图的正交因子分解

研究了图的正交因子分解问题．设ｋ１,…,ｋｍ是正整数,Ｇ是［０,ｋ１＋…＋ｋｍ－ｍ＋１］－图,Ｈ是Ｇ的任一有ｍ条边的子图．若｜Ｖ（Ｈ）｜≥｜Ｅ（Ｈ）｜＝ｍ,则图Ｇ有一个［０,ｋｉ］ｍ１－因子分解与Ｈ正交     

与星下在交的[0,ki]^m1—因子分解

设Ｈ是图Ｇ的任一个具ｍ条边的星，即ｍ－星。证明了，对任给的ｍ个整数ｋ１，ｋ２，ｋ１，．．．，ｋｍ，当对任意的ｘ∈Ｖ（Ｇ）有ｄＧ（ｘ）≤ｋ１＋ｋ２＋．．．＋ｋｍ－ｍ＋１时，Ｇ有一个「０，ｋｉ」＾ｍ１－因子分解与Ｈ正交。     

与星（m,r）——正交的（g,f）——因子分解

设ｇ和ｆ是定义图Ｇ的顶点集Ｖ（Ｇ）上的整值函数。本文证明了如下结果：设ｒ是一个正整数,Ｇ是一个（ｍｇ＋ｍ－１,ｍｆ－ｍ＋１）—图,且ｇ（ｘ）≥ｒ－１,对ｘ∈Ｖ（Ｇ）。若Ｈ是Ｇ的一个有ｍｒ条边的星,则Ｇ有（ｇ,ｆ）—因子分解与Ｈ（ｍ,ｒ）—正交。     

与路2—正交的（g,f）—因子分解

设ｇ和ｆ分别是定义在图Ｇ的机点集合Ｖ（Ｇ）上的整数值函数且对每个ｘ∈Ｖ（Ｇ）有４≤ｇ（ｘ）≤ｆ（ｘ）。证明了若Ｇ是一个（ｍｇ＋ｍ－１,ｍｆ－ｍ＋１）－图,则对Ｇ中任意给定的长为２ｍ的路Ｐ,Ｇ有一个（ｇ,ｆ＿－因子分解２－正交于Ｐ。     

与几类子图2-正交的(g,f)-因子分解

设ｇ和ｆ分别是定义在图Ｇ的顶点集合Ｖ（Ｇ）上的整数值函数且对每个ｘ∈Ｖ（Ｇ）有ｇ（ｘ）≥２。本文证明了：若Ｇ是一个（ｍｇ＋ｍ－１,ｍｆ－ｍ＋１）－图,则对于Ｇ中任意给定的子图２Ｋ１,ｍ或２ｍ－星或２ｍ－对集,Ｇ有一个（ｇ,ｆ）－因子分解与之２－正交。     

关于二分图的2-因子

证明：若Ｇ＝（Ｖｉ;Ｖ２;Ｅ）是一个二分简单图,│Ｖ１│＝│Ｖ２│＝ｎ≥２ｋ＋１且δ（Ｇ）≥〔ｎ／２〕＋１,那么Ｇ含一个２－因子,它恰有ｋ个分支。     

二分图的与星正交的（g,f）—因子分解

设ｇ和ｆ是定义在二分图Ｇ的顶点集Ｖ（Ｇ）上的两个整数值函数且对每个ｘ∈Ｖ（Ｇ）有ｇ（ｘ）≤ｆ（ｘ）．证明了若Ｈ是二分图Ｇ的任一ｍ－星,则Ｇ有一个（ｇ,ｆ）－因子分解与Ｈ正交的充要条件是Ｇ为一个（ｍｇ,ｍｆ）－图．     

1坚韧图中过给定点子集的圈

设Ｇ是阶１－坚韧图，Ｘ是Ｇ的顶点子集合，定义（Ｘ）＝ｍａｘ｛│Ｓ││Ｓ是秀导子图Ｇ［Ｘ］中的顶点独立集｝，σｋ（Ｘ）－ｍｉｎ｛Σ＾ｋｉ＝１（１，２，…ｋ｝是独立集｝和ｃ（Ｘ）＝ｍａｘ｛│Ｖ（Ｃ）∩Ｘ││Ｃ是Ｇ中的圈｝。我们得到如下主要结果：设Ｇ是阶１－坚韧图，并且σ３（Ｘ）≥，则ｃ（Ｘ）≥ｍｉｎ｛│Ｘ│，│Ｘ│＋δ＾－（Ｘ）－α（Ｘ）＋１│，并且这下界是最好的，这时δ（Ｘ）是不小于     

