质点的速度及加速度在极坐标系中的推导及应用

设质点的运动学方程为厂一个），P二千（t），质点位置矢量可写作关径厂与径向单位矢量多的乘积，即r二个。则质点速度为：drd（rs）dr－dr＿drdo－，。t．＿，。dr、doc。r一Z二失＞一行十r壬，把王一主～代人上式得：r＝＞＋r尖4＊＊d丈d土d土d＊d土‘－－d土d土‘＝V／＋UFgvth。dr。。。。。。。。op。。。。。。。。。＋，；、。f7ryryZ。。。。””’－”dt’一”“————”“——－””dt一””————””——————”””““””””r”Y————”“”“向：t。n。＝Th在极坐标系中，质点的加速度为：vr“”。r。U－r（…     

解与路径无关的积分曲线问题

解与路径无关的积分曲线问题,常常可利用路径无关的充要条件,得出未知函数所应满足的线性微分方程,由此求解未知函数,本文就此种方法进行了讨论。1引理1若方程则a．当△＞0时,方程（1）的通解b当△＝0时,方程（1）的通解为C．当△＜0时,方程（1）的通解为这里C;、C。为任意常数,凸一户l’一师。sla2设P;、P。、a。、al、a。ER,AeC,o（r）一r’＋P;r＋P。,则方程a．若di（A）学0,那么方程（2）有一特解为;y”一（b。x’＋b;x＋b。）e“b若以助一0,矽（A）羊0,那么方程（2）有一特解：／一（入X’十火X’＋4X沁“X…     

单位圆x~2+y~2=1的妙用例谈

妙用之一：解三角方程由图一知，在[0·2π]内，①②的支点A、B分别对应于原方程的解集是例2解方程解投cos6＝x，sin6＝y得方程组由图二知，在[0·2π]内，它们的交点A、B分别对应于，．．．原方程的解某是即由①得（y－＊（y＋X＋1）一0由图三知，它们的交点A、B分别对应于下、7——————，——··—’—一’””一’”””””‘一”4”4、原方程的解集是，。l。。，厉。。＿．5雳，＿仰6—Zk。＋4或6＝Zk。干，kE。｝4——一4—～即《川0一左；r二，足E。）妙用之二：解三角不等式侧《当0＜6＜2。时，解不等式：－－－－M6‘f0…     

关于积分的权限定理的应用

1有关定理及其应用［周定理1（Lebesgue逐项积分定理）|fn(X)|是可测集E上的非负可测函数列，定理2（Lebesgue控制收敛定理）设（1）F(x)在E可积；（2）|fn(X)|是E上的可测函数列；（3）人（）＜F（X）（v；；）；（4）八（）＝＞fi）于E。则：fi）在E可积b土II＼工）11＝1fliT、L工）TTJE’。一”JEF卜）有时称为控制函数，F（X）与自然数n无关。将条4．改为人（x）、八x）a．e于E，定理结论仍成立。推论（Lebesgue有界收敛定理）设（l）mE＜＋co（2）g人（x）g是E上可测函数’列，且【入（X）＜K（V，／3）fn卜）一f（）于E…     

二项级数在X=±1收敛性的证明

引理20大〕b。，－0休〕定理：对于一切非整实数a，有当a为其它非整实数．不防设a一士k－Fa’，其甲是为正实数，0＜a’rtlc（l）若a一定十a’．则例：讨论二项级数1＋ax一上1时的收敛性。。公式。1。有，u。－O。六。可知】…。l与P级数】七的敛散性是一致的。当x——1时，可知】u。有限项后是一个同号级数，由】】ry＝一的敛散性知＼u。当a＞0时收敛，当a＜0时发散。Zu。从有限项以后是一个交错级数，由于】In。的敛散性同x、、1时下样，所以，当a＞o时，级数绝对收敛。当一；、。、。时，由于h一。一tim。（七）一。且；tyl一n刁＜1，…     

