关于三个不定方程x3-Dy2=1(D=61,73,97)

运用初等方法完全解决了三个不定方程x3-Dy2=1(D=61,73,97),得出当D=61时,方程仅有整数解(x,y)=(13,4),当D=73,97时,方程仅有整数解(x,y)=(1,0).     

关于丢番图方程X~4 4=Dy~2

本文讨论丢番图方程x~4 4=Dy~2。证明了当D使得x~2-Dy.2=-4有奇整数解,且D≤200时,除D=5仅有解x=y=1,x=y=2;D=13时仅有解x=6,y=10及D=85时仅有解x=3,y=1外无其他正整数解。     

关于Diophantine方程x~3±1=2py~2

设p是奇素数,证明了当p=6(4s+1)+1,其中s是非负整数时,方程x3-1=2py2仅有整数解(x,y)=(1,0);当p=6(4s+2)+1,其中s是非负整数时,方程x3+1=2py2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

椭圆曲线y2=qx(x2-256)的正整数解

利用初等数论方法及同余性质证明了椭圆曲线方程y2=qx(x2-256)除整数解(0,0),(16,0)外还有其它正整数解,即:(ⅰ)当q=5时方程仅有正整数解(x,y)=(20,120),(144,3840);(ⅱ)当q=29时方程仅有正整解(x,y)=(156816,334414080);(ⅲ)当q=41时方程仅有正...     

关于丢番图方程x~3±1=7qy~2的整数解

设D=7q,q≡1(mod6)为奇素数.关于Diophantine方程x3±1=7qy2的初等解法至今仍未解决.主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列证明了(1)q=13,19,61时,丢番图方程x3-1=7qy2仅有整数解(x,y)=(1,0);(2)q=13,73,97时,丢番图方程x3+1=7qy2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于不定方程x~2+64=4y~n(n=5,9)的解

利用代数数论整数环的唯一分解性,研究了不定方程x~2+64=4y~n(n=5,9)的整数解问题,并证明了当n=5时,该方程仅有整数解(x,y)=(±8,2);当n=9时,该方程无整数解。     

关于Diophantine方程x3-1=61y2

运用初等方法,证明Diophantine方程x3-1=61y2仅有整数解(x,±y)=(1,0),(13,6).     

关于丢番图方程x~3±3~3=3pqy~2

主要利用递归数列、同余式、平方剩余以及Pell方程解的性质证明了当p≡1(mod 12),q≡12s2+1时,丢番图方程x3-33=3pqy2仅有整数解(x,y)=(3,0);当p≡1(mod 24),q≡12s2+1时,丢番图方程x3+33=3pqy2仅有整数解(x,y)=(-3,0).     

关于不定方程x3-1=73qy2的整数解

设D=∏si=1pi(s≥2),pi≡1(mod 6)(1≤i≤s)为不同的奇素数.关于不定方程x3-1=Dy2的初等解法至今仍未解决.利用同余式、二次剩余、递归序列、Pell方程的解的性质,证明了q≡1,19(mod 24)为奇素数,(q/73)=-1时,不定方程x3-1=73qy2仅有整数解(x,y)=(1,0).     

关于Diophantine方程x~3+1=13qy~2的整数解

设D是无平方因子的正整数,D=∏s i=1pi(s≥2),pi≡1(mod 6)(1≤i≤s)为奇素数。关于Diophantine方程x3+1=Dy2的初等解法至今仍未解决。主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列,证明了q≡7(mod 12)为奇素数,且(q/13)=-1时,Diophantine方程x3+1=13qy2当q=7时有整数解(4 367,±30 252),(-1,0);当q≠7时仅有整数解(x,y)=(-1,0)。     

关于不定方程组x~2-14y~2=1与y~2-Dz~2=16的公解

设p_1,p_2,…,p_s(1≤s≤4)是互异的奇素数,利用递归数列、Pell方程解的性质证明了当D=2p_1p_2…ps(1≤s≤4)时,不定方程组x~2-14y~2=1与y~2-Dz~2=16的整数解如下:当D=2×449时,方程组仅有解(x,y,z)=(±13 455,±3 596,±120)以及解(x,y,z)=(±15,±4,0);当D≠2×449时,方程组仅有解(x,y,z)=(±15,±4,0).     

