求解常系数 ODE 的 Sobolev 正交小波有限元法

通过采用周期化的Ｓｏｂｏｌｅｖ正交小波基函数来数值求解常系数常微分方程，分析了这种Ｓｏｂｏｌｅｖ正交小波有限元法的一般步骤和算法特点．数值实验说明该法的收敛速度和误差分布都很好．     

Cantor集上的对数Sobolev不等式

利用两点不等式和构造一类特殊的映射的方法，证明了一类特殊集合－Ｃａｎｔｏｒ集上的标准Ｌａｐｌａｃｅ算子满足对数Ｓｏｂｏｌｅｖ不等式，并给出了相应的对数Ｓｏｂｏｌｅｖ常数的估计。     

Sobolev空间及推广

介绍了Ｓｏｂｏｌｅｖ空间研究进展及推广。     

一类拟线性退缩椭圆方程的第一边值问题

拟线性退缩椭圆方程的解一般可有强间断，因而一般不能在Ｓｏｂｏｌｅｖ空间进行讨 论。本文在ＢＶ∩Ｌ空间对一类拟线性退缩椭圆方程的第一边值问题建立了广义解的 存在性与唯一性。此外，还得到使解属于Ｓｏｂｏｌｅｖ空间Ｗ的一个充分条件。     

半线性波动方程的Sobolev指数

本文讨论半线性波动方程的Ｓｏｂｏｌｅｖ指数，与Ｐｏｎｃｅ和Ｓｉｄｅｒｉｓ（１９９３）得到的最新结果比较，本文得到的Ｓｏｂｌｅｖ指数更小型化了     

一类半线性波动方程的低正则性估计

对形如ｕｕ－△ｕ－ｕ＾ｋ（Ｄｕ）＾ａ（ｘ∈Ｒ＾３,ｋ∈Ｚ＾＋,ｌ＋｜ａ｜＝２）的半线性波动方程在三维空间中的Ｓｏｂｏｌｅｖ指数进行了研究,用较简单的方法得到了与ＫｌａｉｎｅｒｍａｎＳ．和ＭａｃｈｅｄｏｍＭ．（Ａｒｃｈ Ｒａｔ Ｍｅｃｈ Ａｎａｌ,１９９２,８６（５）：３６９）相同的结果,即Ｓｏｂｏｌｅｖ指数为２。     

一类电报方程解的Sobolev指数

对一般的偏微分方程,其Ｓｏｂｏｌｅｖ指数为（ｎ２＋１）,Ｐｏｎｃｅ和Ｓｉｄｅｒｉｓ（Ｃｏｍｍｕｎ．ｉｎＰＤＥ,１９９３,１８（２～４）：１６９）证明了对一些具特殊非线性项的半线性方程,如ｕｔ－Δｕ＝ｕｋ（Ｄｕ）α（ｘ∈Ｒｎ,ｋ∈Ｚ＋,ρ＝｜α｜≥２）,其Ｓｏｂｏｌｅｖ指数会在ｎ２与（ｎ２＋１）之间,本文研究半线性电报方程ｕｔ－Δｕ＋ｐｕ＝ｕｋ（Ｄｕ）α（ｘ∈Ｒｎ,ｋ∈Ｚ＋,ρ＝｜α｜≥２,ｐ≠０）,得到了其Ｓｏｂｏｌｅｖ指数仍然在区间（ｎ２,ｎ２＋１）之内,因此本文可以看作是Ｐｏｎｃｅ和Ｓｉｄｅｒｉｓ工作的继续     

椭圆型Cardinal样条

获得Ｒ＾ｄ上齐次椭圆型Ｃａｒｄｉｎａｌ样条插值的存在唯一性,并获得Ｓｏｂｏｌｅｖ类上的函数在Ｌｐ（Ｒ＾ｄ）（１≤ｐ≤∞）尺度下的插值误差估计,以及Ｓｏｂｏｌｅｖ类在Ｌ２（Ｒ＾ｄ）尺度下的一些极值问题的解;拓广了Ｌａｐｌａｃｅ型的结果。     

关于齐次群上Sobolev型空间的一点注记

从Ｓｏｂｏｌｅｖ型空间出发,构造了更广泛的齐次群上的Ｓｏｂｏｌｅｖ型空间Ｖｍ,ｐ．基于Ｗｍ,ｐ（Ｇ）＝Ｗｍ,ｐ０（Ｇ）这一偏微分方程中的重要关系式,建立了齐次群Ｇ上的关系式Ｖｍ,ｐ０（Ｇ）＝Ｖｍ,ｐ（Ｇ）,并给出了严格证明     

