特殊平面图的集合色数

设G是非平凡连通图,记c:V(G)→N是G的一个顶点染色,这里相邻的两个顶点可以着相同的颜色。对于图G的任一顶点v,与v相邻的顶点所着颜色的集称为v的邻色集,记为NC(v)。如果G中任意相邻的两个顶点u,v满足NC(u)≠NC(v),则称c是G的一个集合染色。集合染色所需的最少的颜色数称为G的集合色数,记为χs(G)。本文给出了与轮图有关的一类平面图的集合色数,向日葵图和风车图的集合色数,最后给出了一个猜想。     

优美图Bodendiek猜想的一种推广

Bodendiek 猜想一个圈加一条弦是优美图.已由[1][2]和[3]给出证明.本文以矩阵为工具,证明了该猜想的一种推广:连结两个顶点的三条独立路所成简单图,在一定条件下是优美的.假如对于简单图 G(V,E)的u∈V,赋以一个非负整数(v),则称图 G 是标定的,(v)称为顶点 v 的标号,|(u)—(v)|称为棱 uv 的标数.定义:若图 G(V,E)有满足下列条件的标号,则称 G 是优美图(graceful graph):     

关于 Randic 指数及图的直径

设图G=(V , E)是简单图,其中V是顶点集,E是边集.对G中任意顶点v∈V, dv表示点v的度数.图G的Randic指数也称为图G的连通性指数,定义为R=R(G)=∑uv∈E(1)/(dndv).关于连通图的Randic指数R与直径D有如下猜想:R-D≥2-(n+1)/(2)且(R)/(D)≥(1)/(2)+(2-1)/(n-1),两个等式都成立当且仅当G≌Pn.本文将简化该猜想,并进一步证明当D≤(2(n-1)(3)/(2))/(n-3+2 2)或D≤n-3时,猜想成立     

基本极大2K2-free图

研究了基本极大2K2-free图的一些特征,并构造了顶点数是12的基本极大2K2-free图,否定了这样的一个猜想:不存在这样的简单非完全连通图G,对其中每一对不相邻的顶点x和y,都有IM(G+zy)=IM(G)+1.     

树图的外围维纳指标的下界

设G=(V,E)为简单连通图.对v∈V(G),顶点v的离心率ε(v)=max{d(u,v)│u∈V(G)}, d(u,v)为图G中顶点u,v间的距离.图G的直径为d(G)=max{ε(v)│v∈V(G)}.外围顶点集P(G)指图G中满足ε(v)=d(G)的所有v=V(G).图G的外围维纳指标为■.首先讨论了当树图T的外围顶点个数确定时,它的第二下界;然后讨论了当树图T的顶点数目确定时,其对应的PW(T)的最小值,及达到其最小值的极图.     

一类树关于能量的排序

图G的能量E(G)定义为图G的所有特征值绝对值的和.令Tn(n≥4)是由路Pn=v1v2…vn的顶点v2与一个悬挂点联结得到的图,Tn(vi)1是由路Pn=v1v2…vn的顶点v2与vi分别联结一个悬挂点得到的图.将Tn(vi)1简记为n(2,i)1,完全解决了树n(2,i)1依能量排序的问题,它可以按n模4同余区分为4种不同情形.文中给出结构类似的树n(2,i)k1k2依能量排序的一般规律与n(2,i)1的能量排序完全类似的猜想.     

Ore定理的一个注记

对简单图G=(V,E),Ore定理告诉我们如果对G的每一对不相邻的顶点u,v都有d(u)+d(v)≥|V|,则G有哈密尔顿圈.证明了,若G仅包含一对不相邻的顶点u,v,满足d(u)+d(v)＜|V|,G仍有哈密尔顿圈.     

直径为偶数的二部图的最小EDS极图

图G的偏心距离和(EDS)定义为ξ~d(G)=∑v∈Vε_G(v)D_G(v),其中ε_G(v)是顶点v的偏心率,D_G(v)是顶点v到G中其它所有顶点的距离之和。通过研究直径为偶数的二部图的EDS,确定了直径为偶数且具有最小EDS的二部图的极图。     