正则图分解成重星的一个充分条件

用ｇ（Ｇ）表示图Ｇ的围长。Ｓ（ｋ＿１，ｋ＿２）表示两个非１度顶点分别为ｋ＿１，ｋ＿２的重星。在［２］中证明了：（２ｋ＋１）─正则图Ｇ是Ｓ（ｋ＋１，ｋ＋１）─可分解的充分必要条件是图Ｇ含有１─因子。本文证明的主要结果是：１）设图Ｇ是ｒ（２ｋ＋１）─正则图（ｒ≥２）且ｇ（Ｃ）≥４，如果Ｇ含有ｒ─因子，则图Ｇ是Ｓ（ｋ＋１，ｋ＋１）─可分解的。２）设ｑ＝｜Ｅ（Ｓ（ｋ，ｋ））｜，如果，ｎ＝１（ｍｏｄ２ｑ），则完全图Ｋ＿ｎ是Ｓ（ｋ，ｋ）─可分解的。     

超立方图和超立方有向图的同构因子分解

图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）的一个同构因子分解是边集Ｅ的一个划分：｛Ｅ１，Ｅ２，…，Ｅｔ｝，使得生成子图（Ｖ， Ｅ１），…，（Ｖ，Ｅｔ）都彼此同构。若 Ｈ≌（Ｖ，Ｅ１），记为 Ｈ［Ｇ或 ｔ］Ｇ．若对每个ｔ≥２．当　　　时．均有：ｔＧ，则称Ｇ为有理图．文章证明了超立方图（ｈｙｐｅｒｃｕｂｅ）和超立方有向图都是有理图．     

Ore k-型图的性质和1-因子

本文研究了 Ｏｒｅ ｋ－型图的若干表征其结构的性质，并证明了 Ｏｒｅ ｋ－型图 Ｇ在 δ（Ｇ）＝ｋ＋２≤ｎ＋１或δ（Ｇ）≥ｎ＋ｋ的条件下含有ｋ＋２个边不重的１－因子．从而部分地证实了Ｗｉｎ 猜想．     

一类有限环存在的必要条件

对固定的正整数ｋ，本文给出：满足ｎ（ｎ－ｋ）〈│Ｒ│〈ｎ（ｎ－ｋ＋１），且恰有ｎ（ｎ≥２）个左（右）零因子环Ｒ存在的必要条件，并且对ｋ＝１，２，３，４给出了结果。     

X-最长圈的下界估计

设Ｇ是连通图,Ｘ＝Ｖ（Ｇ）,Ｇ〔Ｘ〕是Ｇ的Ｘ生成子图,记σｋ（Ｘ）＝ｍｉｎ｛Σｉ＝１ ｋ ｄ（Ｖｉ）;｛ｖ１,ｖ２,…,ｖｋ｝是Ｇ〔Ｘ〕的顶点独立集｝,得到如下结果,对于ｎ阶的１－坚韧图（ｎ≥３）,Ｘ＝Ｖ（Ｇ）,且σ３（Ｘ）≥ｎ＋ｒ≥ｎ,３│Ｘ│－２ｎ≥８ｔ－６ｒ－１７,则存在一个圈Ｃ满足│Ｃ（Ｘ）│≥｛Ｃ（Ｘ）│≥｛│Ｘ│,│Ｎ（Ｉｔ）∩Ｖ（Ｃ）│｝,其中Ｉｔ是Ｘ中ｔ个顶点的独立集。     

关于完全三部图K(n-k,n,n+k)的色性

设Ｇ为简单图,Ｐ（Ｇ,λ）的色多项式,若对任意简单图Ｈ满足Ｐ（Ｈ,λ）＝Ｐ（Ｇ,λ）,都有Ｈ与Ｇ同构,则称Ｇ是色唯一图,设Ｋ（ｍ,ｎ,ｒ）表示完全三部图,证明了：（１）对任意非负整数ｋ,若ｎ≥２√－３ｋ／３＋ｋ＾２,则Ｋ（ｎ－ｋ,ｎ,ｎ＋ｋ）是色唯一图。（２）若ｎ≥９,则Ｋ（ｎ－３,ｎ,ｎ＋３）是色唯一图。     

