组合数学中二项式系数恒等式证明归纳

组合数学中二项式系数恒等式有着深刻的实际意义,通过推理证明了解其含义,不仅可以加深理解,而且十分有意义。本文对二项式系数恒等式证明的方法进行了归纳总结。     

关于递推关系aai-1,j-1＋βai-1,j=ai,j

研究了满足ααi-1,j-1+βαi-1,j=αi,j的序列{αi,j}.用发生函数法得到了n+1阶矩阵A=(αi,j)(n+1)×(n +1)的精确表达式.用数学归纳法证明(1-βx-αxy)-n中一般项xiyj(i≥j)的系数为αjβi-j(i+n-1/n-1)(i j).导出了一些有关二项式系数(n k)的新的组合恒等式.     

两个求和公式的q-模拟的组合证明

恒等式的q-模拟及组合证明对于组合数学的研究有非常重要的意义,赋予了恒等式一定的记数意义,而且使数学的各学科知识与组合数学有机地结合在一起,一直以来都受组合学家们的重视.本文介绍了一些与二项式系数恒等式的q-模拟有关的基本知识及子集—子空间模拟的一般方法,并给出两个求和公式的q-模拟的组合证明.     

关于递推关系ααi-1,j-1+βαi-1,j=αi,j

研究了满足ααi-1,j-1+βαi-1,j=αi,j的序列{αi,j}.用发生函数法得到了n+1阶矩阵A=(αi,j)(n+1)×(n +1)的精确表达式.用数学归纳法证明(1-βx-αxy)-n中一般项xiyj(i≥j)的系数为αjβi-j(i+n-1/n-1)(i j).导出了一些有关二项式系数(n k)的新的组合恒等式.     

关于递推关系αa_(i-1,j-1) βa_(i-1,j)=a_(i,j)

研究了满足ααi-1,j-1 βαi-1,j=αi,j的序列{αi,j}.用发生函数法得到了n 1阶矩阵A=(αi,j)(n 1)-(n 1)的精确表达式.用数学归纳法证明(1-βx-axy)中一般项xiyi(i≥j)的系数为αjβi-j i n-1 n-1 ij.导出了一些有关二项式系数(nk)的新的组合恒等式.     

三个新的组合恒等式

牛顿二项式是排列组合中的一个重要公式 ,其构成特征是组合系数 对此特征作了进一步的探讨 ,获得了三个新的组合恒等式     

中心型二项式系数倒数级数

利用白塔函数与积分关系将组合数化成积分形式,再用积分公式建立一个二项式系数倒数级数,对这个级数使用裂项方法得到母含有1到5个奇因子的二项式系数倒数级数..并给出二项式系数数倒数值级数恒等式.裂项的方法研究二项式系数倒数变换是组合分析的新手段,也是产生新级数的一个初等方法.     

Stirling数模2方幂的同余式

设a,c,k,n,m为正整数, m≥3 且 S(n,k) 为第二类Stirling数. 在本文中, 作者分别建立了S(n,a2m－1)和S(n,a2m－2)模2m的同余式, 其表达式均由二项式系数组成. 进一步地, 作者得到了S(c2m,2m－2)模2m的简化结果.     

关于高斯函数应用的一个结果

利用高斯函数的定义和性质等相关知识,对一个关于整除问题与二项式定理问题的命题,经过猜测、归纳等方法进行了证明,并得出了一个重要结论:若(ai,aj)=1,i≠j=1,2,…,k,则[a1 a2 …ak-k 1]!/a1!a2!…ak!是整数。     

由裂项法导出二项式系数级数

根据一个已知级数,用裂项方法得到一批的分母含有1个,2个,3个,4个,5个因子二项式系数的级数恒等式,并给出二项式系数的级数数值封闭形恒等式.     

带有二项式系数的广义数Fibonacci的相关性质

该文通过研究广义的Fibonacci数,得到了许多重要的性质,并且,用二项式系数对广义Fibonacci数的一些性质进行了概括.     

同余式（lp^p）≡（（lp^p））≡l（mod p^3）

研究二项式系数(lp p)与(lp p)模p3的同余式,得到当p是大于3的素数,l是非负整数时,则(lp p)≡((lp p))≡l(mod p~3)     

两个二项式系数及相关恒等式

研究了两个特殊的二项式系数[α-1 α-k]和n!a/a β[α βn n]其中α，β是任意数，通过其相关矩阵，利用二项式型多项式性质，得到了一些有趣的组合恒等式。     

关于素数的Wolstenholme判别条件

设a是大于 1的正整数 ,p是适合p a的素数。本文证明了 :如果a满足a <8或者 2a- 1a p,则2ap - 1ap 1(mod (ap) 3)。     

关于A.Mercier恒等式的一点注记

本文给出了Ａ．Ｍｅｒｃｉｅｒ＾［１］恒等式的反演，从而推广了文［２］［３］中结果。     

一种特殊行列式的q-类比

类比是数学工作者常用的一种方法 .通过对一种特殊的行列式作 q -类比 ,得到更为一般的结论 ,并利用数学归纳法对该结论作出了严格的证明 .     

计算负荷两种实用计算方法的比较

通过需要系数法和二项式法对用电设备组的计算负荷进行计算后，指出两种方法的应用条件和应注意的问题，给出了一种新的补充算法.     

一类关于对称函数的卷积型求和公式

本文研究一类对称函数的卷积求和问题，利用交叉分类原理证明了所述问题的封闭性定理及其多重模拟。作为应用，文中给出了一系列有趣的推论。其中涉及二项系数、Ａｂｅｌ系数的卷积公式及其多重形式。这些结果包括 Ｗａｎｇ（１９６９），Ｃａｒｌｉｔｚ(１９７４）和 Ｓｉｎｇｈ Ｃｈａｎｄｅｌ＆Ｄｗｉｖｅｄｉ（１９７９）等人的著名恒等式作为特款。     

复合二项风险模型下的破产概率

讨论一般情形的复合二项风险模型,得出了其破产概率的一般公式, 然后得出了当赔付方服从指数分布时破产概率的具体表达式.     

关于二项式系数的Jones问题

设p是奇素数,r是正整数,t是适合p>t>(p-1)/2的正奇数.证明了:当m=p~rt时,(_n~(2n-1))(modn~3).