P阶Laplace方程的特征值问题

本文主要利用集中列紧原理的框架,研究了Ｐ阶Ｌａｐｌａｃｅ方程特征值问题的分歧情况。本文的结论表明,对于Ｐ阶Ｌａｐｌａｃｅ方程－ｄｉｖ（│Ｄｕ│＾ｐ－２Ｄｕ）＋λｕ＾ｐ－１＝ｇ（ｘ,ｔ）分歧现象的产生依赖于ｇ（ｘ,ｔ）在ｔ＝０附近的性质。     

二维Landau—Lifshitz静态方程组

本文了下述边值问题｛ｕ∧（Δｕ－λ（ｕ，ｎ）ｍ）＝│ｘ∈Ω│；ｕ＝ｕ０，ｘ∈δΩ，│ｕ０│＝１。我们证明了ΩＲ＾ｎ，ｎ≥２时，上述问题的极小解存在。当ｎ＝２，ｕ０＝（０，０，１）且当λ≤０时，ｕ＝ｕ０是唯一正则解；当０〈λ≤λ１时，除ｕ＝ｕ０是唯一的能量极小解处，还存在一个非常数的解。     

二阶非线性抛物型偏微分方程初边值问题的奇摄动

本文讨论一类二阶非线性抛物型偏微分方程初边值问题的奇摄动解法，设Ｌεｕ＝δｕ／δｔ－〔εΣ↑ｎ↓ｉｊ＝１δｉｊ（ｘ，ｔ）δ＾２ｕ／δｘｉδｘｊ＋Σ↑ｎ↓ｉ＝１ｂｉ（ｘ，ｔ）δｕ／δｘｉ＋Ｃ（ｘ，ｔ，ｕ）〕＝０ ｕ（ｘ，ｔ，ε）│ｔ＝０＝ｕ（ｘ，０，ｔ）＝μ（ｘ，ε），ｘ∈Ｂ↑－ ｕ（ｘ，ｔ，ε）│ｓ＝ｈ（ｘ，ｔ，ε）│ｓ（ｘ，ｔ）∈Ｓ其中ε〉０是小参数，给出了上述问题的解的渐近展开式。利用比较定理     

Bernstein不等式的推广

本文得到以下形式的Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ不等式：Ｐｎ（Ｄ）＝∏＾ｋｓ＝１（Ｄ＾２＋２αｓＤ＋ａ＾２ｓ＋β＾２ｓ）∏＾ｎ－２ｋｊ＝１（Ｄ－λｊ），Ｄ＝ｄ／ｄｘ，λｊ，αｓ，βｓ是实数，βｓ〉０，β＝ｍａｘβｓ，如果σ〉４β，则对任一指数型整函数ｆ（ｘ）∈Ｂσ，有‖Ｐｎ，（Ｄ）ｆ（Ｘ）‖ｃ≤│Ｐｎ（ｉσ）│ｓｕｐ│ｆ（ｘ）│。     

半线性椭圆方程Δu—a（x）u＋b（x）u^p=0 Dirichlet问题的奇异解

证明了半线性椭圆方程Δｕ－ａ（ｘ）ｕ＋ｂ（ｘ）ｕ＾ｐ＝０的Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ问题，当１〉ｐ〉（ｎ＋２）／（ｎ－２），ｎ≥３，且ａ（│ｘ│），ｂ（│ｘ│）满足适当条件时有无穷多奇异正解。     

具有Soblev临界指数的非线性椭圆型方程解的存在性

设Ω∈Ｒ＾Ｎ（Ｎ〉２）是单位球，文中讨论了非线性椭圆型方程｛－△ｎ＝ａ（ｘ）／ｎ／＾２－２＾ｕ＋λｕ，ｘ∈Ω，ｎ＝０，解的存在性，其中２＝２Ｎ／Ｎ－２是Ｓｏｂｏｌｅｖ临界指数，λ为常数。在ｎ（ｘ）的适当限制下，得到了上述问题的一个存在性结果。     

一个变系数热方程的初值问题的局部解的不存在性

本文在空间Ｃ（「ε０,Ｔ」,Ｌ＾ｐ）∩Ｃ＾１（ε０,Ｔ「,Ｌ＾内考虑边值问题 ｛δｕ／δｔ－１／ｔ＾αｕ＝│ｕ│＾ｒ－１ｕ ｔ〉ε０〉０ （１） ｌｉｍｕ ｔ ↓ε０（ｔ,ｘ）＝ψ（ｘ） ｘ∈Ｒ＾ｎ（２）其中γ〉１,ｐ≥１,ε０是一个固定的正数。在Ｌ＾ｐ内ψ（ｘ）≥０且不恒为零,α〉０,我们给出了问题（１）（２）有正解的一个必要条件,并研究了正解的不存在性。     

