求解有限有向图中K-圈的Gr6bner基方法

设G是一个无环无同向重边的有限有向图,k是一个给定的正整数．证明G中包含k个顶点的圈（简称k-圈）存在性问题完全等价于一个多元多项式方程组在{0,1}范围内的求解问题,并通过使用Groebner基给出一个图是否含有k-圈的有效判别与求解方法．     

图中相互独立的4-圈和6-图

设k是一个正整数,G是一个顶点数为｜G｜=4k的图．若δ（G）≥2k＋4,则图G有一个生成子图包含k-3个4-圈和2个6-圈,使得这k-1个圈是相互独立的．     

k-连通无爪图中的生成圈和控制圈

用张存铨在文[2]中的方法!本文通过疏远边的度和给出k-连通无瓜图中存在汉密尔顿圈和控制圈的充分条件,作为文中定理的推论,证明了若对任意■∈E(G) d(k)+d(v)≥3n/k-6,则G有汉密尔顿圈;若对任意■∈E(G) d(k)+d(v)≥3n/(k+1)-3,则G有控制圈,这里G是k-连通无爪图。     

一类图中k-圈的Grbner基求解方法

将无环无重边的有限无向图G中是否含有k(k∈Ζ+)个顶点的圈(简称k-圈)的问题转化为可使用Grbner基的性质来解决的多元多项式的问题.此外,通过实例验证G中的所有k-圈等价于计算转换后的多元多项式方程组在{-1,0,1}范围内的解集.     

图的邻点可区别无圈边染色的渐近性质

对无孤立边的简单图G,和G的一个k-正常边染色法,使得G中任意的圈上的边至少出现三种不同颜色且G中任意两相邻的点所关联的边的色集合不同时,称为G的k-邻点可区别无圈边染色法;G中k-邻点可区别无圈边染色法中最小的k,称为邻点可区别无圈边色数.本文使用Lova′sz局部引理,得到了邻点可区别无圈边色数的一个上界.     

无爪图的周长

证明了如果G是k-连通的非Hamilton无爪图,k≥2,则G包含一个长度至少为：min{∑x∈Xd（X）＋2k：X是G的独立集,｜X｜=k}的圈。     

关于Hamilton图的新的圈结构定理

设G是一个n阶图,若对于每一个k (3≤k≤n),图G都含有k-圈,则称图G为泛圈图.泛圈图是圈理论研究中的重要课题.研究得到了Hamilton圈上两个不相邻的点在圈上的距离是3的泛圈性结果.     

笛卡尔乘积图的限制边连通性

设G是一个极大限制边连通k-正则图,k≥2．论文证明了：如果│G│〉2k且n≥3,那么笛卡尔乘积图Pn×G是超级限制边连通的,除非G包含子图Kk;如果│G│〉k＋1且n≥3,那么Cn×G是超级限制边连通的,除非n=3且G是圈．     

笛卡尔乘积图的k-路点覆盖

对于一个图G和一个正整数k,若图G中任意一条阶数为k的路都至少包含集合S⊆V(G)中的一个顶点,那么集合S就为图G的一个k-路点覆盖。最小的k-路点覆盖基数记为ψ_k(G),为图G的k-路点覆盖数。研究圈图分别与圈图、完全图及完全二部图做笛卡尔乘积图的k-路点覆盖,得到ψ_k(G)相关的精确值和上下界。     

最大度为7且短圈不正常相交的平面图的全染色

一个图G的k-全染色是指用k种颜色对G的顶点和边进行染色,使得相邻或相关联的元素染不同的颜色.图G的全色数χ_T(G)是使G存在k-全染色的最小整数k.证明了最大度为7且3-圈与5-圈不正常相交的平面图的全色数是8.     