两类数列和的简捷计算

用第二类Ｓｔｉｒｌｉｎｇ数得到了ｎ／∑／ｍ＝０ｆ（ｍ）＝ｋ／∑／ｒ＝０ｂｒ「ｍ」ｒ与ｎ／∑／ｍ０ｆ（ｍ）（ｎ／ｍ）ｐ＾ｍｑ＾ｎ－ｍ＝ｋ／∑／ｒ＝０ｂｒ／ｒ＋１「ｎ＋１」ｒ＋１。     

偶图中独立边集的1—因子扩张

Ｇ＝（Ａ，Ｂ；Ｅ）是偶图，｜Ａ｜＝｜Ｂ｜＝ｎ≥２，若ｅ，ｆ∈Ｅ，ｅ≠ｆ，有ｄ（ｅ）＋ｄ（ｆ）≥３ｎ＋ｋ（ｋ≥１），则Ｇ中所有ｋ个边的独立集Ｍ皆可扩张成Ｇ的１－因子。     

Gn的一种完全因子

设ｎ＝２＾λ－１＋ｔ，λ〉２，０≤ｔ〈２＾λ－１。反馈函数ｘｎ＝ｆ（ｘ０，ｘ１，…，ｘｎ－１）＝１＋ｘ０＋Σｉ∈Ｉｔ（ｘｉ＋ｘｎ－ｉ）产生ｎ阶ｄｅ Ｂｒｕｉｊｎ－Ｇｏｏｄ图Ｇｎ的一个完全因子ＰＦλ（２＾λ－１＋ｔ）其中Ｉｔ＝｛ｔ；（ｔｉ）是奇整数，１≤ｉ≤ｔ｝。     

关于Cayley图因子的一个注记

Ｃａｙ（Ｓ：Ｇ）表示生成集为Ｓ的群Ｇ上的Ｃａｙｌｅｙ图。本文证明了如下结果：定理ｌ若Ｈ＝Ｃａｙ（Ｓ１：＜Ｓ１＞），则Ｃａｙ（Ｓ：Ｇ）有Ｈ－因子。定理２设Ｓ＝Ｓ１∪Ｓ２∪…∪Ｓｋ，ｓｉ∩Ｓｊ＝φ（ｉ≠ｊ），Γｉ＝Ｃａｙ（Ｓｉ：＜Ｓｉ＞），则Ｃａｙ（Ｓ：Ｇ）是｛Γ１，Γ２，…，Γｋ｝──可分的。     

一个关于2—连通图周长的次条件

设Ｇ为ｎ阶２－连通图，顶点ｖ１，ｖ２，…，ｖｎ满足ｄ≤ｄ２≤…≤ｄｎ，其中ｄｉ＝ｄ９ｖｉ），ｉ＝１，２，…，ｎ。给出ｃ（Ｇ）≥ｍｉｎ「ｎ，ｍ」的如下条件：ｊ〈ｋ，ｖｊｖｋ∈Ｅ，Ｊ＋Ｋ〈ｍ，ｄＪ≤Ｊ，Ｄｋ＋１≤ｋｄ（ｖ），ｄ（ｕ）≤Ｊ（其中Ｊ＝ｄ（ｖｊ），Ｋ＝ｄ９ｖｋ））｝→ｄｉｓｔ（ｖ，ｕ）≠２。     

带有n-1阶差分项的n阶差分方程解的振动性及渐近性

讨论了高阶差分方程Δｎｘ（ｋ） ＋ ｐ（ ｋ）Δｎ － １ ｘ（ ｋ） ＋ ｑ（ ｋ） ｆ（ ｘ（ ｇ１（ ｋ）） ,…,ｘ（ ｇ ｍ（ ｋ））） ＝ ０ ． ｋ ∈ Ｎ（０） 解的振动性及渐近性问题． 这里Δ表示差分算子：Δｘ（ｋ） ＝ ｘ（ｋ ＋ １） － ｘ（ ｋ） ,Δｍｘ ＝ Δ（Δｍ － １ ｘ） ,ｍ ＝ １ ,２ ,…,ｎ ,Δ０ ｘ ＝ ｘ ;ｎ（ ａ） ＝ ｛ａ ,ａ ＋ １ ,…｝ ．