由双曲线的渐近线、切线求双曲线的方程

双曲线有一条几何性质中谈到,双曲线夹在渐近线内,逐渐接近于它而不与它相交。中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y=±(b/a)x,而中心在原点,焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程是y=±(a/b)x,这条性质不难理解,但在应用,比如在解由双曲(?)的渐近线、切线求双曲线方程这类问题时,往往出现错误。本文就这类问题进行讨论研究,试提出解此类问题的方法.先看一个具体的例题:双曲线的渐近线方程是y=±2x,它的一条切线方程是x y-1=0,试求此双曲线的方程。不少学生是这样解的:     

求解丢番图方程1/x~2+1/y~2=1/z~2+1/w~2

利用高斯二平方和定理求解一个特殊的丢番图方程1/x~2+1/y~2=1/z~2+1/w~2,将其转化为a~2+b~2=c~2+d~2.经讨论得知,a~2+b~2≡c~2+d~2≡1,2(mod 4),当(k_1-k_3)(k_1+k_3-1)≡(k_4+k_2)(k_4-k_2)时,a~2+b~2≡c~2+d~2≡1(mod4);当(k_1-k_3)(k_1+k_3-1)≡(k_4-k_2)(k_4+k_2-1)≡0.2(mod 4)时,a~2+b~2≡c~2+d~2≡2(mod 4).     

关于商高数2n+1,2n(n+1),2n(n+1)+1(Ⅱ)

Jesmanowicz曾经猜测方程(a~2-b~2)~x+2ab~y=(a~2+b~2)~z的正整数解仅有x=y=z=2.对于这一猜测,其中最引人注意的是a=n+1,b=n的情形,即方程     

椭圆面积的求法

求椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1 (a>b)的面积。如图所示,作出椭圆的图形。以 O 为圆心 a 为半径作一圆 O,将 OA分成 n 等分,过第i-1、 i 点作垂线交椭圆和圆于 P′,P 和 Q′,Q。由圆的方程知 y_i′=(a~2-x_i~2) ~(1/2) ;由椭圆的方程知 y_i=b/a(a~2-x_i~2) ~(1/2) ,∴y_i/y_i′=b/a,即 y_i=(b/a)y_i′。     

Banach代数上元素线性组合的广义Drazin逆的表示

令a,b为Banach代数中的两个广义Drazin可逆元,a~d,b~d表示a,b的广义Drazin逆,a~π=1-aa~d.利用Banach代数中的幂等系统研究了两个元素a,b和的广义Drazin逆的表达式,得到ab~π=a,b~πba~π=b~πb,b~πa~πa~2b=b~πa~πaba,b~πa~πb~2ab=0,b~πa~πb~2a~2=0,b~πa~πba~2b=0,b~πa~πba~3=0等条件下和a+b的广义Drazin逆表达式.     

关于商高数

1.Sierpinski证明了方程3~x+4~y=5~z除x=y=z=2外,无其他正整数解。Jesmanowicz提出猜测:(H)对于正整数a,b,c,x,y,z,如果有a~2+b~2=c~2和a~x+b~y=c~z,     

一个生化系统极限环的存在唯一性定理

文献给出了如下一个生化反应系统:dx/dt=a-bx-xy~2dy/dt=bx+xy~2-y其中a>0,b>0;x>0,g>0对于系统(1)的研究已发表了多篇文章.本文给出了一个极限环存在唯一性的充要条件为a~2-b>(a~2+b)~2,并画出了系统的全局结构图。从而完整了对该系统的研究.     

一个不等式的导出及其应用

本文首先利用a~2+b~2≥2ab(a,b为实数)证明了不等式(2/(n-1))1相似文献   

平面和椭球面相截所得的椭圆的参数方程及其应用

设E:x~2/a~2+y~2/b~2+z~2/c~2=1为一个椭球面,P:px+qy+rz=d为一个平面.利用Householder变换,证明了E和P相交当且仅当λ≥|d|,其中λ=((ap)~2+(bq)~2+(cr)~2)~(1/2).当λ|d|时用新的方法证明了椭球面E和平面P的交线l一定是椭圆,并且给出了该椭圆的参数方程.利用交线的参数方程,给出了由所围成的内部区域的面积公式,进而给出了椭圆的长半轴和短半轴的计算公式.作为应用,又给出了交线成为一个圆的充要条件.     

对水击基本方程的探讨

本文对水击基本方程H/x+1/gV/t+1/gfV|V/2D=0,H/t+a~2/gV/x=0进行了探讨与推导,认为式中H应为全水头(H=z+p/ρg+V~2/2g)而不是测压管水头(H=z+p/ρg),水头回复的影响应该考虑。在采用列表法、图解法、电算法计算时,采用H为全水头计算要简便些。目前在有关的水击计算中,所见到的水击基本方程大都由文献1中式(2—8)及(2—28)简化得到,这里用式(a)、(b)代替上述二式。 gH/x+VV/x+V/t+fV|V|/2D=0 VH/x+H/t-Vsinα+α~2/g=V/x=0 式中 g为重力加速度;H=Z+p/ρg;Z为位头;p/ρg为压头;p为压力;ρ为水体密度;x为沿水管轴线距离;V为流速;t为时间;f为Darcy-Weisbach摩擦系数;D为水管直径;a为水管轴线与水平面夹角;a为水击传播速度。考虑式(a)(b)中VV/x<相似文献   

