复数域上非奇异矩阵A+iB的逆矩阵

我们知道一个复数域上的n阶矩阵总可以把它写成A+iB(此处A,B为n阶实矩阵),今若A+iB可逆,且其逆矩阵表为C+iD(此处C,D为n阶实矩阵),那么A,B和C,D是否有关系?其关系如何?本文就此问题作些探讨。由文[1]定理1直接可得推论1 若n阶复矩阵A+iB(此处A,B为n阶实矩阵)可逆,则引理1 若P为m×m(n≤m)矩阵,其秩为n,Q为m×n矩阵,其秩也为n,则n×n方阵PQ的秩为n 与文[3]的引理1证法相同,这里不再重复。引理2 对推论1中的A,B和任意一个2n×2n方阵u=(M_(2n×n)N_(2n×n))(此处M_(2n×n)的秩     

一般线性李代数的抛物子代数上保李积的非线性可逆映射

设F是特征为零的域,gl(n,F)为域F上的一般线性李代数,Tn为域F上全体n×n阶上三角矩阵李代数,称gl(n,F)中包含Tn的所有子代数为gl(n,F)的抛物子代数.决定出gl(n,F)上的任意标准抛物子代数P的形式,证明了任意抛物子代数P上的映射φ是保李积的非线性可逆映射当且仅当存在可逆矩阵T∈P,映射x:P→F...     

自共轭齐性锥上的调和函数

习知,不可約自共軛齐性錐共有四大类(外加一个27錐的特殊情况),它們是: V_Ⅰ(m)={H|H>0,H=(?)′,H是m阶复方陣}; V_Ⅱ(p)={H|H>0,H=H′,H是p阶实方陣}; V_Ⅲ(2n)={H|H>0,H=(?)′,HJ=J(?),J=diag[j,j,…,j],j=(?)}; V_Ⅳ(n)={y=(y_1,…,y_n){y_1>0,y_1y_2—y_3~2—…—y_n~2>0}。以它們为底的第一类Siegel域都是对称典型域,其上的調和函数已由华罗庚,陆启鏗完成。研究这些錐上的調和函数是有意义的。由于     

广义随机Jordan代数的Jordan导子

设F是特征不为2的域, M(n,F)为域F上全体n×n阶矩阵构成的矩阵代数,α为F~n中非0列向量,令L (α)={A∈M(n,F) Aα=0}.证明L(α)为M(n,F)的一个Jordan子代数(称为广义随机Jordan代数),并证明L(α)的所有的Jordan导子都是内导子.     

李代数A_n的自正规子代数

本文给出了复数域上李代数A_(n-1)的包含Cartan子代数的一切自正规子代数的构作方法,最高维自正规子代数的维数、矩阵结构及在同构意义下的个数。A_(n-1)为复数域上全体迹为0的n阶方阵组成的特殊线性李代数,其维数为n~2-1。     

适合λ~2+aλ+b=0的方阵相似于若当标准形的一个简单证法

在高等代数中有这样一个性质:设n阶矩阵A适合方程λ~2+aλ+b=0(a,b是任意复数)则 (ⅰ) 当a~2-4b≠0时,A相似于矩阵 (1) 此处λ_1,λ_2是λ~2+aλ+b=0的两个根,γ=秩(A-λ_2I_n); (ⅱ)当a~2-4b=0时,A相似于矩阵此处λ_1是λ~2+aλ+b=0的二重根,γ=秩(A-λ_1I_n); (ⅲ)如果A又是厄米特矩阵时,A酉相似于矩阵(1)     

矩阵非奇异性的充分条件和矩阵的特征值

§1.引言设A=(a_(ij))为实数域或复数域上的n阶矩阵。J.Hadamard曾证明了(参看)矩阵A是非奇异的一个充分条件是后来许多作者从不同的角度推广了这一条件,P.Müller,曾证明了下面的结果。矩阵A=(a_(ij))是非奇异的,如果存在着n~2个数b_(μv)(μ,v=1,…,n)适合条件     

