运用复规范形法计算Hopf分岔系统的最简规范形

为简化最简规范形的求解过程，提出了一种应用复规范形理论计算Hopf分岔系统最简规范形的有效方法．建立了复坐标下Hopf分岔系统的规范形及非线性变换，以复数运算替代原有实数形式矩阵表示法的矩阵推导过程，获得了此类Hopf分岔系统的最简规范形，归纳出了这一非线性系统最简规范形系数的选择规律．通过算例验证了本方法对于简化传统规范形结果的有效性．     

具有一对纯虚及单零特征根系统的最简规范形

最简规范形在分析高余维非线性系统分岔及稳定性等动力学特性方面具有重要的研究价值.为简化系统最简规范形的求解过程,采用复规范形理论,以复数运算替代原有的实数形式矩阵分析过程,获得了具有一对纯虚和单零特征根(Hopf-zero)分岔系统的最简规范形,归纳出了该类系统高阶关键方程的一般形式,并且重新定义了新的非线性变换表达式.所附算例验证了最简规范形理论对于简化传统规范形结果的有效性.     

用内积法研究Hopf分岔系统的规范形

在动力系统的规范形理论基础上，用内积法研究了Hopf分岔系统的规范形，对矩阵表示法进行了改进，研究了Hopf分岔系统的规范形系数与原系统的关系，得出比传统规范形更简化的一个表达式。     

双Hopf分叉系统最简规范形的计算

利用规范形理论研究了Hopf分叉系统最简规范形的计算,得到了计算4维非线性系统最简规范形的通用公式.通过对覆冰悬索系统的分析,用数值方法验证了该计算方法在研究高维非线性系统中的有效性.     

高维Hopf分岔系统的最简规范形

针对高维Hopf动态分岔问题,研究了不经计算其传统规范形,直接计算高维任意阶数的Hopf分岔系统的最简规范形.利用中心流形定理,将原n维动力系统降为二维的中心流形,根据规范形理论,对中心流形上流的方程进一步化简,在不经过计算传统规范形的情况下,直接计算出其最简规范形中只包含的三阶和五阶项.编写了Mathematica程序,利用该程序,可直接由原n维动力系统计算出其最简规范形.通过3个算例验证了该方法的正确性和计算程序的高效性.     

不经中心流形化简计算半单系统的最简规范形

为了在不经中心流形降维的情况下高效计算半单系统的最简规范形,基于矩阵表示法研究了半单系统的最简规范形．在系数矩阵的补算子空间上选取适当的近恒同变换代入原动力系统,求得含有低阶变换的传统规范形,通过逐次比较补算子空间上同阶项系数确定近恒同变换和系统最简规范形,利用符号运算语言Mathematica编制了计算半单系统最简规范形的通用程序,在不经过中心流形降维的情况下,可计算多种奇点类型的高维半单系统最简规范形,并给出了2个算例以证明该方法的有效性．     

复规范形方法简介及其研究现状

复规范形理论作为研究非线性常微分方程的强有力工具之一,在研究非线性动力系统的稳定性和分岔方面发挥了重要作用.本文介绍由Nayfeh提出的复规范形及由张琪昌提出的改进的复规范形方法,井介绍其在非线性振动中的应用情况.     

立方非线性机翼非零平衡点极限环颤振的研究

本文深入研究了在不可压缩流中有立方非线性刚度的二元机翼颤振系统关于非零平衡点发生Hopf分岔的情形.采用中心流行理论对原系统降维得到分岔点处中心流形约化方程,再对约化方程进行化简得到Hopf分岔的A规范形,应用谐波平衡法分析广义气流速度对机翼颤振系统分岔特性的影响,并研究了系统参数对非零平衡点极限环颤振的影响.     

用复规范形法研究窄带随机动力系统

为了深入研究窄带噪声作用下随机动力系统的特性,将复规范形法用于窄带随机动力系统研究了Duffing、Rayleigh和Vanderpol方程在谐和与窄带随机参数激励联合作用下的主共振响应和稳定性．由复规范形法得到了此系统响应振幅和相住所满足的方程,再由摄动法分析了系统的主共振响应和稳定性,并用随机增维精细积分法验证了方程理论分析结果的正确性,用数值法计算了平凡解的Lyaputov指数曲面．结果表明,随着窄带随机扰动强度的增加,系统稳态解的相图从极限环变为扩散的极限环．研究证实了复规范形法用于窄带随机动力系统是有效的．     

一类输流管道模型的稳定性与分岔分析

研究了一类铰-铰结构输流管道在组合参数共振和内共振下的分岔行为.利用多尺度法得到模态方程、约化方程和特征方程.利用规范型理论,给出了系统在简单零特征根、一对纯虚特征根和一个负特征根情形下的规范型,并详细讨论了系统的分岔解及其稳定性,给出了系统稳定性条件.研究表明,系统存在静态分岔、初始Hopf分岔、第二类Hopf分岔及2维胎面等分岔解,并画出分岔转迁曲线图.     

二维映射的规范型系数的代数结构及多重Hopf分支

引入复仿射不变量及旋转不变量概念，得到二维映射在共振与非共振情形下规范型系数的代数结构，并利用规范型讨论二维映射的多重Ｈｏｐｆ分支。     

非线性时滞反馈对共振附近动力学行为的影响

研究了一个具有线性和非线性时滞反馈的极限环振子系统1∶3共振双Hopf分岔.通过应用多尺度方法,得到了该1∶3共振的复振幅方程,并通过将其复振幅设为极坐标-笛卡尔混合形式,将其复振幅方程转化为一个三维的实振幅系统.通过研究其实振幅方程,对系统在有非线性时滞反馈和无非线性时滞反馈两种情况下的动力学行为进行了分类和比较.结果显示,在两种情形下,系统有完全不同的动力学行为.     

机翼颤振的非线性动力学和控制研究

介绍应用现代非线性动力学和控制的理论和方法对机翼颤振问题进行的一些研究,主要包括3部分:①针对用活塞理论建立的(高)超音速流中机翼的颤振方程,首先进行稳定性分析,证明Hopf分岔导致系统颤振失稳.然后应用规范型直接法推导出Hopf分岔的规范型,分析其系数表明,随着飞行马赫数提高,Hopf分岔由超临界形式变成亚临界形式,对结构的危害性增大;②针对不可压缩流中具有立方非线性俯仰刚度的二元机翼颤振,应用wash-OUt滤波器技术进行主动控制.对于引入的wash-out滤波控制器,先按Hopf分岔条件确定线性控制增益,再用规范型直接法得到受控系统的规范型,由分岔类型与规范型系数的关系确定非线性控制增益,从而可以将危害性较大的亚临界Hopf分岔变为危害性较小的超临界Hopf分岔;③基于空间Poincare百截面并引入轨迹追踪技术,改进胞映射方法,分析初始条件对含双线性结构刚度因素的机翼颤振的影响.结果显示,初始条件对系统动力学行为有着很大的影响.当两段刚度之比小于某临界值时,不同的初始条件会导致平衡点、极限环振动、复杂的周期运动、混沌和发散运动等不同的运动形式.     

计算分岔规范型和普适开折的同调方法

应用同调方法研究分岔规范型和普适开折的显式计算. 对于Z₂对称的double-zero分岔, 给出了同调方程, 导出了规范型的显式计算公式, 建立了计算普适开折的线性代数方程, 并以一个修改的van der Pol系统为例, 说明了该方法在分岔分析上的优势.