关于含r对k间隔的组合数

记ｆｋ＾ｒ（ｎ，ｍ）为从排列在一直线上的ｎ个元素中选取ｍ个元素且恰含ｒ对ｋ间隔元素的选取方式数。ｇｋ＾ｒ（ｎ，ｍ）为从排列在圆周上的ｎ个元素中选取ｍ个元素且恰含ｒ间隔元素的选取方式数，给出了ｆｋ＾ｒ（ｎ，ｍ）及ｇｋ＾ｒ（ｎ，ｍ）的递归关系式和卷积形式表达式，在ｋ＝０时得到ｆ０＾ｒ（ｎ，ｍ）与ｇ０＾ｒ（ｎ，ｍ）的显式。     

一个组合公式的推广及其应用

设 A (r,n)表示 r个可辨别的球放入编号为 1到 n的 n个盒子中且每个盒子都不空的可能分布的个数 ,文 [1]证明了 A(r,n) =∑ni=0 (- 1) i Cni (n- i) r,本文对上述模型的结果加以推广得到如下结论(1)恰有 m个盒是空的可能分布的种数为 Cmn∑n-mi=0 (- 1) i Cn-mi (n- m- i) r(2 ) N个指定的盒中 ,每个都被占有的可能分布的种数为 ∑Ni=0 (- 1) i CNi (n- i) r证明 :(1)我们考虑恰有 m个盒空的分布 ,这 m个盒子可以有 Cmn 种方法选取 ,r个球分布在其余的 n- m个盒中且每个盒都不空。故恰有 m个盒是空的可能分布的种数为 Cmn· A (r,n- m)…     

关于丢番图方程sum form k=0 to n((x-g~ak))~r=sum form k=1 to n((x+g~ak))~r

本文明了:设g=p_1p_2…p_n=10β+9型奇数,p_1,p_2……,p_3是不同素数,n,x,α,r为正整数,方程sum from k=0 to n(x-g~αk)~r=sum from k=1 to n(x+g~αk)~r仅有正整数解r=1,x=g~αn(n+1)和r=2,x=2g~αn(n+1)。     

应用二度正则双图求解二度排列的计数问题

一、引言 n个科研课题,分配给n个科学家进行研究,要求每个科学家恰承担其中两个课题,并且每个课题恰有两个科学家进行研究,问有多少种分配方案了由此类问题,我们可以引出如下的数学模型。 n个不同的元素,每个元素允许重复一次,将它们排到n个不同的位置,使得每个元素恰排在两个不同的位置,并且每个位置上恰排两个不同元素,称其为n个元素的二度排列,奇称(n,2)排列,所有不同的(n,2)排列的种数记为Tn。     

一些特殊结构的布尔矩阵行空间基数

设Bm×n是所有m×n布尔矩阵的集合,R(A)为A∈Bn的行空间,|R(A)|表示行空间R(A)的基数,m,n是正整数,k为非负整数.证明了如下3个结果:(1) 设A∈Bm×n,m,(ⅰ) 如果A是幂等矩阵,即A2=A,那么|R(Am)|=|R(A)| ;(ⅱ) 如果A是对合矩阵,即A2=I,那么当m是奇数时,|R(Am)|=|R(A)|,当m是偶数时|R(A)|=2n.(2) 设A∈Bm×n,A含1的元素个数为k,0≤k≤min{m,n},且A的每行每列元素中1的元素个数最多为1,那么|R(A)|=2k.(3) 若A∈Bm×n是形如A=(O OO A1)的分块矩阵,A1=(aij)k×k,aij=0(i>j),aij=1(i≤j),i,j=1,2,…,k,则|R(A)|=k+1.     

对偶图K_(n,n)+I的循环(m_1,m_2,…,m_r)-圈分解

mi(1≤i≤r)为偶数且r∑(i=1)mi=2k(k≥1).Kn,n为偶图,I为Kn,n的一因子.证明了Kn,n+I可分解为(m1,m2,…,mr)-圈的充分必要条件为2k│n(n+1)且n为奇数.进一步,Kn,n+I可分解为循环的(m1,m2,…,mr)-圈充分必要条件为2k=n+1且n为奇数.     

两类图的k-优美性

对于任意自然k，证明了G1（m1,n1;m2,n2;…;ms,ns)和G（m1,n1,m2,n2)是k－优美图，这里G1（m1,n1;m2,n2;…;ms,ns）表示由s个完全二部图Km1,n1,Km2,n2,…，Kms,ns恰有t(t≤min{m1,m2,…，ms}且这t个公共点属于每一个二部图，除此之外，任意的两个二部图无其它公共点）个公共点而无公共边所构成的图，G(m1,n1;m2,n2)是由两个完全二部图Km1,n1,Km2,n2仅有一条公共边及相关联的两个点所构成的图。     

两个组合计数公式的推广

设x一门，2，…，，；）为一，王元集，组合数【．怖示集合X的是元子集的个数．文献卜」提到一＼k］两个应用问题：问题1求集合X的不含相邻整数的k元子集的个数人，I，足）．问题2从集合X中选八个元素组成子集，要求子集中任二元素之差均不与1模n合同，求这种足元子集的选取方式数g（，；，k）．为便于研究，将上述两问题转化为：问题l’假定有，。个元素排成一行，现从中取出k个，并要求在行中这是个元素中的任意两个之间至少包含1个元．设其选取方式数为人（，。，A），则问题2’假定有，l个元素排成圆圈，现从中取出k个，并要求在圆圈…     

