图可重构性的一点注记

设图G的顶点集为{u_1,u_2,…,u_n}。G的途径矩阵D(G):(d_(ij)是n阶方阵,此处d_(ij)是G中从u_i出发长为j的途径数,D(G)的行向量集X的子集{x_1,x_2,…,x_r}称为X的最小线性相关集,如果{x_1,x_2,…x_r}线性相关且对x的任一(r-1)之子集均是线性无关。称数r为G的最小线性相关数。当X线性无关时,定义G的最小线性相关数r=∞。对1≤i≤n,记d_i为点u_i在G中的次,G_i是图G剔除点u_i以及与u_i关联的边而得到子图。设r_i是G_i的最小线性相关数,我们有下列定理:如果存在某一数i使r_i>2d_i,则G是可重构的。特别,我们重新得到下述结果:如果存在某一子图G_,使得G_i的所有特征向量均不与C=(1,…,1)~t正交,则G是可重构的。     

一类Q过程的构造

本文在假定limx[u_i,1]<∞的条件下,解决了有限流入满足向前方程组的Q过程的构造问题。(u_i是L_λ~+的基底)     

含Laplace算子的拟线性方程组的前进波解

W.F.Ames在[2]中研究了流体力学的动量方程组的显式前进波解。本文讨论n维空间拟线性偏微分方程组 (?)u_i/(?)t (sum from j=1 to nu_j)(u_i/x_j)=v(sum from j=1 to n)(~2u_i)/x_j~2), i=1, …, n的情形。令 u_i=ψ_(x_i)以及ψ=F(ω), ω=t sum from j=1 to n λ_j (x_j)将偏微分方程组化为常微分方程组求解,并得出了有关常数c,c_i取不同符号时解u_i的不同表达式。     

关于六点未标的P阶图的重构问题

本文应用等邻集概念及补点法证明:“若给出P阶图G的6个主子图G_i(i=1,2,…,6),其中v_7,v_8,…,v_p已标号,其他的v_i未标号,则G可由G_i(i=1,2,… ,6)重构”.这一结果比文献[1]的结果更好.     

极大对集与最优投递路线问题(续)

§4. 问题2的解法(二)--最优判别定理定理4. 1(Edmonds,见[7] )。设 M 为 G 的一个对集,则 M 为长度极大对集的充要条件是:存在一个序列 G_0,G_1,…,G_s,满足:每一个 G_i 是一个图,G_i 的边 l_j 有长度 L_i(l_j),G_i 的点 V,有位势 W_i(V_k),G_i 中有一个对集 M_i。且下述条件都成立:(a)G_0=G;M_0=M;L_0(l_j)=L(l_j),j=1,…,m。(b)W_i(V_k)≥0,i=0,1,…,s,V_k 为 G_i 中任意一个点W_j(V_(j1) )+W_i(V_(j2) )≥L_i(l_j),i=0,1,…s,l_j 为 G_i 中任一边,V_(j1) ~-,V_(j2) 为 l_j 的     

图可重构性的一点注记

设图G的顶点集为{v_1,v_2,…,v_n}.G的途径矩阵D(G)=(d_(ij)是n阶方阵,此处d_(ij)是G中从v_i出发长为j的途径数,D(G)的行向量集X的子集{x_1,x_2,…,x_r}称为X的最小线性相关集,如果{x_1,x_2,…x_r}线性相关且对X的任一(r-1)之子集均是线性无关.称数r为G的最小线性相关数.当X线性无关时,定义G的最小线性相关数r=∞.对1≤i≤n,记d_i为点v_i在G中的次,G_i是图G剔除点v_i以及与v_i关联的边而得到子图.设r_i是G_i的最小线性相关数,我们有下列定理:如果存在某一数i使r_i>2d_i,则G是可重构的.特别,我们重新得到下述结果:如果存在某一子图G_i,使得G_i的所有特征向量均不与C=(1,…,1)_t正交,则G是可重构的.     

阀门布局问题的一个最优性判别条件

给定非空点集x及其n对非空子集x_i,y_i,x_i∩y_i=φ(i=1,2,…,n)。找出一个图G,满足条件(a)V(G)=x;(b)对i=1,2,…,n,G皆有连通子图G_i,使x_i(?)V(G_i)和y_i∩V(G_i)=φ,且使|E(G)|最小。本文指出上述问题的一个最优性判别条件;并利用Hall定理及若干引理给出严格的数学证明。     

若干n重积图的点可区别边色数

通过研究若干n重积图的边色数及点可区别边色数,就可证明■(Gi)=△(Gi),i=1,2,L,n,则∑=′×××=■△(G_i)其中G1×G2×L×Gn为G1,G2,L,Gn的n重积图.     

具有K条顶边齿轮图的优美性

文[1][2]中分别给出了轮图和齿轮图的优美性，本文证明了将n个具有K条边的星图TK的非悬挂点分别与齿轮图n个顶点相联所得图是优美的；从而得到文[3]中所提猜想的一个结果，     

三个5-阶图与圈Cn联图的交叉数Cn

联图G∨H表示将G中每个点与H中的每个点连边得到的图．在Klesc M给出所有3阶图和4阶图与圈Cn联图的交叉数的基础上,利用反证法和排除法确定了G1,G2,G3三个5-阶图与圈Cn联图的交叉数,他们的交叉数分别是cr（G1∨C2）=Z（5,n）＋2[n/2]＋2,cr（G2∨Cn）=Z（5,n）＋2[n/2]＋2,cr（G3∨Cn）=Z（5,n）＋2[n/2]＋3.     

