函数零点的求法及应用

本文从函数零点的问题及其应用出发,介绍了函数零点的几种求法和函数零点在解题中的几种应用,研究了函数零点和方程的根的转化关系,并讨论了已知函数零点或零点个数如何确定参数的取值范围及函数零点在探究性问题中的应用,并结合例子说明函数零点理论在求解及理论研究等方面的应用。     

Jacobi函数方程与Riemann ξ(s)函数零点

利用Jacobi函数方程和Schwarz反射原理,给出Riemann zeta函数零点满足的方程,进而推得零点均落在实部为1/2的临界线上。如此,所有与Riemann猜想等价的命题和以Riemann假设作为前提条件的结论都成立。     

一类含有同宿轨的系统的Melnikov函数的零点

该文考虑了一类具有同宿轨的三次多项式系统对应的Melnikov函数的零点问题. 这一Melnikov函数可写为Abel积分线性组合的形式. 在推导出的Abel积分的Picard-Fuch方程与相关性质的基础上, 作者得到了Melnikov函数至多只有一个零点, 这表明围绕一个平衡点至多有一个极限环分岔出. 进一步作者还给出了分岔图, 即给出了围绕一个平衡点的Melnikov函数有一个零点的充分必要条件.     

Riemann Zeta函数零点分布的研究进展

1859年,Riemann以Euler恒等式作为研究的出发点,定义了复变数s=σ+it的函数—Riemann Zeta函数,对Zeta函数进行了非常深刻的研究,解析数论也正是沿着Riemann所指明的方向在二十世纪取得了迅速的发展. Riemann Zeta函数的零点与素数的分布有着非常密切的关系.首先简述了Riemann Zeta函数的解析性质:函数方程、非零区域、阶的估计、积分均值等,对Riemann Zeta函数的零点分布的研究动态进行了阐述,并利用零点密度估计的经典方法—零点探测法,证明了Ingham的经典结果.最后介绍了Riemann Zeta函数的高阶推广—自守L-函数的零点分布及应用的研究进展,其中也包括了作者近年来在这一领域所做的部分工作.     

单机系统二阶微分模型的稳定性和周期解的研究

电力系统的稳定、安全运行关系到国民经济的发展,本文在建立单机无限大系统的二阶微分模型之后,研究了单机无限大系统模型方程的李雅普诺夫函数在零点处的稳定性及模型方程周期解,结果表明在忽略阻尼项时模型方程的李氏函数在零点处是稳定的,而考虑阻尼项时,微分方程不存在周期解,即系统不存在周期震荡。     

关于一类高阶微分方程的复振荡结果

运用微分方程复振荡理论,研究了系数是整函数的高阶微分方程解的零点分布问题,在对方程的某个系数做小的扰动的情况下,得到了方程的超越解的零点收敛指数都为无穷.     

数学教学设计的新视角——基于“萌生数学思想”的研究

萌生数学思想的教学设计需要教师理解数学知识,从知识中发掘数学思想,经由创新性教学活动,将这种思想在课堂上引导学生再一次地萌生出来.文章通过"方程的根与函数的零点"知识点的教学例子,具体地说明了教师二次开发数学教材的意义,并且为萌生数学思想的教学设计方式与过程提供一项示范性的课例.     

复平面上计算超越函数零点的一种有效算法

超越方程数值求解,是数值分析中的一个重要课题.迄今已有多种求根方法出现,但这些方法多限于处理实变量实值函数的情形,并限于求一个根.基采采用J_3剖分和整数标号法的一种互补轮回的不动点算法,本文提出在复平面上同时计算超越函数苦干个零点的一种有效算法.     

带周期边界条件的一维Dirac问题特征值的渐近估计

研究了一维Dirac方程的周期边值问题,获得了特征值的基本性质.将特征值的存在性问题转化为一个整函数的零点问题,并用复分析的方法获得了该整函数零点的渐近性态,从而获得了特征值的渐近估计和迹公式.     

