关于Camassa-Holm方程尖孤立子解的扩展

对任意的参数k和波速c,使用动力系统分支方法求出了Camassa Holm方程有形如u(x,t,c,k)=(k c)·exp(-｜x-ct｜)-k的尖孤立子解.以前文献中有关该方程的尖孤立子解变成了本文的特殊情况.     

广义Camassa-Holm方程的尖峰孤立子及其耗散下的行波解

从数学的角度研究了广义Camassa-Holm方程的行波解，在此基础上得到了广义Camassa-Holm方程的尖峰孤立子解，并讨论尖峰孤立子的性质，特别是，借助Mathematica数学软件讨论了m=1,2,3时广义Camassa-Holm方程的尖峰孤立子的情况，并给出相应的图形，同时还找到了m=3时广义耗散Camassa-Holm方程的精确行波解。     

大气尘埃扩散方程行波解

考虑一类大气尘埃等离子体扩散方程. 首先对方程进行行波变换, 变为行波方程; 其次引入一个泛函, 并令该变分为零, 决定Lagrange算子; 然后构造一个广义变分迭代式和决定零次近似的孤立子函数解, 再由迭代式依次求出各次近似孤立子解; 最后利用行波变换得到原方程孤立子的各次近似行波解.     

构造变系数非线性发展方程无穷序列精确解的一种方法

为了获得变系数非线性发展方程的无穷序列精确解,给出一种辅助方程的Bcklund变换,并用符号计算系统Mathematica构造了广义变系数KdV方程和带强迫项变系数组合KdV方程的无穷序列精确解.这里包括无穷序列光滑孤立子解和无穷序列尖峰孤立子解.这种方法在寻找其他变系数非线性发展方程无穷序列精确解方面具有普遍意义.     

非线性强度下浅水波方程的尖峰孤立子解

引入非线性强度浅水波方程,研究了该类方程中非线性强度项m对方程解的影响.对m的不同取值得到了方程的尖峰孤立子解,特别是二类新型尖峰孤立子解,此新解不同于通常的e-|x-ct|型的尖峰孤立波解,且解是非局部的,可以表示为δ函数的形式,并给出相应解的图形.同时,对浅水波方程中的常系数γ进行了讨论,得到γ>0,γ<0下不同类型的非线性强度浅水波方程的孤立波解.     

Klein-Gordon方程的行波解

文章应用平面动力系统理论研究了Klein-Gordon方程,光滑的孤立行波、周期波、扭子与反扭子波的存在性得到了证明。在一些简单条件下,给出了所有可能的精确的解析行波解。     

一类非线性波方程的尖峰孤立子解

根据尖峰孤立子解的特点,提出了待定系数法求非线性方程尖峰孤子解的方法,并利用该方法求出了一类非线性波方程u_t+2ku_x-u_(xxt)+(b+1)uu_x=bu_xu_(xx)+uu_(xxx)-γ·u_(xxx)的几类尖峰孤立子解.几个重要的非线性方程,如CH(Camassa-Holm)方程、DP(Degasperis-Procesi)方程和带色散项的DP方程等,作为该方程的特殊情形也得到了若干新的尖峰孤立子解.文献中已有的结果成为本文结果的特例.本文方法也适用于求其他多个非线性方程的尖峰孤立子解.     

辅助方程法的两大特点及其应用

用吴文俊提出的研究数学史的"新方法论"来研究辅助方程法有关的大量文献,总结了辅助方程法的构造性和机械化性两大特点.在此基础上,发挥这两大特点给出了第一种椭圆辅助方程的新解和Backlund变换,构造了非线性发展方程的无穷序列新精确解.其中包括无穷序列光滑孤立子解、无穷序列尖峰孤立子解和无穷序列紧孤立子解.     

浅水长波近似方程的行波解分支

运用平面动力系统理论、分支理论和直接方法研究浅水长波近似方程,证明该方程存在光滑孤立波解、扭结波解、反扭结波解及无穷多光滑周期波解.并在不同的参数条件下,给出光滑孤立波解、扭结波解、反扭结波解和光滑周期波解存在的各类充分条件,求出了上述一些有界的显式精确行波解.     

Dullin-Gottwald-Holm方程的新的精确解（英文）

利用F展开法探讨了Dulliln-Gottwald-Holm方程,并获得了一些更一般的新的精确线,譬如尖峰波、孤立波型的精确解,周期行波解和有界波解.     

