Lebesgue积分的一个附注

首先阐释了Lebesgue积分的优越性,然后通过由Fatou定理对Lebesgue控制收敛定理的证明,表明了Lebesgue积分的三大著名定理Levi定理、Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理均是彼此等价的.它们相互之间是可以构成一个循环证明的.     

Lebegue控制收敛定理的一种改进

对Lebegue控制收敛定理进行了改进,由此得到比Lebegue控制收敛定理更一般的结论,并对Fatou引理进行了推广,用推广的Fatou引理对改进后的Lebegue控制收敛定理给出了证明.     

L积分的三大极限定理在E(∩)Rq时的等价性证明

将L积分的三大极限定理联系起来进行研究,再由勒贝格控制收敛定理证明Levi定理,由Levi定理证明Fatou引理的基础上,给出了由Fatou引理对勒贝格控制收敛定理在E(∩)Rq(mE＜∞)时的一个证明,并得出在ECRq时L积分三大极限定理是等价的结论.     

L积分的三大极限定理在ER~q时的等价性证明

将L积分的三大极限定理联系起来进行研究,再由勒贝格控制收敛定理证明Levi定理,由Levi定理证明Fatou引理的基础上,给出了由Fatou引理对勒贝格控制收敛定理在E Rq(mE<∞)时的一个证明,并得出在ERq时L积分三大极限定理是等价的结论。     

L积分的三大极限定理在E包含R^q时的等价性证明

将L积分的三大极限定理联系起来进行研究，再由勒贝格控制收敛定理证明Levi定理，由Levi定理证明Fatou引理的基础上，给出了由Fatou引理对勒贝格控制收敛定理在E包含R^q（mE〈∞）时的一个证明，并得出在E包含R^q时L积分三大极限定理是等价的结论。     

Mcshane积分的LSRS收敛定理的新扩展

在Mcshane积分的LSRS收敛定理中建立了M-积分的LSRS收敛定理,并证明了该定理的条件比Lebesgue积分的控制收敛定理条件弱.本文首先证明一个引理,进一步证明了定理1,由此阐述了Mcshane积分的LSRS收敛定理中的定理比Lebesgue积分中Vitali收敛定理条件更弱,从而使Vitali定理成为LSRS定理的推论.     

关于Lebesgue积分的中值定理

给出了一个引理的六种证法与Lebesgue积分中值定理及其推广定理.     

Lebesgue测度与Lebesgue积分的简化定义

给出了Lebesgue测度与积分的简单定义，并通过此定义作出了一系列命题的简单证明，对Lebesgue积分取代Riemann作了初步的探索尝试。     

勒贝格积分第二中值定理

本文利用了数学分析中的Riemann积分第二中值定理和Lebesgue积分控制收敛定理,给出了Lebesgue积分第二中值定理及其证明,并将其推广到关于单调递增的连续函数α(x)的L—S积分上。     

三大积分极限定理的等价性证明

对实变函数中的几个积分极限定理进行了研究,给出了Lebegue控制收敛定理、推广的Levi定理和推广的Fatou引理是相互等价的结论.     

单调可测函数列的积分与极限问题

本文给出了Lebesgue积分中单调可测函数列极限与积分换序的最低条件,扩充了Levi定理的使用范围。     

积分收敛定理的非绝对型推广

众所周知,1957年建立了完全Riemann型的Henstcck积分,它把Lebesgue积分推广为非绝对型的。文[8]证明了该积分的若干性质,文[9]直接证明了Henstock积分与Denjoy积分(特殊的)的等价性。本文着手对积分学重要而基本的理论——收敛理论进一步探讨,推广Lebesgue积分的控制收敛定理,给出Henstock型的支配收敛定理的简捷     

基于g-期望的收敛定理

 彭实戈通过倒向随机微分方程引入了g-期望的概念并研究了它的一些性质.在此基础上,继续研究g-期望的性质.通过与经典的数学期望比较,提出并证明了基于g-期望的Levi,Fatou及Lebesgue控制收敛定理.     

两个积分定义的等价性

黄绍文教授在连续函数的 Riemann 积分的基础上定义了一个新的积分,并且证明了该积分具有Lebesgue 积分的一些性质和结果.本文直接证明了这个新积分和由有界可测函数引进的 Lebesgue 积分是等价的.     

模糊积分

本文定义一个正的可测函数关于模糊测度的模糊积分.我们指出单调收敛原理和Fatou推论在这里仍旧是正确的.我们研究这个积分的某些性质并指出它与文献中定义的其它模糊积分是一致的.我们的主要结果是收敛定理,它比勒贝格控制收敛定理稍强一些.为模糊测度假定为次加性的它同样成立.     

欧拉反正切公式的一个新证明

利用勒贝格单调收敛定理给出欧拉(Euler)反正切公式一个简洁的新证明,从而从一个侧面揭示了黎曼(Riemann)积分对勒贝格(Lebesgue)积分的指导作用.     

复模糊集值复模糊积分及其收敛性定理

首先介绍复模糊集值测度与复模糊集值可测函数的概念及复模糊集值可测函数的性质,以及基于复模糊集值复模糊测度的复模糊集值积分概念及其基本性质;其次,研究了复模糊集值复模糊积分的收敛问题,得到了这种拓广到复模糊集值上的复模糊积分的单调收敛定理、法都定理、控制收敛定理等重要的收敛性定理.     

EropoB定理的逆定理证明

给出了Егоров定理的逆定理的一种证明方法,并指出在mE<+∞时几乎处处收敛与近一致收敛是等价的.     

关于Lebesgue分解定理的证明

提供了Lebesgue分解定理的又一证明,由此可以简化Lebesgue积分基本定理的证明．这对现代分析学教程的简化和学习无疑是非常有益的。     

Lebesgue积分在PVS中的证明分析

为了有效解决函数系统建模、信号实时分析等数理支持领域验证与测试的定理证明形式化问题,设计并实现了利用Lebesgue积分的运算特征在PVS定理证明器中进行形式化证明与分析.主要对其分裂定理、不等式计算、闭区间子集可积分性、多重分部、线性运算、Cauchy可积分准则和极限定理等多个方面进行了形式化,且依据数学定理与推论形式化,说明Lebesgue积分在PVS中的形式化是可行的、有效的.以标准反相积分器为应用模型,对其通用电路原理与机制进行了形式化证明,通过数理分析测试了本文Lebesgue积分形式化定理库的正确性.