用两项谐波法求解强非线性Duffing方程

提出了一类强非线性动力系统的两项谐波法。采用Ritz-Galerkin法,将描述动力系统的二阶常微分方程化为以频率、振幅为变量的非线性代数方程组;考虑初始条件补充约束方程,构成频率、振幅为变量的封闭非线性代数方程组。利用Maple程序可以方便地求解。分析了三种标准类型的Duffing方程,实例表明,两项谐波法方法简单,具有较高的精度。两项谐波法将谐波平衡法与等效线性化方法相结合,克服了二者的缺点吸取了二者的优点,取较少的谐波数目就可以达到比较高的精度。     

不同运动速度下轴向运动梁的非线性振动研究

应用增量谐波平法(IHB法)研究在不同轴向运动速度下运动梁的非线性振动。根据哈密顿原理建立梁的横向运动微分方程,采用分离变量法分离时间变量和空间变量,并利用Galerk in方法离散运动方程,得到了带3次非线性项的多自由度方程。典型算例获得了轴向运动梁横向非线性振动在不同速度下的频率-振幅响应曲线,讨论了出现内部共振的临界速度vc。     

基于增量谐波平衡法的杜芬方程非线性区间多值自动求解算法

以典型的非线性振动系统杜芬方程为例,研究应用增量谐波平衡法自动求解非线性方程区间内多值的问题。在非线性区间内选择一个与幅频特性曲线趋向相似的谐波项系数作为主动变量,根据振幅的变化情况,自动选择不同谐波项系数,直到求出所有的值,所求出的值与四阶Runge-Kutta法的结果相比精确度相当,验证了算法的正确性。     

一个强非线性振子的牛顿谐波平衡解

应用牛顿谐波平衡法求解一个具有有理式恢复力的非线性振子的近似频率和近似周期解.这种方法先用牛顿法将非线性方程线性化再用谐波平衡法求解,这样避免直接使用谐波平衡法时需要求解非常复杂的非线性代数方程组.用这种方法可以容易得到高阶近似角频率和近似周期解的显式表达式,这些近似解对小振幅和大振幅的非线性振动问题都有效.当振幅很大时,一阶近似角频率与精确角频率的百分比误差为7.845%,而二阶近似角频率与精确角频率的百分比误差为2.636%.与数值方法给出的"精确"周期解比较,二阶近似解析周期解比一阶近似解析周期解要精确的多.     

增量谐波平衡法在分段结构非线性气动弹性系统的求解

本文将增量谐波平衡法推广至分段结构非线性气动弹性系统的周期响应分析中。对分段结构非线性气动弹性方程,推导其增量谐波平衡过程,研究了分段非性项的处理方法,实现了非线性气动弹性方程到线性化代数方程组的转化,可以为其它的分段非线性的处理提供思路。为了加快本文方法的收敛过程,通过对数值解进行快速傅立叶变换,获得响应中的主导频率成分,避免了盲目地对系统解形进行假设,最终可以快速地获得了响应近似周期解。与数值结果进行对比,验证了本文求解方法的正确性,同时讨论了谐波项数对解的精度的影响以及间隙和刚度比对响应幅值的影响。基于增量谐波平衡法可以快速地获得分段结构非线性气动弹性系统的响应,拓展了增量谐波平衡法的应用范围。     

强非线性主动隔振系统的运动响应及传递率

建立了主动隔振体的非线性动力学方程,即有阻尼受迫振动Duffing方程;对求解强非线性自治系统的能量迭代方法加以改进,将其用于求解强非线性非自治系统,得到了主动隔振系统周期运动响应的解析表达式和振幅-频率关系曲线,并按新振动传递率定义研究了振动传递率与频率的关系.应用这一方法,获得了精度较高的周期解表达式、振幅与频率关系曲线以及位移传递率与频率关系曲线;得到了主动隔振问题的有关结果:对于非线性硬弹簧系统(α＞0),随着非线性项系数增大,共振的振幅虽然减小,但传递率增大,故隔振效果较差;对于非线性软弹簧系统(α≤0),随着非线性项系数的绝对值增大,共振的振幅减小,同时传递率也减小,故非线性软弹簧系统(α≤0)具有较好的主动隔振.     