一类可缩区域上半线性椭圆型方程多个正确的存在性

本文考虑下列方程｛－Δｕ＋λｕ＝│ｕ│＾ｐ－１ｕ，在Ω内，ｕ〉０，在Ω内，θｕ／θｖ│θΩ＝０，其中，Ω∪→Ｒ＾Ｎ（Ｎ≥３）为一类有界可缩区域，θΩ充分光滑，λ∈Ｒ，ｖ为θΩ的单位外法向量，ｐ＝Ｎ＋２／Ｎ－２为临界指标。我们证明了λ〉０充分大时，上述方程具有多个正解。     

带有p-凹凸非线性项的p-Laplace方程的无穷多解的存在性

证明了当λ〉０或μ〉０时ｐ－ＬａｐｌａｃｅＤｉｒｉｃｈｌｅｔ问题,－ｄｉｖ（│↓△ｕ│＾ｐ－２↓△ｕ）＝λ│ｕ│＾ｑ－２ｕ＋μ│ｕ│＾ａ－２ｕ,ｕ∈Ｗ＾１,ｐ０（Ω）,无穷多解的存在性,其中Ω是Ｒ＾Ｎ中有界开集,１〈ｑ〈ｐ〈α〈ｐ。     

二阶复方型偏微分方程的函数论方法

本文讨论二阶复合型方程组（ＣＥ２）：［（１０１０）δ＾２／δｔ＾２＋（１０１λ／Ｒ＾２）δ＾２／δｘ１＾２＋（０（λ－ｋ＾２）／ｋ＾２（λ－１）／ｋ０）δ＾２／δｘ１δｘ２＋（λ００１）δ＾２／δｘ２＾１］（ｕ１ｕ２）＝０得到了该方程组有解的必要条件，并由此知道该方程组的Ｃａｕｃｈｙ问题是不适定的，转而讨论问题（Ｄ２），证明了问题（Ｄ２）是可解的，并给出了解的表达式。     

—△u＋u=Q（│x│）│u│^p—1u的径向解结构

讨论了半线性椭圆方程－△ｕ＋ｕ＝Ｑ（│ｘ│）│ｕ│＾ｐ－１ｕ，ｘ∈Ｒ＾ｎ的径向解结构，得到了判别方程的解为交叉解和慢速衰减解的充分条件，这里ｐ〉１，ｎ〉２。     

一类半线性椭圆型方程爆破解的存在性

设Ω是Ｒ＾Ｎ（Ｎ≥２）中的Ｃ＾２有界区域,对适当的无界非线性项系数ｐ（ｘ）,首先应用非线性变换ｖ＝ｅ＾－ｕ,半爆破解问题Δｕ＝ｐ（ｘ）ｅ＾ｕ,ｘ∈Ω,ｕ│δΩ＝＋∞转化成等价的带奇异项的Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ问题－Δｖ＋│△ｖ│＾２／ｖ＝ｐ（ｘ）,ｖ〉０,ｘ∈Ω,ｖ│δΩ＝０。应用极大值原理得到了爆破解问题的最小爆破速度。随后,应用摄动方法得到了爆破解的存在性,从而去掉了通常对ｐ（ｘ）所加的有界性条件     

一类奇次微分系统的极限环的存在唯一性

运用Ｇ Ｓａｎｓｏｎｅ定理和旋转向量场理论，研究奇次微分系统ｘ＝－ｙ（１－ａｘ）（１－ｂｘ）＋δｘ－ｌｘ＾２ｎ＋１，ｙ＝ｘ（１－ａｘ）（１－ｂｘ）的极限环的存在唯一性。证明了：当δｌ≤０时不存在极限环，当δｌ〉０，│δ│〈│ｌ│／ｍａｘ｛ａ＾２ｎ，ｂ＾２ｎ｝时存在唯一的极限环；当δｌ〉０，│δ│≥│ｌ│／ｍａｘ｝ａ＾２ｎ，ｂ＾２ｎ｝，时不存在极限环。     

r阶导数为ΦBV中函数的Fourier级数收敛速度估计

对于周期为２π并且ｒ阶导数为φ－有界变差函数,我们证明了：│Ｓｎ（ｆ,ｘ）－ｆ（ｘ）－ｓｉｎｒ／２π／πｎ＾ｒ（ｆＲ＾（ｒ）（ｘ）－ｆＬ＾（ｒ）（ｘ））│≤３／ｎ＾ｒ＋１Σ↑ｎ↓ｋ＝１Ｖφ（ψｘ,［０,π／ｋ］）＋２│ｓｉｎｒ／２π│／πｎ＾ｒ＋１│ｆＲ＾（ｒ）（ｘ）－（ｆＬ＾（ｒ）（ｘ）│,其中ｆ∈φＢＶ∩Ｖｒ。     