一个不等式的推广

文[1]利用一组不等式给出并且证明了如下不等式：设且，本文给出了（1）的一般形式，并由此导出了（1）式及一些有趣的不等式。定理1设当且仅当X；一X。—…一八时取等号。证明1设八x）一e”．显然人工）为凸函数．由Jensen不等式知，y6R，a。＞0（i—l，2，…，。），且7a。一1，有八】a。。。）＜】a。八。。）即eD。。。－〔】a，e。。’－l】－11－l，一个人一In（l－十二），（1。二一1，i一1．2…·．n），将人代入上面09不等式并整理便得（2）式。证明2构造人1）。。l，l（＋x）（x＞－1），则人x）为凹函数。仿照证一的方法可证…     

2-氨基-5-巯基-1,3,4-噻二唑(AMT)异构体互变的势能面

用Mφller-Plesset微扰理论的MP2／6－31G（d）方法，优化了2－氨基－5－巯基－1，3，4－噻二唑（AMT）各种过渡态结构的几何构型，并对它们的电子结构、振动光谱和化学键性质进行了研究，并进一步研究了AMT异构体的互变机理，提出了AMT异构体a＜＝＞b＜＝＞c＜＝＞d＜＝＞a的循环式互变途径。     

特征函数及其应用

CharacteristicFunctionsauditsApplicationXuYouhong（MathematicsDepartmentofZhejiangOceanUniversity，Zhoushan316004）定义设g是任一随机变量，称9（t）二EO‘’‘，（－ac＜t＜＋QO）是营的特征函数。对任意的t。（－。，＋。）有ie‘”＜1则e“～（x）dx总是收敛的，即p（）一定存在。性质1设中（t）是营的特征函数，则对一听十b的特征函数为9。＋。（）二Ee“’“”‘’＝e。‘“（at）性质2设女在的特征函数为你（），仰（小又久6相互独立，则E；＋g。的特征函数为。（t）＝PI（t）TZ（t）性质3设随机变量管有m阶矩存在…     

Fuzzy矩阵幂序列中Fuzzy关系的部分确定

本文中所有矩阵均指Z阶FLIZZy方阵，FZZZy阵R的周期记为d，指数记为主。令R“－（《），。。Z”，I－k，11，对任给人。I，R。指RMX一截阵，R。gb周期和指数分别记为叱，大。。定理1从HET，则R”＝R”””的充要条件是NZ地利H。111定理2d二［dl；＿，，止一maXki，其中“［］”表示求最小公倍数。［11＊“，矿（＜的是矩阵R的暴序列中的任意两个元素，由定理1知，当＜＜A或dl（b－a）时R“一矿。下面的定理3给出了两种情况下不相等矩阵中部分元素之间的关系。定理3当a＜人，则付一出时，令人一＊仙则几的指数人＞aZ：当aZ入dJ…     

关于周期函数的几个问题

1周期函数的几种判定方法方法1由课本中定义判定，去寻找与无关的非零常数T。（a为非零常数），求证：f（x）是以2a为周期的周期函数。．f（x）是以2a为周期的周期函数。方法2若函y=f（x)(x∈R)的图家关于直线x=a与x=b(b＞a)对称，w间是周期函数，且2（b－…是它的一个周期。证明：设协E尺”．”函规句N的图象关于直线x。a对称，丫（Q＋Q）于人a—x人同理谢…＋…寸（b一力。于影＊＋2他一划寸【b刊b＋X一2喇4【b一（b＋X－2刚才（初一动十la＋（a—x刀寸【a－（a一动1＝f饲。故f00是以2（－a）为周期的周期函数。方法3若函如寸间…ER）…     