关于齐次群上Sobolev型空间的一点注记

从Ｓｏｂｏｌｅｖ型空间了发，构造了更广泛的齐次群上的Ｓｏｂｏｌｅｖ型空间Ｖ＾ｍ，ｐ，基于Ｗ＾ｍ，ｐ（Ｇ）＝Ｗ＾ｎ，ｐ，０（Ｇ０这一偏微分方程中的重要关系式，建立了齐次群Ｇ上的关系式Ｖ＾ｍ，ｐ，０（Ｇ）＝Ｖｍ，ｐ（Ｇ）并给出了严格证明。     

一类非线性椭圆型方程Dirichlet问题的一些存在性定理

本文利用一般Ｓｏｂｏｌｅｖ空间理论和临界点理论，讨论了一类非线性椭圆型方程的Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ问题，获得一些解的存在性定理。     

Cahn—Hilliard方程的一类弱条件稳定的谱格式

研究一类非线性Ｃａｈｎ－Ｈｉｌｉａｒｄ方程的谱方法和拟谱方法，构造了一类弱条件稳定的全离散显式谱格式及拟谱格式．利用非线性函数有界延拓法和Ｓｏｂｏｌｅｖ不等式证明了格式的收敛性和稳定性．该拟谱格式为一显式，但具有隐格式的收敛精度与稳定性，容易在计算机上实现．最后给出数值结果．     

平移不变空间的逼近

获得了Ｓｏｂｏｌｅｖ函数类及各向异性Ｂｅｓｏｖ类由平移不变子空间的逼近的逼近阶。     

一类高阶波动方程解的渐近理论

在Ｓｏｂｏｌｅｖ空间中研究了一类半线性高阶波动方程解的渐近理论，得到了形式近似解的合理性在长时间范围内成立。     

关于乘积函数的估计

本文利用几个重要不等式，对Ｓｏｂｏｌｅｖ空间中两个函数的乘积在Ｌｅｂｅｓｇｕｅ空间中给出了范数的估计。     

自旋铁磁链方程解的整体存在性

对Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ自旋铁磁链方程进行了研究,应用Ｌｅｒａｙ－Ｓｃｈａｕｄｅｒ固定点定理,在通常的Ｓｏｂｏｌｅｖ空间,得到了该方程的整体存在性．     

分裂系数椭圆组次临界特征问题

本文我们证明了一类自然增长分裂系数椭圆组特征问题广义解的存在性，这里特征指数允许超过Ｓｏｂｏｌｅｖ指数。     

具有耦合的Fitz—Hugh—Nagumo方程组的整体吸收子和维数估计

讨论了具有耦合的Ｆｉｔｚ－Ｈｕｇｈ－Ｎａｇｕｍｏ模型初边值问题的长时间行为，首先利用Ｇｒｅｅｎ公式及Ｓｏｂｏｌｅｖ空间的嵌入定理，证明了耦合的ＦＨＮ模型的整体吸收子的存在性；其次利用广义Ｓｏｂｏｌｅｖ－Ｌｉｍｂ－Ｔｈｉｒｒｉｎｇ不等式和线性化算子迹的计算，又给出了该吸收子的维数估计，讨论了耦合地ＦＨＮ模型的动力行为，关于这方面的研究以前尚未见论及；文章去除了一般文献中关于解的“不变区域”的限制。     

地球内磁场流方程解的存在唯一性

利用积分运算和Ｓｏｂｏｌｅｖ估计，研究地球内磁场流方程，证明了解的存在唯一性，这将有助于其在地球物理科学中的实际应用。     

用神经网络逼近函数及其导数

对于给定的函数ｆ∈Ｗ′Ｍ［－π,π］ｄ,Ｍｂａｓｋｅｒ和Ｍｉｃｈｅｌｉ已构造出具体的神经网络逼近Ｓｏｂｏｌｅｖ类函数及其导数并给出逼近阶的估计。但对于给定的函数φ∈Ｗ′Ｍ（Ｒ′）并没有考虑。文章通过一个定理和Ｍｂａｓｋｅｒ的一个结果,对给定的函数φ∈Ｗ′Ｍ（Ｒ′）构造出具体的神经网络逼近Ｓｏｂｏｌｅｖ类函数及其导数并给出逼近阶的估计。