关于线性型Frobenius问题的注记

以g(a_1,a_2,…,a_n)表n元整系数线性型a_1x_1+…+a_nx_n,a_i>0,(a_1,…,a_n)=1,不可非负整表出之最大整数,D_(n-1)=(a_1,…,a_(n-1)).注记中将证明g(a_1,…,a_n)=D_(n-1)·g(a_1/D_(n-1),…,a_(n-1)/D_(n-1),a_n)+(D_(n-1)-1)a_n。并由此对Brayer关于g(a_1,…,a_n)之上确界的著名结果和Roberts关于g(a,a+d,…,a+sd)的精确结果分别给出一个十分简洁的新证明.     

多项式根的分布

本文以复变函数论中的 Rouche 定理为基础,给出了有关多项式根的分布规律。Rouche 定理:若 f(Z)与 g(Z)在封闭曲线 C 内及 C 上都解析,又在 C 上有|g(Z)|max{1,(|a_(n-1)| |a_(n-2| … |a_1| |a_0|)/|a_n|}令 f(Z)=a_nZ~n,g(Z)=a_(n-1)Z~(n-1) a_(n-2))Z~(n-2) … a_1Z a_0 由有关 R 的假设可得:|a_(n-1| |a_(n-2| … |a_1| |a_0|<|a_n|R 即(|a_(n-1)| |a_(n-2)| … |a_1| |a_0|)<|a_n|R~n由于 R>1及在 C 上|Z|=R,所以,|a_(n-1)Z~(n-1) a_(n-2)Z~(n-1) …… a_1Z a_0|<|a_nZ~n|也就是说,|g(Z)|<|f(Z)|,因此 f(Z)与 f(Z) g(Z)在 C 内(|Z|相似文献   

一阶微分方程的几个可积类型-兼谈广义黎卡提微分方程的一个猜想及两个结论

本文拟给出一阶微分方程的几个可积类型。这些方程只要通过适当的变 量变换,就可以化归为变量可分离方程,从而可积。可以着出,通常意义下的 一阶齐次微分方程、线性微分方程,和伯努里(Bernoulli)微分方程,是本文 所给几个可积微分方程的特例。 本文还定义了广义黎卡提方程(Gene rdized Riccati′s eguation): dy/dx+q(X)y=a_0(y)y~n+a_1(X)y~(n-1)+…+a_(n-1)(X)y+a_n(X),(a_0(X)≠0,n≥2):并提出了一个猜想:广义黎卡提方程一般是不能用初等积分法求解的;同时,作者给出了有关广义黎卡提方程的两个结论: (i)在条件a_n(x)≠0,a_(n-1)(X)=c_(n-1) a_(x) (i= l,2,…,n; C_(n-1)为常数)之下,广义黎卡提方程是可积的。 (ii)如果a_(n-1)(X)=0(0≤j(x)=c_(n-i)a_(n-i-1)(x)(i>j+1),则广义黎卡提方程也是可积的。     

常系数线性微分方程组“代数法”求解的一个注记

§1 引言大家都知道,对常系数n 阶线性微分方程y~((n)) a_1y~((n-1)) … a_(n-1)y′ a_ny=P_m(x)e~(ax)其中a_i(i=1,2…,n)是实常数,P_m(x)是x 的m 次实系数多项式,α为常数的求解问题。可用“代数法”解决。这个思想方法,能否推广到常系数线性微分方程组     

一个关于{1,2,…,n}排列的猜想（英文）

我们证明了孙智伟的下述猜想:对任意不等于3的正整数n,存在{1,2,dos,n)的一个全排列(a_1,…,a_n)使得a_1=1,a_n=n,并且a_1+a_2,a_2+a_3,…,a_(n-1)+a_n,a_n+a_1都与n互素     

两类特殊行列式的计算

本文主要解决了两类特殊行列式的计算问题,得出了两个有趣的对称的计算公式,即n阶循环行列式的计算公式D_n=multiply form i=1 to n(K=1)(a_1 a_2ω_k … a_nω_k~(n-1))和n阶顺序递增行列式的计算公式E_n=(-1)~[(n-1)/2]multiply from i=1 to n(k=1)(a_1 a_2ω_k … a_nω_k~(n-1))     

关于不定方程a_1X_1+a_2X_2+…+a_nX_n=N的非负解个数的讨论

设不定方程(1)a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n=N,其中,n≥2,(a_1,…a_n)=1,N和a_i(i=1,2,…,n)均为正整数(且不妨假设a_1≤a_2≤…≤a_n)。 (1) (1)的非负整数解的个数是有限的,设为T_n(N)。记0相似文献   

关于Frobenius问题

设n≥2,a_1,a_2,…,a_n都是正整数,且(a_1,a_2,…,a_n)=l,记a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n 当X_i≥0(i=1,2,…,n)时不可表出的最大整数为g(a_1,a_2…,a_n).本文首先用构造性方法简单地证明了g(a_1,a_2,…a_n)的存在性,并运用这种方法给出了某些应用;其次对n=3的重要情形用不同的方法讨论,提出了求g(a_1,a_2,a_3)的一种简便而实用的方法。     

高阶非线性自治系统的全局渐近稳定性

本文采用[1]的方法,通过A И.Лу型直接控制系统,借助Popov频率判据获得了几类高阶非线性自治系统全局渐近稳定性的充分条件 假设本文所考虑的方程中的非线性项函数均连续,且所有方程都有唯一解。 考虑多项式 f(λ)=a_0λ~n+a_1λ~(n-1)+…+a_(n-1)λ+a_n (a_0≠0) (1)其中f(λ)∈R[λ],a_i∈R~1(i=0,…,n)     