关于不定方程x3-1=19y2

利用两种初等的方法,即对方程取某个正整数M>1为模来制造矛盾的同余法和递归序列法,证明了不定方程x3 -1=19y2 仅有整数解(x,y)=(1,0),从而进一步的证明了方程x2 -19y2 =-13无整数解;方程x2 -3r2 =-3仅有整数解(1.0).     

关于Diophantine方程x3+1=13qy2的整数解

设D 是无平方因子的正整数,D =∏si=1pi(s≥2),pi≡1(mod6)(1≤i≤s)为奇素数。关于Diophantine方程x3+1=Dy2的初等解法至今仍未解决。主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列,证明了q≡7(mod12)为奇素数,且q( )13=-1时,Diophantine方程x3+1=13qy2当q=7时有整数解(4367,±30252),(-1,0);当q≠7时仅有整数解(x,y)=(-1,0)。
     

关于不定方程x3+27=19y2

不定方程x3±27=Dy2(D>0)的研究曾引起了一些学者的兴趣,曹玉书确立了当D不含6k 1形状的素数奇次幂因子时的全部整数解,而当含有6k 1形状的素数因子时,方程的求解比较困难。本文利用递归数列、同余式和平方剩余的方法,讨论了不定方程x3 27=19y2在3|x及3x情况下的整数解。其中3x对又分了情形Ⅰx 3=19u2,x2-3x 9=v2,y=uv;情形Ⅱx 3=u2,x2-3x 9=19v2,y=uv这两种情况。最后得到不定方程x3 27=19y2仅有整数解(x,y)=(-3,0),(24,±9),(-2,±1)的结论。     

关于丢番图方程∑i=1^n∑j=1^n（aij）／XiXj=0的整数解

当丢番图方程∑i=1^n∑j=1^naijyiyj=0有一组非平凡的整数解y1^*，y2^*，…，yn^*(yn^*≠0)时，给出了方程∑i=1^n∑j=1^n(aij)/xixj=0满足(x1，x2，…，xn)=1的全部整数解的公式．     

关于Diophantine方程x~3-1=91y~2

利用初等方法证明了Diophantine方程x3-1=91y2仅有整数解(x,y)=(1,0)。     

关于丢番图方程x~4-2py~2=1

关于丢番图方程x~4-Dy~2=1,D>0,且不是平方数,(1)Ljunggren,Cohn和本文作者都有过不少工作,现简述如下:1.1942年,Ljunggren证明了丢番图方程(1)最多只有二组正整数解(x,y)。2.1966年,Ljunggren证明了,当D=ρ是一个奇素数时,则丢番图方程(1)在ρ≠5,29时,没有正整数解。在ρ=5时,仅有正整数解x=3,y=4,在ρ=29时,仅有正整数解x=99,y=1820。     

关于Diophantine方程x~3±1=pqy~2

关于Diophantine方程x3±1=Dy2至今仍未解决.论文利用同余式、平方剩余、Pell方程解的性质、递归序列证明:(1)p≡1(mod 12)为素数,q=12s2+1(s是正奇数)为素数,(p q)=-1时,Diophantine方程x3±1=pqy2仅有整数解(x,y)=(1,0);(2)p≡1(mod 24)为素数,q=12s2+1(s是正奇数)为素数,(p q)=-1时,Diophantine方程x3±1=pqy2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

不定方程x~2+4~k=y~9的整数解

利用初等数论及代数数论的方法研究了不定方程x~2+4~k=y~9(k=3,4,5)在Gauss整环中的可解性,证明该方程当k=4时仅有整数解(x,y)=(±16,2),而当k=3,5时无整数解.     

关于不定方程x3＋8=61 y2的整数解

利用递归数列和同余式的相关性质证明了不定方程x3＋1=122y2仅有整数解（ x,y）=（-1,0）,然后证明了不定方程x3＋8=61y2仅有整数解（ x,y）=（-2,0）。