加边矩阵与广义逆矩阵

设A为一任意m×n矩阵,对A按定理1的条件来加边得可逆矩阵且若则C_1为A的广义逆矩阵A~(1,2,3). 设A为一复数域上的矩阵。所谓A的广义逆矩阵A~(1 2 3 4)(一般用A~ 表示)是指同时满足下列四个条件的矩阵X: (1)AXA=A, (2)XAX=X, (3)(AX)~*=AX, (4)(XA)~*=XA, 其中符号M~*表示矩阵M的共轭转置。假若X仅满足上述四个条件的一部分,如满足条件(1),则称X为A的广义逆矩阵A~(?);若满足条件(1)、(2)、(3),则称它为广义逆矩阵A~(1,2,3);依次类推。此类求广义逆矩阵的问题,在某些应用中曾被提出,例如在数理统计中的Gauss-Markoff模型,作参数的最小二乘法估计时就有所涉及。林春土就A为方阵时,给出了加边矩阵(其中A为p×p阶矩阵,K和H分别为p×r阶矩阵和r×p阶矩阵)可逆的充要条件,从而在实数域上给出了一个求广义逆矩阵A~(1,2)的方法。本文推广上述结果,对于在复数域上的一般矩阵A(m×n阶矩阵),给出了加边矩阵(i)(其中K和H分别为m×k_2阶和k_1×n阶矩阵)可逆的一个充分条件,并且从而在复数域上给出了一个求广义逆矩阵A~(1 2 3)的方法。     

点数为素数方幂的线传递点拟本原的有限线性空间

设F为一个有限线性空间,G≤Aut（F）为F的线传递且点拟本原的自同构群,若v=p^n,p为素数,则下列之一成立（a)S=PG(d-1,q),d≥3且(q^d-1)/(q-1)=p^n,PSL（d,q)≤G≤PFL(d,q)。（b)v=q^2 q 1是一个素数且G是一个q^2 q 1阶循环群或是一个阶为（q^2 q 1)（q 1)或（q^2 q 1)q的Frobenius群。(c)线性空间的点集合是p元域上的n维向量空间V(n,p)的所有向量组成的集合,N≤G≤AGL(n,p)且G0是GL（n,p)的一个不可约的子群,这里N表示平移子群。     

标准函数的积分

定义1.标准函数f(x)在(a,b)(?)~*R上有定义,如果 {n/integral from n=a_n to n f(x)dx存在且有限}∈U其中a=[a_n],b=[b_n],U为自然数集N的自由超滤子,integral from n=a_n to b_n f(x)dx是Riemann意义下的积分,则称f(x)在(a, b)(?)~*R上可积,称非标准数[integral from n=a_n to n f(x)dx]为f(x)在(a, b)(?)~*R上的积分,记作integral from n=(a.b) to f(x)dx。     

矩阵的一些零测集

将复数域上的每个 n阶矩阵以自然的方式对应复空间 Cn2 中的一个点 ,进而讨论一些矩阵类的测度 .特别证明了 :在复数域上 ,几乎所有矩阵都与对角阵相似 .     

实正交矩阵的子矩阵的幂的迹的渐进分布

设随机矩阵U属于n阶实正交群O(n),O(n)的分布是单位Haar分布,[U]m表示U的m阶顺序主子矩阵,记Q=n/m～(1/n/m)[U]m.文献(Diaconis P,Shahshahani M.J Appl Probab,1994,A31:49-62.)通过计算TrUj的联合矩得出对固定的整数k,当n充分大时(TrU,TrU2,…,TrUk)渐进于正态分布.利用Jack函数和对称群的特征标的恒等式,推广这一结论到U的子矩阵情形,即证明了随机向量(TrQ,TrQ2,…,TrQk)当m→+∞时依分布收敛于正态分布.对特殊实正交矩阵群SO(n)也有类似的结论.     

关于n—维矩阵群的注记

本文证明了域 F 上的 n 阶2m—维矩阵环 M_(2,n)(F)同构于域 F 上的 n~m 阶全矩阵环F~(n~m×n~m),以及域 F 上的 m-维矩阵空间 M_(m,n)(F)同构于域 F 上的 n~m-维向量空间F~(n~m).     