一组重要不等式的微分证明

一组重要的平均值不等式：构造辅助函数f（x）=2x2－2（a＋b）x＋2（a2＋b2－ab）可证明不等式，受此启发，本文采用构造辅助函数，以微分为工具，来证明这组重要不等式。这里用高等数学方法证明初等数学问题，可能对师范院校学生和中学数学教师均有所启示。先证明不等式为函数的极小值点。下面用数学归纳法证明函数f（x）≥0（X＞0）n。l时，f（）一x’一Zalx＋ZaZ－aZ一（x－al）’＞0假设n一及时，f（）＞0，即有：将x—a。。；代入上式得由（2）式知当n—k＋1时，函数的最小值为非负数，故n—k＋l时，f（）＞0所以．对一切自然数n均有…     

巧用排序原理证国内外不等式竞赛题

[排序原理]：设有两个数组，a1≥a2≥……≥an，及b1≥b2≥……≥bn．侧有：（顺序和）（乱序和）……①（逆序和）……②其中，j1，j2……jn是1．2……n，。的任一排列，当且仅当a1=a2=……=an，b1=b2=……=bn时“=”号成立，（对人，j。，j3……j一的任一排列均成立）．证明：不妨设乱序和S中人一切若人一。，则看人；），且在和S中含有项a＊b．则：。／一十。入，＜。‘。＋。／．事实上，右一左一（。－。，）（八一切．）2小…·伊由不等式（③知人一n时，调换X一。I勿，＋……。。勿。＋。山中bJ．位g（其余不动》．所得和几＞S，…     

迭代加权平均值问题初探

本文对两个数和三个数的算术迭代加权平均值，几何迭代加权平均值、调和迭代加权平均值这一类极限作了一些探讨，给出了这类极限的计算公式。1．两个数的选代加权平均值定义1设x1＝a，x2一b，x。一o一户）x。－l十户x。。（n＞3，0＜户＜I），称数列（X。）的极限为a到b的算术迭代加权平均值，记作AP（a，b）为计算A户（a，b），我们先来求（。｝的通项公式，由数列｛x。｝的递推方程可得人一人一；—－p（x。－；－x。－。）（n＞3）即数列｛x。－x。－；｝是公比为一户的等比数列，它的前n—1项之和为将x；一a，x。一b代入上式即得｛x。…     

一类不等式的证明及应用

本文绘出了三个分式形式的不等式定理，应用它们可以求相应的一类有限和的品位．为叙述方便，约定；若正值鳖列。和b．的问序关系是或而则称与是反序的．若与的顺序关系是或则称与是同序的．另外，本文在证明定理的过程中，将直接引用由军生（jensen）不等式在时导出的不等式（见[1]或[2]、[3]）：其中a1＞0，aER）．定理1设a．．b∈R－，i＝1．2，……，n．n∈N当a≥1，0≤β≤，a，的R时，若怕．｝与协．｝是反序的；当a＜0，ort队1。，盯R时．若｛a．｝与此．是同序的。则讲有成立．当且仅当诸a；相等且诸b；相等时取等号．证（i）当O…     

M(p)的单调性及其应用

定义称为p次幂平均函数．由文[1]，补充定义，则函数M（p）的定义域为实数域R．引理1[1]若f(x)在区间I上存在二阶导数，且则其中且引理2设，则有证明：作辅助函数，有由引理1，取引理得证．定理函数M（p）在定义域内是单调增函数．证明：只须考察函数lnM（p）的单调性．由于又函数M（p）在户20处连续，易知M（p）在卜co，＋co）内是单调递增函数．推论少］。。＞0，（k－1，2，…，n），。＜0＜g，则有由M（p）单调递增，有M（。）＜M（0）＜M（尸），即可得到上述推论．推论2the＞0（k＝1，2，…，n），则有重要不等式当且仅当al＝a。…     