对Davenport一定理的一点改进(英文)

设A是n维实欧氏空间中的n维格,C_1,…,C_(n-1)是任意n-1个向量。利用Rosser筛法我们证明了: 对任意的实数N≥2及ε>0,在A中存在一组基a_1,…,a_n,满足: |a_i-NC_i|=O(log~(2+i)N)(1≤i≤n-1),其中O所隐含的常数仅依赖于ε,A和C_1,…,C_(n-1)。     

等差数列的两个充要条件

我们知道,如果{a_n}为等差数列(以下简记为A·P),那么它的通项和前n项和分别是: a_n=a_1 (n-1)d ① S_n=na_1 n(n-1)d/2 ② 整理,得 a_n=d_n (a_1-d) ③ S_n=d/2n~2 (a_1-d/2)n ④ ③、④二式表明:当d≠0时,A·P的a_n是n的一次式,S_n是n的二次式;当d=0时,A·P的a_n是常数,S_n是n的一次式。 现在的问题是:如果一个数列的通项a_n=kn b(k,b为常数),那么这个数列是否是A·P?如果前n项和S_n=pn~2 q~n r,这个数列是否是A·P?下面的两个定理分别解决了这个问题。 定理1 数列{a_n}为A·P的充要条件是:a_n=kn b(其中k,b是常数)。     

关于带参数五次代数方程判别根的一个充要条件

本文给出了带参数五次代数方程f(x)=x~5+a_1x~4+a_2x~3+a_3x~2+a_4x+a_5=0有一对纯虚根且剩余根均具有负实部的一个充要条件。     

有限域内一元高次方程的解法

本文将给出一元多项式 f(x)=a_0 a_1x … a_nx~n (a_n≠0)……(1)在有限域内的根的个数定理以及求根方法——线性化解法定理,并分别给予证明。     

多元一次不定方程整数解的通解公式

在不定方程中,二元一次不定方程的全部整数解可用公式表示,而多元一次不定方程a_1x_1+a_2x_2+……+a_nx_n=c,我们知道其有整数解的充要条件是(a_1,a_2,…,a_n)|c,并且求它的整数解的方法,一般是通过解n-1个二元一次不定方程来进行的。本文将给出多元一次不定方程整数解的通解公式。     

对称多项式

<正> 一对称多项式是多元多项式中常见的一种。对称多项式的来源之一以及它的应用的一个重要方面,是一元多项式根的研究。因此我们从一元多项式的根与系数的关系开始。设f(x)=X~n+a_1X~(n-1)+…+a_n(1)是 F[X]中的一个多项式。如果 f(x)在 F 中有 n 个根 X_1,X_2,…X_n,那么 f(x)就可     

Eisenstein判别法的两种变通形式

多项式的可约性与多项式的因式分解有密切的联系,判断一个整系数多项式在有理数域上是否可约,有重要的Eisenstein判别法(以下简称E-判别法).即对整系数多项式f(x)=a_nx~n a_(n-1)x~(n-1) … a_1x a_0,如果存在一个素数p,使P(?)a_n,P(?)a_i,(i=0,1,2,…n-1)但P~2(?)a_0,那么f(x)在有理数域上不可约,但对任意一个整系数多项式来说,满足E-判别法条件的素数P不总存在,因而它在有理数域上的可约性,不能完全由E-判别法本身所确定.例如x~2 1与X~2 3x 2都不存在满足判别法条件的素数P,但前者不可约而后者可约,本文给出E-判别法的两种等价形式,通过对f(x)适当变形,扩大E-判别法的适用范围.     

几种递推数列通项公式的求法

<正>数列是高中代数的重点内容之一,也是高考考查的重点,从近几年的高考试题看。递推数列为考查热点,通常题目条件中给出a_n,a_(n-1),a_(n-2)及S_n的关系,然后要求解决一些有关数列通项、求和等问题。本文就几种递推数列的通项求法做一些讨论。1递推数列a_(n+1)=pa_n+q型(p,q为常数)通项的求法例1求满足a_1=3,a_(n+1)=1/2a_n+3(n∈N)的数列{a_n}的通项。     

用摄动法解n阶线性随机微分方程

一个含有随机系数a_k(x)的n阶线性微分方程的形式为 L_au=a_n(x)d~uu(x)/dx~n+a_(n-1)(x)d~(n-1)u(x)/dx~(n-1)+…+a_o(x)u(x)=P(x) 其中p(x)是随机函数。本文对以下三种情况: 1 含微变化的随机系数的方程; 2 含缓慢变化的随机系数的方程; 3 只含一个随机系数的方程。用摄动法讨论上述方程的解的某些统计性质,求出解的某些特征值,或求出解的概率密度。     

一个递推数列及勾股连续数

由递推式a_(n+1)=2a_n+a_(n-1) a_0=l,a_1=2,n∈N(l)给出的数列十分有趣,由它可得到勾股为连续自然数的全部基本的勾股数组.     

带滞量微分方程解的表达式的一个推广

利用复函数方法讨论了方程a_nx~(n)(t)+a_(n-1)x~(n-1)(t)+…+a_0x(t)+bx(t-τ)=(t~k+c_(k-1)t~(k-1)+…+c_1t+c_0)e~(αt)cosβt a_nx~(n)(t)+a_(n-1)x~(n-1)(t)+…+a_0x(t)+bx(t-τ)=(t~k+c_(k-1)t~(k-1)+…+c_1t+c_0)e~(αt)sinβt解的一些表达式,获得了更一般的结果,推广了最近文献中的有关结果