一组组合关系式

本文用组合分析的方法及数学归纳法证明了以下一些组合关系式. (1)C(n+k,r)=sum from m=0 to k (k!)/((k-m)!m!)C(n,r-m); (2)sum from m=0 to n K~m C(n,m)=*(1+k)~n; (3)sum from k=0 to n K~m=sum from k=1 to n S(m,k) ((n+1)!)/((k+1)(n-k)!); (4)sum from p=0 to m F(n,p)=((n+m)!)/(n!m!); (5)sum from q=1 to m qF(n,q)=((n+m)!n)/((m-1)!(n+1)!); (6)sum from p=1 to n F(p,m)=((n+m)!)/((m+1)!(n-1)!); (7)sum from r=0 to S (F_(mi2r)F_(n+2r)+F_(m+2r+1)F_(n+2r+1)); =F_(2??+1)(F_(2??+1)F_(m+n+1)+F_(2??)F_(m+n)); (8)sum from k=0 to n C_k=C_(n+5)-2; (9)S_k??5=sum from p=0 to n C_(k+5??)=C_(5n+1+k+γ_(k,5));     

一类二次特征值问题的向后误差分析

在高速列车的振动分析中,会遇到一类二次特征值问题(λ2 AT+λQ+A)z=0,其中A和Q为n×n复矩阵,且具有如下特殊结构:A和Q都是m×m的分块矩阵,每个块有k×k个元素,即n=m×k;此外,Q是块三对角阵,A只有位于(1,m)位置的一个块为非零块.本文主要讨论此类二次特征值问题的向后误差,并且证明了矩阵A的误差仅存在于它的非零块A13上.     

第二类Stirling数的一种推广

把含有n个元素的一个集合分成恰好有k个非空子集合的分拆数目就叫做第二类Stirling数,第二类Stirling数及相关问题一直以来就是人们感兴趣的研究课题,并有大量的研究成果,它在组合数学、数论中占有重要地位,有着广泛的应用.通过对第二类Stirling数的组合生成函数进行推广来对第二类Stirling数进行推广,定义了一类广义的第二类Stirling数,进一步获得第二类Stirling数的一些新的公式,推广了已有文献的结果.     

有限集上的一类映射的计数

设A是有限集,|A|=n,F(n,m)是从A到A的映射中满足fm(x)=f(x)的映射f的个数,在此给出了计数函数F(n,m)的一个表达式.     

n元集合双覆盖计数公式的推广

给出ｎ元集合的５组２覆盖个数、４组、３覆盖个数与５组３覆盖个数的计数公式。     

几类图的伴随多项式的整除性特征

用Ｐｎ和Ｃｎ依次表示有ｎ个顶点的路和圈．Ｄｎ表示Ｋ３的一个顶点与Ｐｎ－２的一个１度点重迭后得到的图．Ｔ（ｌ，ｍ，ｎ）表示度序列是（１，１，１，２，２，……，２，３）的树，其中ｌ，ｍ，ｎ分别是从它的唯一３度点到３个１度点的３条路的长．图Ｇ的伴随多项式记为ｈ（Ｇ，ｘ），本文证明了当Ｇ＝Ｐｎ，Ｃｎ，Ｄｎ，Ｔ（１，１，ｎ），Ｔ（１，２，ｎ），Ｔ（１，３，ｎ），Ｔ（１，４，ｎ）时，ｈ（Ｇ，ｘ）能被ｈ（Ｐｍ，ｘ）（ｍ≥２）整除的充要条件．     

正整数的k次方部分数列的均值估计

对任意正整数n,设ak(n)表示不超过n的最大四次方部分,bk(n)表示不小于n的最小k次方部分。主要研究{ak(n)}和{bk(n)}这两个数列的性质,并给出两个渐近公式。     

正整数的立方部分数列的一个性质

对任意正整数n,设u(n)表示不超过n的最大立方部分,v(n)表示不小于n的最小立方部分.主要研究{u(n)}和{v(n)}这两个数列的性质,并给出两个有趣的渐近公式.     

关于Diophantine方程Sx(n)=Sy(3)

摘要设Sm(n)是第m个n角数，给出当n-2为平方数时方程Sx(n)=Sy(3)的全部解的通式，并证明当n-2为非平方数时该方程有无穷多组正整数解．     

完全三部图K（m,n,r）的色唯一性的进一步结果

设G是简单图,用P（G,λ）表示图G的色多项式,若对任意简单图H使P（H,λ）,都有H与G 同构,则称G是色唯一图,令K（m,n,r)表示完全三部图。     

二部图K(m,n)-A中的色正规图类

设Ｐ（Ｇ,λ）表示简单图Ｇ的色多项式。简单图Ｈ称为与Ｇ是色等价的（记作Ｈ￣Ｇ）,如果Ｐ（Ｈ,λ）＝Ｐ（Ｇ,λ）。简单图类Ｌ称为色正规图类,若对任意Ｈ,Ｇ∈Ｌ使Ｈ￣Ｇ都有Ｈ与Ｇ同构。