时滞系统特征方程的临界零点

对于线性微分方程或线性时滞的方程的特征方程的根的讨论是稳定判据的重要方面。当它的特征根在左半平面时是稳定的,当其特征根在右半平面时是不稳定的,在虚轴上的根对应有界解或说是振荡的。我们称在虚轴的零点为临界零点。本文提出关于一     

斯特姆——刘维尔本征值问题的自然边界条件

系统地讨论了斯特姆—刘维尔本征值问题中,存在自然边界条件的几种情况:1、在求解区间[a,b]上,函数k(x)有一级零点,则在该零点处一定存在自然边界条件;2、在求解区间[a,b]上,函数k(x)有二级零点,仅当q-2≤0时,在该零点处存在自然边界条件;3、求解区间[a,b]上,函数k(x)有高于二级零点,且斯特姆——刘维尔方程在该零点处存在一个有界解,在该零点处才存在自然边界条件.     

求方程y″+Q(x)y=0解的零点的单侧逼近法

一、引言 众所周知,众多的特殊函数如贝塞尔函数、勒让德函数等都是二阶常微分方程 p0(x)Y″+p1(x)Y′+p2(x)Y=0(1)的解,实用上经常需要求它们的零点。因此,对于方程(1)的解,给出一个求零点的好方法是有意义的。本文的目的是给出一个求方程(1)的解的零点的单侧逼近叠代法,在单调非负的假定下,这个方法是大范围收敛的,其收敛速度是四阶的,而且在求得一个零点之后可继续叠代而得出下一个零点。从后面的数值例子可看出这个方法很简便而且有效。 指出一点,本文的方法与文[刘玉绅,单侧逼近方程解的叠代法,计算数学,1978年,第一期]以及[罗远诠,…     

零点定理的活用

高等数学中的零点定理是闭区间上连续函数的一个重要性质,利用它既可以证明方程根的存在性或求根的近似值,即解“等式”问题,又可以解“不等式”问题,本文从生活中谈谈零点定理的几个应用,以达到在数学教育教学中理论与实践相结合的作用。     

两类非线性微分差分方程的超越整函数解

本文应用亚纯函数的Nevalinna值分布理论,研究两类非线性微分差分方程■的超越整函数解的增长性及零点分布,得到了解的增长性估计和零点分类,这里L(f)是线性微分多项式,q(z),Q(z),P(z)是多项式.     

对带有非局部边界条件的Dirac方程的迹的研究

利用D irac方程初值问题解的渐近估计,构造了一个整函数ω(λ),其零点集合与所讨论的D irac方程特征值集重合,借助于一个积分恒等式,采用留数方法,对D irac算子的特征值进行了估计,得到了该问题的特征值的渐近迹公式。     

零点定理的活用

高等数学中的零点定理是闭区间上连续函数的一个重要性质，利用它既可以证明方程根的存在性或求根的近似值，即解“等式”问题，又可以解“不等式”问题，本文从生活中谈谈零点定理的几个应用，以达到在数学教育教学中理论与实践相结合的作用。     

复域差分和差分方程的研究

主要介绍了近十年来复域差分及$q-$差分,差分方程及$q-$差分方程研究的主要成果,其中包括亚纯函数对数导数引理的差分模拟;Clunie引理和Mohon'ko引理的差分模拟; 慢增长亚纯函数的差分, 均差分的零点, 不动点的存在性; 差分多项式的值分布性质;差分Riccati方程与差分Painlev\'{e}方程亚纯解的性质;复域$q-$差分及$q-$差分方程的解析性质.     

一类具有非线性源的半线性椭圆方程正解的对称性

利用一类函数在零点附近的凹性和可积性,用移动平面法给出了一类具有非线性源的半线性椭圆方程正解的对称性。     

三阶时滞微分方程无条件稳定的判定

利用定性分析方法和代数理论中代数方程根的性质，研究了三阶线性时滞微分方程的无条件稳定性，得到了三阶线性时滞微分方程无条件稳定性的充要条件及三次函数无正零点的在[-1,1]上无零点判定的充要条件。     

某些偏微分方程的定向振荡解

本文研究了在应用中颇为重要的几类非线性偏微分方程的振荡解。首先,我们讨论了修正KdV方程、二维KdV方程和Boussinesq方程,利用Jacobl椭圆函数作出了这些方程转化后的常微分方程的解,从而证明了原方程行波振荡解的存在性。其次,我们研究了高维约比波动方程。对所归结的微分方程构造了它的一个幂级数解,导出了此解与Bessel函数的关系,然后由Bessel函数的实零点的分布结果证明了高维约化波动方程的柱面振荡解的存在性。