等基分拆的二个基本问题

本文讨论了正整数的等差分拆问题,给出了正整数n可以表为三项或三项以上的正整项等差数列的和的充要条件和不同和式的种数公式,以及表n为三项或三项以上的正整项等差数列的和的一种具体方法。     

有关正整数的一类分拆数的计算

讨论了正整数n的一些带约束条件的分拆问题.给出了计算其中三类分拆数的递推关系:一类为将n分拆成l个不同的分部(项),且分部量不超过正整数k的分拆数的递推关系;另一类为将n分拆成各分部量互不相同且分部量不超过k的分拆数的递推关系,进而给出了计算这类分拆数的一种计算方法;第三类为将正整数分拆成分部量不超过k且互不相同的奇偶分拆数的递推关系.     

部分数为5的n-分拆的计数公式

设n是正整数,n-分拆是指将n表为一个或多个正整数的和的形式. 两个和式若仅有加数顺序的差异则视为相同的分拆.称和式中的每个加数为这个n-分拆的一个部分.以Pr(n)表示部分数为r的n分拆的个数. 本文研究了部分数为5的n-分拆,得到了P5(n)的一个简易的计算公式.     

部分数为6的n-分拆的计数公式

设n是正整数,n-分拆是指将n表为一个或多个正整数的和的形式.两个和式若仅有加数顺序的差异则视为相同的分拆. 称和式中的每个加数为这个n-分拆的一个部分.以Pr(n)表示部分数为r的n-分拆的个数.作者研究了部分数为6的-n分拆, 得到了 P6(n)的简易计算公式.     

恰有7个部分的n-分拆的计数

设n是正整数,n-分拆是指将n表为一个或多个正整数的和的形式. 两个和式若仅有加数顺序的差异则视为相同的分拆. 称和式中的每个加数为这个n-分拆的一个部分.以Pr(n)表示部分数为r的n-分拆的个数.该文研究了部分数为7的n-分拆, 得到了P7(n)的简易计算公式.     

关于一类不定方程的正整数解数

证明了正整数n分为m部分互不相同的无序分拆数Q（n,m）是不定方程x1＋2x2＋…＋mxm=n的正整数解数;利用将正整数n分为m部分的无序分拆数P（n,m）与Q（n,m）的关系,以及已有的P（n,4）的显表达式和关于不定方程x1＋2x2＋…＋5x5=n的非负整数解数A（n,5）的显表达式,给出了Q（n,4）与Q（n,5）的显式表达式.从而给出了不定方程x1＋2x2＋3x3＋4x4=n和x1＋2x2＋3x3＋4x4＋5x5=n的正整数解数的显表达式.     

整边三角形与正整数的一类分拆数

正整数n的k部分分拆是将n表示成k个正整数的无序和.其中正整数n的3部分分拆的一个型应用是整边三角形.对于整边三角形的研究已经有许多结果，对于周长为n的整边三角形个数有一个估计数公式T(n)．本文作者利用分拆的Ferrers图将整边三角形与不定方程4x1+3x2+2x3=n联系起来，给出了利用T(n)计算正整数n的一类4部分分拆数的计数式以及一类分部量不超过4的分拆数的计数公式，并讨论了其中一类分拆数在图论中的应用.     

加法分拆数与乘法分拆数的上界

n是正整数,P(n)表示n的加法分拆数,f(n)表示n的乘法分拆数。F_n是Fjbonacci数列的第n项。在本文中,我们有: 1.给出了计算f(n)的递推公式; 2.证明了:P(n)≤F_(n+1),f(n)≤(2/3)n和f(n)≤n/logn(n≠144),从而回答了Hughes和shallit关于f(n)≤n和f(n)≤n/logn(n≠144)的两个猜想。     

等幂和的多角数表示

设n,k与m是正整数,证明了公差为k余数为1的等差数列前n项m次幂和与交错和可表示成双k+2角数λ的多项式.     

关于Schur问题的研究

关于Schur问题的研究，即：对任意正整数n，设r为正整数且满足：集合{1，2，3，…，r}可被分拆为n类且每一类中均不合有元素x,y，z使得，x^y=z成立，Schur建议我们去寻找最大的r。本文利用初等方法研究这个问题，并给出，更精确的下界。     

关于分拆函数p(n)的下界

p(n)是正整数n的分拆函数,文章改进了[4]的结果,得到了一个关于p(n)的新下界:对于正整数n≥2,34[n]我们有p(n)>e15π2n     

关于图的圈和退化圈分拆的一个注记

设G是一个n阶图，k是满足2≤k≤n的正整数，于是得到了如下结论：如果图G的任何一对不相邻的顶点{u,v}，都满足max{dG(u)，dG(v)}≥(n-k 3)／2，则存在k个点不交的子图Hi,使得V(G)=V(H1)∪V(H2)∪…∪(Hk)，其中Hi为一个圈或一个点或一条边．     

两种数列的共轭定理及其推论

本文推导了等差数列和等比数列的共轭定理其推论，有效地解决了项不确定的等差数列的连续n项和与项不确定的等比数例的连续n项积极的计算问题。     

移动平面分拆的计数

建立了正整数n的严格平面分拆全体组成的集合和它的移动平面分拆全体组成的集合之间的一一对应，以及列严格行长为偶数的平面分拆组成的集合和主对角线上的元素为偶数的非负整数对称矩阵组成的集合之间一一对应，在此基础上给出移动平面分拆及一类特殊的移动平面分拆的计数。     

关于正整数n的完备分拆的一些探讨

在分部数和分部量有限制的情况下给出了正整数n的完备分拆数的两个递推公式,同时也讨论了完备分拆生成函数的一些结果.     

高阶等差数列的前n项求和

对高阶等差数列前n项和的求法，为了与本文提出的方法进行比较。首先，简要介绍了三种主要的求和方法。然后，根据高阶等差数列通项的特性，利用新定义的形式导数列对其进行了有效的探讨。成功地得到了一种比较简捷的求和方法。     

正整数分拆中的特殊恒等式

针对正整数有限制的无序分拆,首先给出＂将n分拆成m个最大数是k的分拆数＂所具备的两个相关恒等式,然后又给出＂当n是k的倍数时,将n分拆成k的次方之和的分拆数＂所具有的几个恒等式,并在运用模型分析和母函数对这些恒等式进行分析证明的基础上,进一步举例加以验证.     

等差数列的几何意义及应用

给出了等差数列的通项公式和前n项和公式是特殊的一次函数和二次函数的具体描述及几何意义，通过例题从几例的角度如何解有关等差数列的习题。     

用直线求等差数列的通项

<正>我们知道,如把等差数列的通项公式变形为an=dn+(a1-d),所得到的是an关于n的一次式,这就表明,{an}乃是线性函数y=dx+(a1-d)的图象上当x依次取正整数时的一列有序点列。另外,因为一次函数y=dx+(a1-d)又可看作表示一条直线的方程,它仅由平面上的两定点来确定,因而问题便给我们提供了这一么一种可能性:若已知(或能求出)某等差数列的任意两项,这个数列就可以确定,其通项公式则可通过求平面上过两已知点的直线方程得到。下列举例说明:     

关于优美指数的A.Murthy猜想

若一个整数m可表为正整数n与它的除数函数d（n）之商。则称m为优美指数。文章证明了，存在无穷多个正整数m不是优美指数。从而否定了A.Murthy的猜想，并提出了若干个关于非优美指数的猜想。