Toda连续系统的Compacton解及Peakon解

研究了一类Toda连续晶格系统的特殊孤立波解：紧孤立波解Compacton和尖峰孤立波解Peakon．设Toda系统中横向与纵向波动处于同一量级，通过行波约化，将Toda系统约化为关于行波变量的常微分方程．假设该方程的解具有局部正弦、局部余弦和指数形式，将常微分方程的求解问题转化为代数方程的求解，利用吴消元法，借助Mathematica数学软件，获得了Toda系统的Compacton解和Peakon解．Compacton解在有限区间外恒为零，是更强局部性的孤立波解．Peakon解在波峰处一阶导数不连续，但可用Dirac广义函数表示．通过电一力类比可以建立与Toda系统等价的电路，利用电路产生的孤子信号可以进行一些特殊的信号处理．     

耦合Konopelchenko-Dubrovsky方程的周期波解

用F-展开法求解耦合Konopelchenko-Dubrovsky方程,得到了一些其它方法不能得出的新的显式行波解,其中包括Jacobi和Weierstrass椭圆函数周期解,双曲函数解和三角函数解.     

概周期解和有界解的存在性

利用压缩映像原理和指数型二分性理论研究了时滞扰动系统dxdt=A(t)x+f(t,x)+g(t,x(t-τ))得到了存在唯一概周期解和有界解的一些充分条件,把文献[1]和[5]的结果推广到泛函微分方程.     

广义坏Boussinesq方程的新精确孤波解和余弦周期波解

利用假设待定法求出了广义坏Boussinesq方程的具双曲正割函数分式形式且渐近值不为0的4个新精确孤波解和6个余弦周期波解,并分别讨论了它们的有界性,揭示了行波波速的改变对上述钟状孤波解和余弦周期波波形变化的影响.     

一类时滞系统的概周期解与有界解

考虑两类概周期系统,利用压缩映像原理和指数型二分性粗糙度理论,得到保证上述系统存在唯一概周期解及有界解的充分条件.所得结果推广或改进了一些已有的结果.     

一类反应扩散模型全局解的存在性和局部解的Blow-up

讨论了一类反应扩散模型在齐次Neumann边界条件下的初边值问题正解的全局存在性和局部解在有限时刻的Blow-up现象。同时，用类似的方法，推广讨论了一些具体的对流反应扩散问题的全局解的存在性。     

一类充分非线性方程Compacton解和孤立波解

研究一类五阶充分非线性色散方程:um-1ut±a(un)x+b(uk)xxx+c(uq)xxxxx=0(nkq≠0), 用拟设法求出它的Compacton解和周期波解及其孤立波解,讨论不同非线性参数情况下解的变化.另外研究了(2+1)维和(3+1)维充分非线性色散方程的解,并推广到(n+1)维充分非线性色散方程.     

非线性弦振动方程的孤子解、周期孤立波解和拟周期解

利用Hirota双线性方法,首先得到了非线性弦振动方程的孤子解,图形分析表明,此方程存在阶梯状的双向孤子解,既包括迎面型碰撞的孤子解,也包括追赶型碰撞的孤子解.其次,得到了非线性弦振动方程4种类型的周期孤立波解.最后,借助于Riemann theta函数,得到了非线性弦振动方程的拟周期解,在极限情况下,该拟周期解可以退化为孤子解.     

广义Camassa-Holm方程的对称性约化和精确解

利用一种更直接有效的对称性约化方法(CK直接约化法),研究具有充分非线性项的广义Camassa-Holm方程C(m,n,p)的精确解以及解受非线性项影响的情况．在3种规则的要求下得到了广义Camassa-Holm方程的对称性约化,特别研究了C(m,1,1)的对称性约化,约化的结果得到了丰富的解：紧孤立波解(Compacton),尖峰孤立波解(peakon),扭结解和光滑的钟型孤立波解．     

mKdV和mBBM方程的新型孤子解

尖峰孤子解和紧孤子解是非线性方程的新型孤子解.利用相关文献提出的方法分别研究修正的KdV方程(mKdV)和修正的BBM方程(mBBM),得到3种形式的孤子解:尖峰孤子解、双峰孤子解和尖峰紧孤子解.通过数值模拟得到解的图像,其中之一为双峰形的孤立波.这些结果进一步丰富了这2个非线性波方程的精确解的形式和内容.该文提出的3个拟解之一还可以用于其他多个非线性波方程,如:Klein-Gordon方程、Ф4方程、Sine-Gordon方程和Landau-Ginzburg-Higgs方程.