圈与路联图点可区别Ⅰ-全染色和点可区别Ⅵ-全染色

一个图G的Ⅰ-全染色是指若干种颜色对图G的全体顶点及边的一个分配使得任意两个相邻点及任意两条相邻边被分配到不同颜色.图G的Ⅵ-全染色是指若干种颜色对图G的全体顶点及边的一个分配使得任意两条相邻边被分配到不同颜色.对图G的一个Ⅰ(Ⅵ)-全染色及图G的任意一个顶点x,用C(x)表示顶点x的颜色及x的关联边的颜色构成的集合(非多重集).如果f是图G的使用k种颜色的一个Ⅰ(Ⅵ)-全染色,并且u,v∈V(G),u≠v,有C(u)≠C(v),则称f为图G的k-点可区别Ⅰ(Ⅵ)-全染色,或k-VDITC(VDVITC).图G的点可区别Ⅰ(Ⅵ)-全染色所需最少颜色数目,称为图G的点可区别Ⅰ(Ⅵ)-全色数.利用组合分析法及构造具体染色的方法,讨论了圈与路的联图C_m∨P_n的点可区别Ⅰ(Ⅵ)-全染色问题,确定了这类图的点可区别Ⅰ(Ⅵ)-全色数,同时说明了VDITC猜想和VDVITC猜想对于这类图是成立的.     

控制数给定的树的最大离心距离和

图G的离心距离和定义为ξ~d(G)=∑V∈V_Gε_G(v)D_G(v),其中ε_G(v)是顶点v的离心率,D_G(v)是指在图G中顶点v到其他所有顶点的距离和。运用结构图论的方法刻画了控制数为4的树的最大离心距离和对应的极图。     

3－W_n图的优美性

证明了在齿轮图ｎ个齿的顶端各加上三条长度为１的边所得的图是优美的，从而对齿轮图的优美性作了推广．     

关于Km，n并图的优美性

对于自然数k，m，n，本文给出一类非连通图↑k∪↓i=1Kmi.ni；通过构造标号函数的方法，证明了当max{mi，ni}≥3，min{mi，ni}≥2(i=1，2，…，k)时这类图既是优美图，也是交错图；从而给出构造一类任意个图的并图是优美图的一种方法，拓宽了优美图及其应用的道路。     

图U∧C_(4,m_i)from i=1 to n的优美性

优美图是图论中的一个重要分支,至今对非连通优美性的研究并不多,特别是对n个图的并图的优美性研究就更少.本文证明了一类任意n个二分图∧C4,m的并图4,1inmiC=U∧是优美图,且是交错图.     

再论图Pn^3的优美性

给出图Pn3的另一种优美标号,证明其图是优美图且是交错图.另外指出文献[1]中的一个错误和给出了相应正确的结果,同时证明了严谦泰,张忠辅给出的标号以及我们改正的标号都是交错的.     

任意n个完备二分图的并图的优美性

优美图是图论中的一个重要分支,至今对非连通优美性的研究并不多,特别是对n个图的并图的优美性研究就更少.本文证明了任意n个完备二分图的并图是优美图,且是交错图.     

一类串图的优美性

给出了一些图的优美标号,特别给出了串图ωm1,m2,mn,mn＋1当m1,m2,…,mn≡0（mod4）,mn＋1≡3（mod4）的优美标号,以及串图ωm1,m2,,m2n当mi≡2（mod4）（i=1,2,…,2n）,m2k-1＜m2k,（k=1,2,…,n）时的优美标号.     

图∪ from i=1 to n(F_(mi,4))的优美性

给出图∪ni=1Fmi,4 的一类非连通图 ,并证明这类图是优美图 ,且也是交错图 .     

Hamilton图的代数刻划

运用矩阵方法,给出了连通图是Ｈａｍｉｌｔｏｎ图的一个代数刻划     

关于图n∪i=1(～P)4和n∪i=1(～P)8的优美性

棱柱图(～P)n是由2个回路v1,v2,v3,…,vn和u1,u2,u3,…,un,加上边uivi后所组成的图形.图n∪i=1(～P)4是n个(～P)4的不交并图,图n∪i=1(～P)8是n个(～P)8的不交并图,证明了2类非连通图n∪i(～P)4和n∪i=1(～P)8是优美图且是交错图.     

关于图∪（i=1）n4和∪（i=1）n8的优美性

棱柱图n是由2个回路v1,v2,v3,…,v n和u1,u2,u3,…,un,加上边uivi后所组成的图形.图∪ni=14是n个4的不交并图,图∪n i=18是n个8的不交并图,证明了2类非连通图∪n i=14和∪n i=18是优美图且是交错图.