求解两个与Smarandache函数有关的方程

对任意正整数n,著名的Smarandache函数S(n)定义为最小的正整数m,使得n│m!.对于任意给定的正整数n,伪Smarandache函数Z(n)定义为最小的正整数m,使得n│1+2+…m=m(m+1)/2.对任意正整数n,伪Smarandache无平方因子函数Zw(n)定义为最小的正整数m,满足n│mn,即Zw(n)=min{m∶m∈N,n│mn}.用初等方法研究了方程S(n)+Z(n)=n和Zw(Z(n))-Z(Zw(n))=0并给出了它们的全部解.     

Mersenne数的Smarandache函数值的下界

对于正整数n,设S(n)是n的Smarandache函数。对于素数p,设Mp=2p-1是Mersenne数。文中运用初等方法讨论了S(Mp)的下界。证明了:对于任何正整数x,如果p≥9x2(logx+1)3,则必有S(Mp)≥2xp+1。     

关于数论函数方程φ(n) =S(n5)

对于正整数n,设φ(n)和S(n)分别是Euler函数和Smarandache函数.证明了:方程φ(n)=S(n5)仅有解n=1,64.     

关于Euler函数的一个方程

对于正整数n,设φ（n)和S(n)分别是n的Euler函数和Smarandache函数。本文解决了有关φ（n)和．S(n)的一个方程问题。     

数论函数方程tφ(n)+φ2(n)=S(SL(nk))的正整数解

设t∈N,n∈Z⁺,其中N和Z⁺分别是所有非负整数集合和所有正整数集合，利用欧拉函数φ(n)、广义欧拉函数φ₂(n)、Smarandache LCM函数SL(n)和Smarandache函数S(n)的性质以及初等数论的方法，得到了方程tφ(n)+φ₂(n)=S(SL(n¹³))只在t=0、1、2、3、4、5、7、10、13、15时有正整数解n及方程tφ(n)+φ₂(n)=S(SL(n¹⁸))只在t=0、1、3、6、7、9、14、18、19时有正整数解n,并给出了这两个方程的所有正整数解n。     

关于Smarandache函数的一个不等式

对于正数n,设S（n）是n的Smarandache函数。证明了存在无限多个正整数n,可使S（n）〈S（n—S（n））。     

关于数论函数方程S(SL(n))=φ_2(n)的可解性

对于任意正整数n,S(n),SL(n),φ2(n)分别为Smarandache函数,Smarandache LCM函数和广义Euler函数。利用S(n),SL(n),φ2(n)的基本性质并结合初等方法研究了方程S(SL(n))=φ2(n)的可解性,给出了该方程的所有正整数解为n=20,24,25,32,36,50,54。     

关于两类数论函数方程解的讨论

目的 研究方程S(SL(n^3))=φ(n)和S(SL(n^3))=φ_2(n)的可解性。方法 对于任意正整数 n , S(n),SL(n),φ(n)分别是Smarandache函数、Smarandache LCM函数和Euler函数,利用S(n),SL(n),φ(n)的基本性质结合初等的方法,推广了方程S(SL(n^3))=φ(n)。结果 给出并证明了上述方程的所有正整数解。结论 方程S(SL(n^3))=φ(n)有且仅有正整数解n=1,20,32,48,49,98。方程S(SL(n^3))=φ_2(n)有且仅有正整数解n=56,60,72,80,81,147,169,196,294。     

2个Smarandache函数的混合均值估计

设n是正整数,ur(n)表示不小于n的最小r角形数部分数列,vr(n)表示大于n 的最大r角形数部分数列,a(n)=n－ur(n),b(n)=vr(n)－n.研究了2个Smarandache函数S(n)和SL(n)分别与a(n)和b(n)的混合均值,并用解析方法得到几个较强的渐近公式.     

Smarandache函数在数列ap bp 上的一个新的下界估计

利用初等方法以及同余技巧研究了Smarandache函数S(n)在数列ap+bp上的下界估计问题,给出了一个较强的下界估计.证明了:对任意两个不同的正整数a及b,有估计式S(ap+bp)≥10p+1,其中p≥17为素数.     

一类与伪Smarandache 函数相关的函数方程

首先研究了著名的F.Smarandache函数S(n)的性质,讨论了一类新的包含Smarandache对偶函数及其伪Smarandache函数方程Z(n)+S*(n)-1=kn,k≥1的可解性,利用初等数论及组合方法,结合伪Smarandache函数Z(n)的性质,巧妙地构造了一个新方程。结果给出了这一类方程的所有整数解,即当k=1时,该方程当且仅当有唯一解n=1,当k=2时,仅有解n=2α,α≥1;当k≥3时,无解。从而,本文彻底解决了这类新方程解的问题。     

一类包含Smarandache函数方程φ（n）=S（n^10）

利用初等数论、组合分析以及C＋＋程序对方程φ（n）=S（n^10）进行讨论,证明了该方程仅有正整数解n=1,这里对于任意正整数n,φ（n）和S（n）分别表示关于n的Euler函数和Smaran-dache函数。     

关于F.Smarandache函数的两个方程

研究包含伪Smarandache函数Z(n)及Smarandache双阶乘函数Sdf(n)的两个方程的可解性.利用初等方法,获得了这两个方程的所有正整数解,解决了方程的可解性问题.     

数论函数方程φ（n）=S（n～k）的非平凡解

对于正整数a,设φ（a）和S（a）分别是a的Euler函数和Smarandache函数,k是给定的正整数。本研究运用初等数学方法给出了方程φ（n）=S（nk）有适合n＞1的正整数解n的充要条件。由此推知：如果k=[（pα-1-1）/α],其中p为奇素数,α是大于1的正整数,[（pα-1-1）/α]是（pα-1-1）/α的整数部分,则该方程有正整数解n=pαm适合n＞1,其中m∈{1,2}。     

一个包含Smarandache函数的混合均值

对于任意正整数n,用S(n)表示Smarandache函数,L(n)表示不大于n的所有正整数的最小公倍数.运用初等方法研究函数S(L(n))的均值性质,并给出一个有趣的渐近公式.     

关于Smarandache函数LS（n）均值研究

著名的Smarandache函数S（n）定义为：对于任意正整数n,存在最小的正整数m,使得n｜m,即：S（n）=min{m：n｜m,m∈N},本文利用初等及解析方法,研究了LS（n）的均值分布性质,否定了美籍数论专家F.Luca教授提出的一个猜想。     

关于Smarandache和的均值

对任意正整数n及给定的整数k>1,利用高斯取整函数的性质及初等方法研究Smarandache和函数S(n,k)及AS(n,k)的均值性质,给出了两个有趣的渐近公式.     

两个数论函数的混合均值

(A)n∈N+,著名的F.Smarandache LCM 函数SL(n)定义为最小的正整数k使得n|[1,2,…,k],即就是SL(n)=min{k:n|[1,2,…,k]}.利用初等的方法研究了Smarandache LCM函数SL(n)与Mangoldt函数Λ(n)的混合均值问题,并给出了一个较强的渐进公式.