不含4-圈和5-圈的平面图的线性2-荫度

线性k-森林是每一个连通分支均为长度不超过k的路的图。一个图G的线性k-荫度是将图G的边集合能分解成的线性k-森林的最少数目,用lak(G)来表示。证明了:若G为不含4-圈和5-圈的平面图,则la2(G)≤「Δ(G)+1/2■+4。     

最大度为4的外平面图的无圈边色数

一个图G的无圈边染色是一个正常的边染色,使得任一个圈上至少有3种不同的颜色.G的无圈边色数a＇（G）是使得G有无圈k-边染色的最小整数k.设G是一个最大度为4的外平面图.对于现有结果 4≤a＇（G）≤5中,何时为4,何时为5,还没有一个完整的刻画.给出一个使得a＇（G）=4的充分条件,拓展了该领域的相关结果.     

关于支配圈和支配路的存在性

圈C称为图G的支配圈,若对G中任一点v,至少有圈C上的一个顶点与之邻接.类似定义图G的支配路.本文讨论了图中支配圈和支配路的存在性,得到下列结果:(1)设G是有n个顶点,ε条边的k-连通图(k≥1),若ε>((n-k)/2)~2-(3n-k)/2+4,则G中存在支配圈.(2)设G是有n个顶点的k-连通图(k≥2),若对图G中任何有k个顶点的独立点集{v_0,v_1,…v_(k-1)},满足N(v_i)∩N(v~i)=φ(0≤i≠i≤k-1),有~(k-1)∑_(i=0)d(v_i)>n-2(k+2)成立,则G中存在支配路.     

图中包含4-圈和6-圈的[1,2]-因子

设k为一个正整数,图G是一个顶点数为4k的简单图,当δ(G)≥2k+1时,文章证明了图G包含一个由k-3个4-圈,一个6-圈及一条至少包含三条弦的6-路构成的[1,2]-因子.     

一种用4-圈和8-圈对二分图的划分

证明了如果一个平衡二分图G包含4k个点,k≥2,并且对G中每一对满足x∈V₁,y∈V₂的不相邻顶点x和y成立d(x)+d(y)≥2k+1, 则G包含k-2个4-圈和一个8-圈,并且这k-1个圈点不相交。     

较少短圈的平面图的全色数

图G的k-全染色是用k种颜色对图G的V(G)∪E(G)中的元素进行着色, 使得相邻或者相关联的两个元素染不同的颜色, 图G的全色数是使G存在k-全染色的最小整数k. 对最大度为Δ的平面图, 如果(1),Δ(G)≥5且任何点至多关联一个长度至多为5的圈, 或者(2),Δ≥4, 不含3-圈并且任何点至多关联一个长度至多为6的圈, 则它的全色数为Δ(G)+1。     

一类外平面图的有界染色

图G的k-有界染色是图G的一个最多有k个顶点染同一种颜色的顶点染色．图G的k-有界染色数χk(G)是指对图G进行k-有界染色所用的最少颜色数．讨论一类外平面图的k-有界染色，给出能在多项式时间内确定其k-有界染色数的一些充分条件．     

关于图连通k-控制数的若干结果

设G为连通图，γ‘‘k(G)表示G的连通k-控制数，讨论了γ‘‘k(G)的上下界，并证明了γ‘‘k(G)≤(2k k 1/2)irk(G)-2k，其中irk(G)是图G的k-无赘数．     

两类积图的(2,1)-全标号

图G的一个k-(2,1)-全标号是一个映射f:V(G)∪E(G)→{0,1,…,k},使得任意2个相邻的点和相邻的边有不同值,且任一对相关联的点和边的值差的绝对值至少为2.G的(2,1)-全标号数λt2(G)定义为G有一个k-(2,1)-全标号的最小的k值.刻画了圈与圈、路与路笛卡尔积图的(2,1)-全标号数.     

特殊平面图的线性二荫度

线性k-森林是指一个图G，它的每个连通分支是长至多为k的路．图G的线性k-荫度是指使得G可以边划分成m个线性k-森林的最小整数m，用lak（G）表示．本文探讨特殊平面图的线性二荫度，得到的结论有：1）每个3-圈不重边的平面图G，有la2（G）≤[△（G）／2]＋10；2）每个3-圈不重点的平面图G，有la2（G）≤[△（G）／2]＋7；3）每点至多关联[△（G）／2]个3-面的平面图G，有la2（G）≤[△（G）／2]＋10．