同正整数的集合.以S中的任意两个元xi,xj,i=1,2,…,n,j=1,2,…,n的最小公倍数为i行j列元素的矩阵称为S上的最小公倍数矩阵(LCM矩阵),记为[S].S称为最大公因子封闭集(GCD closed),如果对于S中任意两个元xi,xj,它们的最大公因子(xi,xj)∈S.1992年,Bourque和Ligh猜想(以下简称BL猜想)GCD封闭集S上的LCM矩阵是非奇异的.1999年,Hong证明了该猜想对n≤7成立,但n≥8时不真,即对任意n≥8,存在G     

因子链上幂矩阵行列式的整除性

设S＝{x1,……,xn}是由n个不同正整数组成的集合,ε∈Z ,如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元xi,xj的最大公因数(xi,xj)的ε次幂(xi,xj)ε,就称这个矩阵是定义在S上的最大公因数的ε次幂矩阵,简记为(S)εn;如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元xi,xj的最小公因倍数[xi,xj]的ε次幂[xi,xj]ε,就称这个矩阵是定义在S上的最小公倍数的ε次幂矩阵,简记[S]εn为.如果S中元素满足1≤i≤j≤n有xi|xj,就称S是一个因子链.研究了对ε∈Z ,定义在任意因子链S上的幂矩阵(S)εn和[S]εn的行列式det(S)εn与det[S]εn间的整除性.     

k-集合上与算术函数关联矩阵的行列式

设S={x1,…,xn}是由n个不同元素组成的正整数集合,f是一个算术函数.用(f(S))=(f(xi,xj))表示一个n×n的矩阵,其(i,j)项为f在xi与xj的最大公因子(xi,xj)处的取值,用(f[S])=(f[xi,xj])表示另一个n×n的矩阵,其(i,j)项为f在xi与xj的最小公倍数[xi,xj]处的取值.若xi与xj的最大公因子(xi,xj)=k,1≤i≠j≤n,则称S是k-集合.本文主要给出了定义在k-集合上的矩阵(f(S))和(f[S])的行列式的计算公式.进而作为推论给出了det(f(S))|det(f[S])的条件.     

对洪关于幂LCM矩阵的一个猜想的注记

一个含有n个不同正整数的集合S={xt，…，xn}称为是gcd闭的，如果S中任两个整数的最大公因子也在S中，洪绍方在2002年猜想：对于给定的一个正整数t，存在一个仅由t决定的正整数k(t)，使得当n≤k(t)时，定义在任意gcd闲集S={xt，…，xn}上的幂LCM矩阵([xi，xj]^t)是非奇异的；而当n≥k(t) 1，则存在一个gcd闭集S={xt，…，xn}，使得定义在其上的幂LCM矩阵([xi，xj]^t)奇异，洪于1999年证明了k (1)=7，在本文中，作者证明了若t≥2，则有k(t)≥8．     

利用LCM技术从生物检材中提取单个细胞

目的:对法医学常见生物检材进行涂片染色,并利用LCM技术对检材涂片进行单个细胞的捕获,通过观察结果了解LCM技术是否适于生物检材的单细胞提取。方法:对生物检材进行液体和斑迹分组,针对检材中不同类型的有核细胞,涂片后分别进行吉姆萨和伊红美蓝染色,最后利用LCM技术分离单细胞。结果:液体组检材涂片都能够进行很好的分离,斑迹组涂片染色后完整的有核细胞含量较少,但可以进行单细胞分离。涂片分离效果随时间的增长而呈负相关。结论:利用LCM技术可以有效地对生物检材的染色涂片进行单细胞的分离,精子细胞不染色直接涂片也可以得到很好的分离。     

一个包含Smarandache LCM比率数列的极限问题

目的研究一个包含Smarandache LCM比率数列的极限问题。方法利用初等解析方法。结果证明。结论给出一个包含Smarandache LCM比率数列的极限定理。     

LCM矩阵的一些性质

设Ｓ＝｛ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ｝是不中正整数的集合。称Ｓ为ｇｃｄ封闭集，如果ｘｉ与ｘｊ的最大公因数（ｘｉ，ｘｊ）也属于Ｓ。矩阵「Ｓ」被称为Ｓ上的最小公倍数矩阵，如果它的ｉ，ｊ位置元素是ｘｉ与ｘｊ的最小公倍数「ｘｉ，ｘｊ」。Ｂｏｕｒｑｕｅ ａｎｄ Ｌｉｇｈ猜想：一是ｇｃｄ封闭集上的ＬＣＭ矩阵是可逆的。     

单片机仿真实验仪在汉字LCM开发中的应用

介绍了用DP-51单片机实验仪开发汉字LCM．汉字型液晶显示模块OCM48C与单片机可以采用并行接口或串行接口方式,用DP-51单片机实验仪液晶显示接口连接汉字模块OCM4(8C,能简便的进行汉字显示开发,使该实验仪成为一个汉字LCM开发的有力工具．     

关于Smarandache LCM函数的一个方程

对于n∈N，设SL(n)是n的Smarandache LCM函数．本文中解决了有关SL(n)的一个方程问题．     

关于Smarandache对偶函数的相关均值

对任意正整数n,Smarandache LCM对偶函数是满足[1,2,…,k]| n的最小正整数,其中[1,2,…,k]代表1,2,…,k的最小公倍数.用初等方法研究SL*(n)/n,并给出一个有趣的渐近公式.     

GCD闭集上的LCM矩阵

１９９２年Ｂｅｓｌｉｎ和Ｌｉｇｈ讨论了ＧＣＤ矩阵在ＧＣＤ闭集上的种种结果，并引入了所谓Ｋ－集的概念。本文中，作者们将讨论一类所谓ＬＣＭ矩阵在ＧＣＤ闭集上的各种结果。我们给出了结构定理、行列式的计算公式，最后，当集合Ｓ为Ｋ－集时，我们得出了行列式计算的封闭型表达式，从而全面推广了它们的结果。     

包含Smarandache LCM函数的方程的解

用分类讨论和初等方法完全解决了方程SL（n）=am（n）和SL（n）=φ（n2）的可解性,其中am（n）为n的m次幂剩余数,φ（n）为欧拉函数,丰富了数论函数SL（n）的性质和数论函数方程的研究.