一类平面三次系统的极限环

本文给出原点为细焦点的三次系统｛ｘ＝－ｙ＋ａｘ＾３＋βｘ＾２ｙ＋λｘｙ＾２ ｙ＝ｘ＋ρｘ＾３＋αｘ＾２ｙ＋βｘｙ＾２＋λｙ＾３ （１）当ρ〉０时存在或不存在极限环的条件。     

环上非线性椭圆型方程非径向正解的存在性

我们研究了非线性椭圆型方程Δｕ＋ｇ│ｘ│ｆ（ｕ）＝０ｉｎΩＲ０Ｒ１ｕ＝０ ｏｎ δΩＲ０Ｒ１０〈Ｒ０〈Ｒ１正在非轴对称解的存在性。灾里ΩＲ０４１＝｛ｘ∈Ｒ＾ｎ：Ｒ０〈│ｘ│〈Ｒ１｝是Ｒ＾ｎ中的一个环，ｎ≥２。当ｆ满足一定条件时，那么我们可以用Ｎｅｈａｒｉ技巧证明存在Ｒ＾＊∈（Ｒ０，Ｒ１）使得对任意Ｒ∈（Ｒ０，Ｒ＾＊），在ΩＲ０Ｒ上方程有一个非轴对称解。     

三维空间中非线性波方程的整体与局部C^2解

讨论下面方程的Ｃａｕｃｈｙ问题ｕα－－△ｕ＝／ｕｔ（ｘ,ｔ）／＾ｐ,ｔ≥０,ｘ∈Ｒ＾３,ｕ（ｘ,０）－∈ｆ（ｘ）,ｕｔ（ｘ,ｏ）＝∈ｇ（ｘ）,ｘ∈,Ｒ＾３,这里△＝∑ｉ＝１ｅ↓／ｅ↓ｘ＾２,常数ｐ〉１,∈是正参数,Ｈ．Ｔａｋａｍｕｒａ猜侧上面的Ｃａｕｃｈｙ问题在ｐ〉２时是对充分小的初值存在整体Ｃ＾２解,本文在将ｆ（ｘ）,ｇ（ｘ）满足一定条件下在ｐ〉３时部分回答这个问题。     

一类椭圆型方程正解的存在性

讨论了如下一类含临界指数的拟线性椭圆型方程解的存在性问题：｛－△ｐｕ＝λ／ｕ／＾ｐ－２ｕ＾ａ＋／ｕ／＾ｐ－２ｕ ｘ∈Ω,ｕ〉０,ｘ∈Ω,ｕ＝０,ｘ∈ｅ↓Ω其中ｐ＝ｎｐ／ｎ－ｐ,λ〉０,在ａ,ｐ满足一定的条件下,方程至少存在一个正解。     

关于不完整三角和的估计

本文改进了华罗庚关于不完整三角和的著名结果，我们主要证明了：│Σ＾ｍｘ＝１ｅｑ（ｆ（ｘ））－ｍ／ｑＳ（ｑ，ｆ（ｘ））│〈４／ｘ＾２（ｌｏｇｑ＋γπ＋３／４－ｌｏｇπ／２）ｅ＾２ｋｑ＾１－１／ｋ＋２／π（２－１／π）ｅ＾２ｋｑ＾－１／ｋ。其中ｆ（ｘ）＝ａｋｘ＾ｋ…＋ａ１ｘ＋ａ０为一整系数多项式，且（ａ１，ａ２……＋ａｋ，ｑ）＝１，γ为Ｅｅｎｌｅｒ常数，ｑ≥２整数。     

一维奇异非稳态问题全离散解的误差估计

研究如下奇异非稳态问题｛ｕｔ（ｘ，ｔ）－ｐ＾－１（ｘ）（ｐ（ｘ）ｕ＇（ｘ，ｔ））＇＋ｑ（ｘ）ｕ（ｘ，ｔ）＝Ｈ（ｘ，ｔ）ｔ〉０ ｘ∈Ｉ≡（０，１） ｕ＇（０，ｔ）＝ｕ（１，ｔ）＝０ ｔ〉０ ｕ（ｘ，０）＝ψ（ｘ）的有限元方法。分别使用Ｅｕｌｅｒ－Ｇａｌｅｒｋｉｎ方法和Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ－Ｇａｌｅｒｋｉｎ方法，给出全离散解的加权Ｌ２模误差估计。