分裂域是根式塔的充分必要条件

设f(x)是域F上次数大于0的多项式,E是f(x)在F上的分裂域。利用可解群和Galois理论,给出了E是F的根式塔的一些充分必要条件。证明了E是F的根式塔当且仅当(1)Gal(E/F)是可解群;(2)E包含[E:F]的全部素因子次本原单位根。     

分裂域和重复根式扩张

设E为系数在F上的多荐式f(x)的分裂域，若f(x)在F上根式可解，则E必含在F的一个重复根式扩张中，而E不一定是F的重复根式扩张。本继续探讨了这一问题，当CharFn=deg(f(x))时证明：(1)若Galiois群Gal(E／F)可解，E包含n次本原单位根，则E是F的重复根式扩张，这里且是deg(f(x))的全部素因子；(2)若E是F的重复根式塔，则E包含pi次本原单位根；并讨论了n=2^tp^tt1p^1z2…pk^tk,pi为Ferrnat素数的情形。     

分裂域和重复根式扩张

设E为系数在F上的多荐式f(x)的分裂域,若f(x)在F上根式可解,则E必含在F的一个重复根式扩张中,而E不一定是F的重复根式扩张.本文继续探讨了这一问题,当CharF()n=deg(f(x))时证明:(1)若Galiois群Gal(E/F)可解,E包含pi次本原单位根,则E是F的重复根式扩张,这里pi是deg(f(x))的全部素因子;(2)若E是F的重复根式塔,则E包含pI次本原单位根;并讨论了n=2spt11pt22...ptkk,pi为Fermat素数的情形.     

n(≥5)边形的最大面极一般不能用边长的根式表示

本文用Galois理论证明:多边形的最大面积一般不能用边长的根式表示。     

伽罗瓦的代数方程思想

目的 探讨在代数方程根式可解性理论的发展中,伽罗瓦(Evariste Galois,1811-1832)的代数方程理论思想发展过程.方法 采用历史考察与数理分析法.结果 伽罗瓦是通过引进"伽罗瓦群"、"正规子群"、"置换群"等概念开始建立他的理论,并且找出了根式扩张塔和可解群之间的对应关系,利用这种对应关系最终解决了代数方程根式可解性理论这一难题.结论 伽罗瓦继承了拉格朗日(J.L.Lagrange,1736-1813)问题转化的思想,并且把这一思想进行发展,使得人们对方程根式解问题的研究进入到对"结构"观念的研究,导致了抽象代数学科的诞生;伽罗瓦的研究思路是通过继承和发展前人的思想成果得出来的.     

关于环的Galois扩张

设R为确单位元1的环,G为R的有限自同构群,C为R的中心,K={g∈G|g(c)=c,Vc∈C}.假定R在R~G上是Galois的,Galois群为G,使得R~G是Azumaya C~G一代数.本文证明了:(1)若R~K是C上的Azumaya代数,则R=Ac~(R~K)使得A是C上的Galois扩张,Galois群为K.如果还有K的阶数是R中的单位,则还有R~K在R~G上是Galois的,Galois群为G/K.(2)若R~K=CR~G且K的阶数是R中的单位,则有(1)的结果且R~K满足Kanzaki假设.     

矩阵连根式序列的收敛性

提出了矩阵连根式的概念 ,研究了矩阵连根式的性质 ,获得了关于矩阵连根式序列收敛性的一些结果     

双二次多项式的Galois群一域对应

Galois 理论的基本定理,证明了有限维 Galoi 扩张 E/F 的全部中间域所成之集与Galois 群 GalE/F 的全部子群所成之集存在着一一对应(称为 Galois 群一域对应)。但是关于四次多项式的 Galois 群一域对应却不能叙说成一般的命题,只能作具体问题具体分析。本文将给出不可约的双二次多项式 f(x)=x~4+bx~2+c∈Q[x]的 Galois 群以及 Galois群一域对应的一些结果。     

关于非常例外群

设F/k是Galois扩张且对应的Galois群是G,有限群G是例外的,若在Brauer-Kuroda关系式,F(s)不出现。考虑更极端的情形,有限群G是非常例外的,若群G的所有非平凡子群都是例外的。对非常例外群给出了初步的讨论。     

投射群环

设R是一个环,G是一个有限群,本文定义了一个R上带因子组f的投射群环RG_f,证明了如果RG_f是R的Galois扩张带由G导出的内Galois群G,使得R的中心C是R的C-直和项,则CG_f是C上中心Galois代数;还将F.R.DeMeyer关于Azumaya投射群代数的刻划推广到投射群环RG_f。     

关于p—adic数域的Galois—根扩张Ⅱ

本文讨论了两类ｐ－ａｄｉｃ数域上的根张问题,并分别确定了两类根扩张的次数所可能具有的形式。     

Unramified extensions of quadratic fields

Let K be a global quadratic field, then every unramified abelian extension of K is proved to be absolutely Galois when K is a number field or under some natural conditions when K is a function field. The absolute Galois group is also determined explicitly.     

有限维伽罗华扩张的平行相似关系

本文讨论了同一域的有限维伽罗华扩张之间存在平行相似关系的条件，给出了同一类平行相似的有限维伽罗华扩张的性质。     

交换环上的Galois扩张的G－同态

定义了交换环Ｒ的关于自同构群Ｇ的Ｇ－自同态，给出有关Ｇ－自同态的一些基本性质，证明了Ｇａｌｏｉｓ扩张的Ｇ－自同态象仍为Ｇａｌｏｉｓ扩张，并且还得到它的逆命题．     

关于Pk(P>3)元域F的单超越扩域E上的三次方程的根的问题

设Ｆ是Ｐ＾ｋ（Ｐ〉３）元域，Ｅ是Ｆ的单超越扩域。本给出Ｅ上的三次方程ｙ＾３＋Ａｙ＋Ｂ＝０在Ｅ中有根或没有根的条件，若方程有根，则同时给出根的个数。     

Unrami?ed extensions of quadratic ?elds

Let K be a global quadratic ?eld, then every unrami?ed abelian extension of K is proved to be absolutely Galois when K is a number ?eld or under some natural conditions when K is a function ?eld. The absolute Galois group is also determined explicitly.     

拟阵族N的分裂子M(K_5)

研究拟阵族N的分裂子M(K5)。先应用分裂子定理和拟阵的单扩张定理证明:若N={M:M是二元域拟阵且M不含有同构于F*7的拟阵},则F7是N的一个分裂子。据此证明了两个结论:1.若N={M:M是正则拟阵且M不含M(K3,3)-幼阵},则M(K5)是N的一个分裂子;2.M(K5)是EX(U2,4,F7,M(K3,3))和EX(U2,4,F7*,M(K3,3))的分裂子,并得到了这两个拟阵族的正则拟阵分解表示。     

JQ环的一些性质

引入JQ环的概念。称一个环R为JQ环,如果R的Jacobson根和拟正则元集合相等。给出若干JQ环的例子,讨论了JQ环的扩张性质。     

Baer根的S-单环

证明Baer根的S－单环R有单位元的充要条件为R是有单位元的单环,从而证实：用Baer根的S－单环构造不平凡的原子根,则这环一定不能有单位元。