Laplace方程的Galerkin边界元解法

Galerkin方法是基于变分原理基础上的一种把微分方程或积分方程转化为等价的变分方程。通过离散变分方程求原方程数值解的数值计算方法。把Laplace方程的边值问题转化为边界积分方程后，通过与边界积分方程等价的变分形式，采用线性单元，利用Galerkin边界元方法求解。在计算单元刚度矩阵时，对二重积分的第一重使用精确积分，第二重使用数值积分，从而有效克服了奇异积分的计算，数值算例验证了Galerkin方法误差的理论结果。     

近似边界元方法及其收敛性分析

以Ｌａｐｌａｃｅ方程Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ问题为例,为椭圆边值问题近似边界元法的建立及其收敛性分析提供了一种框架性的工作。文中给出了近似基本解的确定方法,具近似基本解的离散边界变分方程解的存在惟一性定理以及近似解的误差估计,特别给出了近似基本解中截断数和离散网格宽度应保持的匹配关系,文末给出了数值算例。     

粘弹性薄板动力响应问题的MRM方法及收敛性分析

首先在Laplace变换区域中得到了由重调和算子基本解序列给出了粘弹性薄板动力响应问题的多重互易法 (MRM )方法 .并对粘弹性薄板的动力响应问题的多重互易法给出了收敛性分析 ,证明了MRM方法导出的边界积分方程的解与边值问题基本解导出的常规边界方程的解是相同的 .采用变分方法系统分析了相应问题的边界变分方程 ,截断的MRM边界变分方程解的存在唯一性     

含非线性凸函数的椭圆方程的多解存在性

研究含非线性凸函数的椭圆方程的狄利克雷边值问题．应用直接和Nehari—type的变分方法，得到多解存在性结果．     

基于边界元方法的边值问题数值解的外推

利用边界元方法求解椭圆边值问题,并通过Poisson积分方程的Galerkin 解讨论了这种方程的外推算法,进而对边值问题的数值解获得了Ｏ（ｈ３）精度的外推结果.     

一类反应扩散方程的边界元分析

引入一类不同方向具有不同扩散系统的反应扩散方程的边界元方法,利用Ｆｏｕｒｉｅｒ积分变换导出方程的基本解,从而得到该方程初边值问题的边界积分方程和边界变分方程及其解的存在惟一性定理,证明了边界元方法的收敛性,从理论上完善了抛物型方程边值问题的边界元方法。     

一类四阶椭圆型微分方程边值问题的边界变分方程

对一类四阶椭圆型微分方程边值问题给出解的存在唯一性定理并对内、外统一的边界积分方程与边界变分方程,证明了引入Lagrange乘子法的边界变分方程解的存在唯一性．     

传热导方程的边界元分析

本文用边界元方法来处理热传导方程的初边值问题,给出解的边界积分方程及其变分形式,并证明了变分方程的适定性,同时导出了近似解的误差估计。所得到的结果包含了文[1]的情形。     

带有可去边界的边值问题

借助于粘性解理论讨论了完全非线性退化椭圆方程带可去边界的边值问题,给出了可去边界的一些性质及带可去边界边值问题可解的条件。     

方程Δu+k~2u=0的Dirichlet问题的多重替换MRM边界变分方程

得到边值问题Δu+k2u=0;inΩ∪Ω′ R2,u|Γ=u0的定解问题多重替换(MRM)边界变分方程及全平面解的表达式。证明该变分方程解的存在唯一性。从中可以看出,MRM边界变分方程中只包含弱奇异积分核,问题解的表达式后并不加任何多项式,因而也不需要引入Lagrange乘子求解该项,这给边界元数值求解过程带来极大的方便。     

椭圆边值问题与拟共形映射的数值解

本文研究多连通区域上一阶线性椭圆型复方程组的黎曼-希尔伯特边值问题的数值解法,文中提出了与上述边值问题等价的一种变分问题,然后用有限元法求出这种变分问题的近似解,这也是原边值问题的数值解.Klabukova 曾用交分差分方法讨论了广义解析函数上述边值问题的近似解法,由于她使用的方法与共轭方程有关,因此难以将所得结果推广到一般的一阶线性一致椭圆型复方程的情形.在作者过去的工作中,给出了多连通区域上以上边值问题的一种适定提法,由于这种提法不与共轭方程直接相关,因此才有可能将所考虑的边值问题数值求解推进到本文中所述较一般的多个末知函数的一阶椭圆组上去,这种复方程组的解包含广义超解析函数作为特殊情形.作为上述结果的应用,本文还讨论了某些线性拟共形映射的数值求解。     

一类非线性椭圆型方程边值问题的近似解

本文主要讨论一类非线性椭圆型方程边值问题在Galerkin投影近似下,其近似解的存在性,并证明了其一致有界的近似解序列在集合收敛意义下,也收敛于它的有界解。     

热方程的边界积分与有限元方法耦合

本文对热方程外区域问题,应用边界积分与有限元耦合方法,给出了此法的理论分析:导出了耦合问题的变分形式,证明了耦合变分问题的适定性,且获得了逼近解的收敛性及误差估计。     

一类多调和方程边值问题的可解性研究

多调和方程边值问题的研究是椭圆型偏微分方程边值问题研究的热点之一,本文通过引入新变量将多调和方程边值问题转换为椭圆型方程组问题,再利用Leray-Schauder不动点定理,证明了多调和方程边值问题解的存在性,同时,证明了一定条件下正解的唯一性,讨论了正解的不存在性。     

二维Laplace方程Dirichlet问题直接边界积分方程的Galerkin解法

用Green公式和基本解推导得出的直接边界积分方程来求解二维Laplace方程的Dirichlet问题.对直接边界积分方程大都采用配点法求解,还未见有实际用Galerkin边界元来解的报道.对Laplace方程的直接边界积分方程进行变分后,利用Galerkin方法,同时采用线性单元变分对方程进行了求解.该方法需要在边界上计算重积分,推出了第一重积分的解析计算公式,对无奇异性的外层积分则采用高斯数值积分.数值实验表明该方法是可行有效的.     

椭圆型方程边值问题的拟多重网格预处理迭代法

利用多重网格法的思想,构造出一种求解椭圆型方程边值问题的预处理迭代格式,并给出了收敛性证明.特别地,对常系数方程得到了收敛速度与网格步长无关的最优结果.数值实验表明,所构造方法收敛速度较SOR法有显著提高,其迭代次数几乎与网格步长无关,迭代解逼近精确解的精度高而且稳定.     

区域分解算法边界控制近似方法

采用最优控制的方法解决区域分解算法中内交界面上方程解的值的确定问题。将确定内交界面值的问题转化为边界控制问题,为克服控制问题的不适定性引入了正则化方法,证明了正则最优边界的存在性和收敛性,给出了表征最优边界的耦合方程组。