几类特殊的M2-等可覆盖图

若图G的每个极小H-覆盖都是它的最小H-覆盖,则称图G为H-等可覆盖的．得出了M2-等可覆盖图的必要条件,并刻画了以下几类特殊M2-等可覆盖图的特征：匹配、路、圈、完全图、完全二部图、轮图和扇图．     

恰含5条非基本边的极小3连通图

简单极小3连通图G中的一条不在任何三边形中的边e收缩之后所得到的图如果仍3连通,则称e为G的非基本边．Oxley与wu证明不是轮的简单极小3连通图至少包含3条非基本边,并且刻画了恰含3条或4条非基本边的不是轮的简单极小3连通图．现刻画恰含5条非基本边的不是轮的简单极小3连通图,它们是13类特殊的图．     

直径为2的无爪图的导出匹配可扩性

如果简单图G的每一个导出匹配都包含在它的一个完美匹配中，称图G是导出匹配可扩的，简称为IM-可扩的。研究了直径为2的无爪图的导出匹配性，证明了一个直径为2的无爪图G是IM-可扩的充分必要条件是：对任意满足|M|≤3的导出匹配M，G—V(M)没有奇分支。因而，直径为2的无爪图的IM-可扩性问题是多项式可解的。     

Investigation on Singularity,Signature Matrix and Spectrum of Mixed Graphs

The spectral theory of graph is an important branch of graph theory, and the main part of this theory is the connection between the spectral properties and the structural properties, characterization of the structural properties of graphs. We discuss the problems about singularity, signature matrix and spectrum of mixed graphs. Without loss of generality, parallel edges and loops are permitted in mixed graphs. Let G_1 and G_2 be connected mixed graphs which are obtained from an underlying graph G. When G_1 and G_2 have the same singularity, the number of induced cycles in G_i(i=1, 2) is l(l=1,l1), the length of the smallest induced cycles is 1, 2, at least 3. According to conclusions and mathematics induction, we find that the singularity of corresponding induced cycles in G_1 and G_2 are the same if and only if there exists a signature matrix D such that L(G_2)=D~TL(G_1)D. D may be the product of some signature matrices. If L(G_2)=D~TL(G_1)D, G_1 and G_2 have the same spectrum.     

一类新的整谱图

设是一个简单的连通图,若的邻接矩阵的特征值全为整数,则称为整谱图.利用移接变形的方法,构造了一些新的整谱图.运用矩阵理论,证明了下列结论:若是由顶点为3的完全图通过复制次后,将其中每个图的一个顶点粘接在一起而成的图,这样具有个顶点.则是整谱图当且仅当i=k(k-1)/2,k∈Z+.     

循环图中部分图类的导出匹配可扩性

如果一个图的任何一个导出匹配都能包含在一个完美匹配当中,就称之为导出匹配可扩的.对有2n个顶点x1,x2,…,x2n的图,如果对于i-j≡±1(mod2n)或者i-j≡±k(mod2n)的i和j,均有xixj∈E(G,)则称其为步长为1和k的循环图,记为C2n(1,k.)通过详细讨论循环图的导出匹配可扩性,具体给出了循环图中的部分图类的导出匹配可扩性。     

1-可扩偶图的刻划

设G是一个具有二分类(X，Y)的偶图且M是G的一个完美对集。文章证明：G是1—可扩图当且仅当G有如下耳朵分解G=e P1 P2 … Pr使得e∈M并且每个只是起始和终止边都在E(G)＼M中的M-交错路。文章还给出一个有效算法判定一个偶图是否1—可扩图并找出该图的耳朵分解。     

图的星边星-全色数的一个上界

提出图的星边星-全染色的概念,图G的一个正常全染色被称为星边星-全染色,如果对G中点进行星染色,边进行星边染色.并定义图的星边星-全色数,记为χsTs(G).用构造染色的方法给出一些特殊图(路,圈,轮,扇,完全图)的星边星-全色数.同时运用概率方法给出满足一定条件的图G的星边星-全色数的一个上界,即若图G的最大度Δ(G)≥30,则χsTs(G)≤24(Δ-1)3/2.     

步长为1和n/2循环图的导出匹配可扩性研究

如果一个图的任何一个导出匹配都能包含在一个完美匹配当中,就称之为导出匹配可扩的.对有2n个顶点x1,x2,…,x2n的图,如果对于i-j≡±1(mod2n)或者i-j≡±n2(mod2n)的i和j,均有xixj∈E(G),则称其为步长为1和n2的循环图,记为C2n(1,2n).本文的主要结论为:C2n(1,2n),n#4,是导出匹配可扩的.     

一类无三角正则图的性质

图为无三角正则图,它满足不相邻的顶点恰有两个公共相邻顶点.先从代数的角度去研究它的特征值,得到了它的顶点个数只能取一些特殊的整数,然后证明了其点连通度与边连通度相等,而且存在完美匹配,最后猜想:(1)x(G)=x'(G)=k;(2)图G是Hamilton图.