关于有理系数微分方程的复振荡理论

证明了：如果Ｂｋ－ｊ（ｊ＝１,…,ｋ）为有理函数,在。点有ｎｋ－ｊ（＞０）阶极点,存在某个Ｂｋ－ｓ（１≤ ｓ ≤ ｋ）满足：当ｊ≠ ｓ时,有ｎｋ－ｊ／ｊ＜ｎｋ－ｓ／ｓ．假设Ｆ（ｚ）０为亚纯函数,且λ（１／Ｆ）＜σ（Ｆ）＝β＝（ｎｋ－ｓ＋ｓ）／ｓ．如果微分方程ｆ（ｋ）＋ Ｂｋ－１ｆ（ｋ－１）＋…＋ Ｂ０ｆ＝ Ｆ的所有解为亚纯函数,则每个解／满足σ（ｆ）＝（ｎｋ－ｓ＋ｓ）／ｓ．     

Wolstenholme定理的推广

本文将数论中的Ｗｏｌｓｔｅｎｈｏｌｍｅ定理推广为定理设素数ｐ＞３，ｖ，ｔ＿０，ｔ＿ｋ∈Ｚ（１≤ｋ≤ｐ－１），并且０≤２ｖ＜ｐ－３，（ｔ＿０，ｐ）＝１及ｔ＿１＋ｔ＿（ｐ－１）＝ｔ＿２＋以ｓ表示满足（ｍｏｄｐ￣２）的整数，那么，     

一个单叶解析函数族的推广

设函数在单位圆盘｜ｚ｜＜１内解析，且１，其中｛αｎ｝为一正实数序列．记具有这种性质的函数ｆ（ｚ）的全体为Ｓ（αｎ）．本文证明，如果ｆ（ｚ）∈Ｓ（αｎ），且αｎ≥［（ｎ－１）（αｐ－１）＋ｐ－１］／（ｐ－１），则ｆ（ｚ）为α阶星象函数，其中α＝（αｐ－ｐ）／（αｐ－１）．特殊情形，当αｎ＝ｎ，ｐ＝２时，Ｓ（ｎ）为众所周知的ＡＷ．Ｃｏｏｄｍａｎ（１９５７）关于原点的星象函数族，此外，本文还研究了Ｓ（αｎ）的单叶性条件，变形定理，旋转定理以及关于任意点为星象的条件，其中定理７和推论１推广了Ｈ．Ｓｉｌｖｅｒｍａｎ（１９５７）的一些结果．     

平面解析几何中求最值的几种学法

解析几何中的最值问题是中学数学的一个重要课题，在高考中也多有出现。它涉及的知识面较广，综合性强，内涵丰富，方法灵活多样，对活跃思维，发展智力，培养能力等方面都有促进作用。下面谈几种求解析几何最值的主要方法。一、利用二次函数最值定义求最值求二次函数y=ax2±bx＋c（a≠0）的最值公式为；（1）若a＞0，则当时，（I）若a＜o，则当。—一＿时，ym。x一dac一心24a例．1设抛物线y一4一X‘与直线q一列的两交点为A、巧、，点P在抛物线上且由片到产运动，求当面P／IB面积最大时，P点位置P（X。，y卜。A＿．一0·’解A、B两点…     

两分子饱和反应系统的极限环的存在性与唯一性

陈兰荪等在第二届中国生物数学学术会议上提出了生物动力学系统中研究的１１个问题。作者所研究的是第１１个问题，生物化学中两分子饱和反应。其数学模型为ｘ＝Ｊ＿１（１＋ｘ＋ｙ＋Ａｘ￣２）－ｘ（１＋ｘ＋ｙ＋Ａｘ￣２）－Ｂｘｙ；ｙ＝Ｊ＿２（１＋ｘ＋ｙ＋Ａｘ￣２）－Ｂｘｙ．其中：Ｊ＿１、Ｊ＿２、Ａ、Ｂ为非负常数，当Ｊ＿１－３Ｊ＿２＜－［１＋Ｂｘ＋（Ｂ＋１）ｙ］／（１＋Ａｘ）时，该模型在第一象限内至少存在一个极限环；当Ｊ＿１＜Ｊ．ｘ＜ｙ，Ｂ＞ｌ且ｘ＞ａ时，该模型在第一象限内存在唯一的极限环。其中ａ＜０为方程ｐ（ｘ＝）＝０的最大负实根．