适合λ~2+aλ+b=0的方阵相似于若当标准形的一个简单证法

在高等代数中有这样一个性质:设n阶矩阵A适合方程λ~2+aλ+b=0(a,b是任意复数)则 (ⅰ) 当a~2-4b≠0时,A相似于矩阵 (1) 此处λ_1,λ_2是λ~2+aλ+b=0的两个根,γ=秩(A-λ_2I_n); (ⅱ)当a~2-4b=0时,A相似于矩阵此处λ_1是λ~2+aλ+b=0的二重根,γ=秩(A-λ_1I_n); (ⅲ)如果A又是厄米特矩阵时,A酉相似于矩阵(1)     

关于丢番图方程(24n)~x+(143n)~y=(145n)~z

指数型丢番图方程(na)~x+(nb)~y=(nc)~z是数论领域中非常典型的一类不定方程。设a,b,c为两两互素的正整数且满足a~2+b~2=c~2,即当a,b,c为本原商高数时,该方程就可以写为[n(a~2-b~2)]~x+[n(2ab)]~y=[n(a~2+b~2)]~z。由于该类丢番图方程与编码理论、群论以及组合论都有着紧密的联系,因此一直以来都备受广大数学爱好者的青睐。1956年,Je'sm anowicz猜想该方程仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),但迄今为止这类方程还未得到彻底的解决。本文主要运用奇偶分析法、简单同余法、以及二次剩余理论等方法,证明了:对任意的正整数n,丢番图方程(24n)~x+(143n)~y=(145n)~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),即证明了:当(a,b,c)=(24,143,145)时,Je'sm anowicz猜想成立。     

关于射影几何渐近线方程的注记

给出射影几何二次曲线Γ：3ｉ，ｊ＝1aijxixj=0（aij=aji），在a22=0，a12≠0时的渐近线方程l:a21x1+a23x3=0和l－:a11x1+a12x2+a13x3=0.     

带有位势井的分数阶渐近薛定谔方程的多解性研究

研究分数阶薛定谔方程：(-Δ)^su+V_λ(x)u=f(x,u), 0N,其中N>2s,f满足渐近线性条件，且当λ充分大时位势函数V_λ具有位势井.利用临界点定理得到方程的多解性.     

解不定方程x~2 ax-2y~2=0的一个初等方法

本文给出不定方程x~2 ax-2y~2=0求解的一个初等方法,其中a为自然数(此方程的更一般形式的求解方法参看:柯召、孙琦,《谈谈不定方程》,上海教育出版社,1980年,第36页)。容易看出,方程 x~2 ax-2y~2=0 (1)一定有解。实际上,令x=y=a,则 a~2 a·a-2a~2=0 所以(a,a)是方程(1)的一组解。如果(x_0,y_0)是方程(1)的解中的最小者,则(x_0,y_0)叫做(1)的最小解。因     

几类二次不定方程的解的递归表示

记数列u_o=0,u_1=1,u_n=a_nu_(n-1) bu_(n-2)(n≥2)的项为u_n=u_n(a,b)。设a为正整数,a~2±1及b~2±4为非完全平方的正整数,c=±1或±4,本文证明了二次不定方程x~2-(a~2 1)y~2=c,x~2-(a~2 4)y~2=c,x~2-(a~2-1)y~2=c,x~2-(a~2-4)y~2=c的一切非负整数解可分别由u_n(2a,1),u_n(2a、-1),u_n(a,1),u_n(a,-1)表示,且求得了相应的表达式。     

关于Banach代数中伪Drazin逆的进一步结果

在条件ab=φ(ba)下,研究了ab与a+b的伪Drazin逆的表达式.其中,a,b是Banach代数A中的2个伪Drazin可逆的元素,φ是A上双射的centralizer.证明了:若a,b是伪Drazin可逆的且ab=φ(ba),则ab是伪Drazin可逆的且(ab)~=b~a~;a+b是伪Drazin可逆的,当且仅当aa~(a+b)是伪Drazin可逆的,当且仅当aa~(a+b)bb~是伪Drazin可逆的.此时,(a+b)~=(aa~(a+b))~+sum from n=0 to ∞φ-(n(n+1))/2(1)(b~)~(n+1)(-a)~n(1-aa~).     

关于Jesmanowicz的猜测

1.Jesmanowicz①曾提出猜测(H)对于正整数a,b,c,x,y,z,如果有a~2+b~2=c~2和a~x+b~y=c~z,那末x=y=z=2.对于下整数a=2n+1, b=2n(n+1), c=2n(n+1)+1, (1)Sierpinski②和Jesmanowicz①已经证明猜测(H)在n=1,2,3,4,5时都能成立,     

欧拉不等式的一个分隔链

欧拉曾提出如下著名不等式R≥2r其中 R、r 分别为三角形的外接圆半径和内切圆半径,等号当且仅当三角形等过时成立(下同).本文给出它的一个分隔链.命题1 在△ABC 中(2(ab+bc+ca)-(a~2+b~2+c~2))/(3~(1/2)(a+b+c))≥2 <1>     

机翼截面柱体的弯曲和扭转问题

§1 引言本文研究了一系列变厚度的对称机翼截面柱体的圣维南弯曲和扭转问题.如图1所示,对称机翼截面的边界方程为r~(2)=b~(2)(1-sin~(2)θ/sin~(2)η_0),η_0=π/4k,b=asecη_0,其中 k 为调整机翼厚度的参数,2η_o 为截面的尾角,b