有关奇完全数不存在性的若干刻画

完全数是数论研究中的一个既重要又极具挑战性的研究课题,是否存在无穷多个偶完全数以及是否存在奇完全数依然是未解决的问题.为讨论奇完全数的存在性问题,讨论了4p+1形式的奇正整数■在σ(π^α)≡6(mod8)条件下是否是奇完全数的问题,利用初等方法,给出了此时n不是完全数的若干刻画.     

几类奇完全数的不存在性

讨论了奇完全数的欧拉因子和非欧拉因子的性质,给出了几类正整数不是奇完全数的条件,并对形如n=πα32β0s∏i=1qi2βi的奇完全数的欧拉因子的大小作了估计.     

关于完全数的一点注记

如果正整数n适合σ(n)=2n,则称n为完全数.奇完全数的存在性问题是一个著名的数论难题,本文给出奇完全数的几个结论,由此推出Fermat数及形如6 m+5的正整数都不是完全数.     

特殊类型奇完全数Euler因子的一些结论(英文)

奇完全数的存在性问题是一个著名的数论难题,迄今尚未解决.本文研究了特殊类型奇完全数的Euler因子,并给出了一些结论:如果n=πα32β1Q21β1是奇完全数,并且π=5时,那么α≥9;如果n=πα52β2Q22β2是奇完全数,并且π=13时,那么α≥9.     

一类奇完全数相异素因子的个数

关于奇完全数的存在性问题是一个著名的数论难题,迄今远未解决.在奇完全数存在的条件下,研究了一类2重奇完全数相异素因子个数的下界,利用解析的方法,给出了结论:若n=p1β1p2β2...psβs是奇完全数,其中p1,p2,…,ps是相异的奇素数, β1,β2,…,βs∈N,(3,n)=(5,n)=1,则ω(n)≥17,其中ω(n)表示为奇完全数n相异素因子的个数.     

关于奇完全数的Euler因子的一些性质

研究了奇完全数的Euler因子的一些性质,利用奇完全数的一些指数结论证明了,若N=π^a 3^2β0P1^2β1…Pk^2βk是奇完全数,满足β0≡β1≡…≡βk（mod 3）,则σ（π^a）≡0（mod 3^2β0）;若N=π^a 5 ^2β0P1 ^2β1…Pk ^2βk是奇完全数,满足β0≡β1≡…≡βk（mod 5）,则σ（π^a）≡0（mod 5^2β0）。     

一类正整数是否为孤立数研究

设σ( n )是正整数n的所有正约数之和。如果正整数n,m满足σ( n )=σ( m )= m +n,则( m,n)被称为一对相亲数。相反地,对于给定的正整数n,若不存在任何正整数m满足σ(n)=σ(m)= m+n,则称n为一个孤立数。讨论了正整数Sn =12(92n +1)是否为孤立数的问题,证明了其是孤立数的结论,其中n是任意的正整数。     

奇完全数的倒数和的一个注记

关于奇完全数的存在性问题是一个著名的数论难题,迄今远未解决.在奇完全数存在的条件下,研究了下界为10500的全部奇完全数n(其中ω(n)≥12,ω(n)是n的互异素因子个数)的倒数所组成的级数,给出了其和的一个上界.     

关于数论函数σ(n)的一个注记

对于两个不相同的正整数m和n,如果满足σ(m)=σ(n)=m+n,则称之为一对亲和数,这里σ(n)=∑d|nd。本文给出了f(x,y)=x2x+y2x(x>y≥1,gcd(x,y)=1),当x,y同为奇数时,f(x,y)和f(x2,y)不与任何正整数构成亲和数对的结论。     

关于亲和数与完全数的一个注记

讨论形如Sn=n2n+1(n为奇数)的数,从而证明了Sn=n2n+1的数既不是完全数,也不与其他数构成一对亲和数.根据以往的结论与该文的结论,得出更为一般的结论:形如Sk=k2k+1(k为任一正整数)的数既不是完全数,也不与其他数构成一对亲和数.     

关于奇完全数的Euler因子及其次数

设π、α分别是奇完全数n的Euler因子及其次数，当n的非Euler因子q≡3(mod 4)时，π≡α(mod 8).     

关于指数diophantine方程x^2＋q^m=p^n的可解性

设p和q是适合q^2＋1=2p^2的奇素数,运用初等方法证明了：当q≡3（mod 4）时,方程x^2＋qm=pn仅有正整数解（x,m,n）=（p^2-1,2,4）.     

形如pq的三阶Carmichael数

设p,q是不同的奇素数.证明了:如果n=pq,则n不是适合n3-1≡0(modp2-1)和n3-1≡0(modq3-1)的三个阶Carmichael数.     

Euler数的整除性

设p是奇素数，给出了Et≡0(modp)成立的充要条件，其中t=2[p/4]，Et是第t个Euler数.特别地，当p≡5(mod8)时，Ｅｔ０（ｍｏｄｐ）.     

默森尼质数的判别法及其构造

得到默森尼 (Mersenne)数为质数的判别法和构造 ,当Mp=2 p- 1为合数时其因数的特征及其因数个数的估计。(1)Mp=2 p- 1为质数的充要条件是 Mp2kp + 1≡ 0　 (mod p)(2 )如果Mp=2 p- 1且Qi|Mp　i=1,2 ,……T那么 12     

奇完全数存在条件及素因子个数

关于奇完全数的存在性问题是一个著名的数论难题,迄今远未解决。本文研究奇完全数的存在的条件,给出了奇完全数存在与否的一个充要条件,并且在奇完全数存在的条件下,给出了两类奇完全数的相异素因子的下界。     

关于由Paley矩阵构造的码

从n阶Paley矩阵S出发,可以构造一个码C,它含有码字0＝（0,0,…,0）,1＝（1,1,…,1）以及矩阵（S＋I＋J）／2和（－S＋I＋J）的全部行向量,其中n是奇素数的方幂,I和J分别是单位矩阵和全1矩阵,证明了当n＝1（mode4）时,C是（n,2(n 1),(n-1)/2)码;而当n=3(mod4)时,C是（n,2(n 1),(n-3)/2)码。     

循环图中部分图类的导出匹配可扩性

如果一个图的任何一个导出匹配都能包含在一个完美匹配当中,就称之为导出匹配可扩的.对有2n个顶点x1,x2,…,x2n的图,如果对于i-j≡±1(mod2n)或者i-j≡±k(mod2n)的i和j,均有xixj∈E(G,)则称其为步长为1和k的循环图,记为C2n(1,k.)通过详细讨论循环图的导出匹配可扩性,具体给出了循环图中的部分图类的导出匹配可扩性。     

一类新链图的优美性

定义了有柄mi圈链图和无柄mi圈链图,得到了在m1,m2,…,mn≡0(mod4)时它们都是优美图、无柄mi圈链图是k优美图,并且给出了具体标号;进一步得到了在m1,m2,…,mn≡0(mod4),mn+1≡3(mod4)时这2类链图也是优美图的新结果及其证明.