END随机变量的完全矩收敛和完全积分收敛

设{X,X_n,n≥1}是同分布的END(extended negatively dependent)随机变量序列,■。研究了完全矩收敛性■在r1,q0, 0p2,a_n=1,b_n=n和■的情况下,与完全积分收敛的一些等价结论。所得结果推广了NA(negatively associated)变量和NOD(negatively orthant dependent)变量的若干相应结果。     

Hermitian矩阵不等式(英文)

考虑复数域上n阶定正的Hermitian方陣。本文結果基于凸函数的一个引理2.1。假定(?)是E~n上的一个凸域,而Φ(x)=Φ(x_1,x_2,…,x_n)是(?)上对称連續凸函数,若x,y∈(?)且滿足(1.1)(x)<(y),則Φ(x)≤Φ(y)。若A,B皆定正,a_1≥a_2≥…≥a_n,b_1≥b_2≥…≥b_n与c_1≥c_2≥…≥c_n分别为A,B与C=A B的特征根,Φ于(?)={x=(x_1,x_2,…,x_n)|x_i>0 i=1,2,…,n}上滿足引理2.1条件且Φ(λx)=λΦ(x) (对任实λ),則Φ(c)≤Φ(a) Φ(b). 习知Φ=(sum from i=1 to n x_i~p)~(1/p),(p>1);sum from i=1 to ∞x_i~p/sum from i=1 to ∞x_i~(p-1),(11)而当p<1(p(?)0)时,上述不等式反号(定理3.6)。若对p取极限导出著名的Minkowski不等式;定理5.1 tr(A B)~p/tr(A B)~(p-1)≤trA~p/trA~(p-1) trB~p/trB~(p-1),(11,q=p/p-1。当p<1(p(?)0)。正文中,經上式直接导出定理3.5与3.6。本文得到的其他結果,例如定理3.1 tr(AB)≤(trA~p)~(1/p)(trB~q)~(1/q),(p>1,1/p 1/q=1)及当p<1(p(?)0)时,不等式反号(定理3.2)以及定理8.1d(r AB)≥(1 1/tr(AB)/n)~nd(A)d(B)等也是有趣的矩陣不等式。     

赛德尔迭代的一个新的高效算法

本文提出一个新的高效赛德尔迭代算法(ESI算法)求解大型对称正定稀疏线性方程组AX=b。A是n*n阶的对称正定稀疏系数矩阵。A可表达为A=D+U~T+U,其中D是对角矩阵,U是主对角元素为零的上三角矩阵。这个算法,只需上三角阵非零元及其同等数量的索引信息压缩存储。每行第一个非零元存入界限信息而其他非零元仅需存入对应列号。整个系数矩阵存储量为τ,τ是A的非零元个数。压缩与还原过程仅需O(n)次加法或减法运算。     

函数域中完全指数和的估计

设F_q是q个元的有限域,其特征为p。设F_q[t]是F_q上的多项式环。以e(·)表示F_q上关于■的形式Laurent级数域的一个固定的非平凡特征。对于k∈N且k≥2,a,b∈F_q[t], m=(m_1,…,m_k)∈(F_q[t])~k,定义完全指数和■。证明了下面的结果:假定b≠0, gcd(b,a)=1, gcd(b,m_1,…,m_k)=1,如果pk,则■,此处,C_2=1;当k≥3时,■。     

关于实系数单叶函数Grunsky不等式的加强及Springer猜测

设F(z)=z+b_0+sum from n=1 to ∞b_n/z~n■Σ,而L■H′(|z|>1).众所周知,Grunsky不等式(见,p114)是如设{λ_(mn)}是F(z)的Grunsky系数,它由等式     

非奇异(a,b)矩阵中元素a的可能个数

设a和b是两个不同的实数,如果矩阵C=(cij)n×n,cij=a或b,就称C为(a,b)矩阵.根据a、b的不同取值分三种情况研究了n阶(a,b)矩阵非奇异时元素a的所有可能个数d,确定了d的取值范围,并对每一个正整数d给出了相应的非奇异(a,b)矩阵.     

Jacobson代数的表示和新单纯李代数

设W_n为域F(特征p>0)上的Jacobson代数,即n元截头多项式代数■的微分代数。W_n中每一元皆可表成D=sumfromi=1tona■∈■一般,令D_1,….D_k为W_n中k个互相交换的微分。则K=K(D_1,…,D_K)={D∈W_n|D=sumfromi=■toka■D■∈■}是W_n的子代数。令W_k为所有k×k矩阵的李代数,则对W_k的任一表示ρ有K的一个表示■,并且如ρ是W_k的局限表示,■也是K的局限表示。利用表示■可作出K的(因而也是W_n的)子代数.特别,一切已知的非典型单李代数皆可如此作出.