基于恒等变换的单摆振动解析逼近

应用修正的谐波平衡法构造了单摆大幅振动的解析逼近周期和周期解.通过引入三角变换或反三角变换将单摆振动方程恒等变形为关于新变量的Duffing方程或其他易于处理的非线性振动方程,利用牛顿谐波平衡法构造了单摆振动的解析逼近解.给出的解析逼近周期及周期解简单易用,几乎在振幅(初始摆角)的全部取值范围内,都有很高的逼近精度.     

强非线性自治系统的频率展开法

给出强非线性自治系统周期振动的频率展开法．该法将动力系统的非线性恢复力表示为线性主部和非线性辅部;将系统的瞬时频率展开为幂级数,使系统的位移、速度和频率等一阶近似解由相位显式表示．     

基于自回归模型非线性振动模型特性识别

对假定为三次自由衰减非线性系统的识别进行了理论研究。首先,对系统进行非线性分析得到振幅和频率的瞬时关系式。然后,通过引入Hilbert变换获得结构瞬时振幅和瞬时频率,针对Hilbert变换获得的瞬时频率抗噪音能力弱的缺点;基于自回归时间序列模型通过卡尔曼滤波获得结构瞬时频率。最后,通过已获得的瞬时频率、瞬时振幅及二者的关系式建立相应的回归模型,运用最小二乘法可以识别出非线性系统系数。通过数值算例模拟验证算法识别有效。研究为非线性系统的识别提供理论方法。     

达芬-谐波振子解析逼近的新方法

用一种新方法研究达芬 谐波振子的解析逼近解. 将牛顿线性化方法与谐波平衡法组合起来应用于变形后的控制方程, 建立了达芬-谐波振子 频率及周期解的改进解析逼近. 改进的解析逼近在振幅的全部取值范围内, 包括振幅趋于零及无穷的情况, 都有令人满意的精度.     

改进的截断展开法及其在变系数非线性方程中的应用

本文对截断展开法进行了改进.首先,通过行波变换,将偏微分方程(PDE)转化为常微分方程(ODE).然后,在截断展开中,采用了非线性Riccati方程F′=p qF rF2将复杂的变系数非线性方程转变为一组超定代数方程组.再利用计算软件mathematic求解出代数方程组.从而得到变系数非线性演化方程的精确解.我们将这种方法应用于第一类变系数KdV方程和广义变系数KdV方程,得到了一系列精确解,其中包括一组Weierstrass椭圆函数解.这组解可以表示成Jacobi椭圆函数解,在模数m→1或m→0时这组解又可以分别退化为双曲函数解和三角函数解.     

截断的函数积分法与Variant Boussinesq方程组的解

提出了一种求解非线性波动方程的简便方法，其基本思想为假定方程的解满足某种条件，通过积分求出新的变换形式，将方程转化为一组容易求解的代数方程．同时，将该方法应用于Variant Boussinesq方程组，得到了该方程组的3类精确解．     

污染物对流扩散方程的预测校正紧差分格式

结合预报校正线性多步法与高阶紧致差分格式方法的优点,空间导数采用四阶紧致差分格式进行离散之后,对得到的空间半离散格式采用改进的预报校正的线性多步法进行时间推进,得到一种时空方向均为四阶精度的求解非线性对流扩散方程的高精度方法。数值试验表明该格式可以有效求解非线性对流扩散方程,验证了格式的良好性能。     

用Jacobi椭圆函数求非线性方程的解析解

Jacob i椭圆函数展开法被应用于Kaup-Kupershm idt方程和推广的Kaup-Kupersh-m idt方程。在计算过程中,使用了非线性方程的非线性项和最高导数项平衡思想,这导致了简单代数方程组的产生。求解该代数方程组,若干解析周期精确解被得到,其中包括一些孤波解和双曲函数解。     

求解非线性发展方程的一个新的辅助椭圆方程

利用一个新的辅助椭圆方程将求解非线性发展方程精确解的问题转化为一个代数方程组进行求解，与已有的辅助椭圆方程法的主要不同是，应用这一新的辅助椭圆方程后降低了平衡次数，减少了所得的代数方程组的个数和方程的项数，从而大大地简化了代数方程组的求解．同时，由于辅助椭圆方程的解中包含了更多的可选参数，从而给出了非线性发展方程的更多形式的解．作为应用，借助于计算机的符号计算，求得了一些非线性发展方程的新的精确周期解．     

忒塔函数在求解非线性演化方程中的应用

建立了求解非线性演化方程精确解的忒塔函数展开法，并在计算机代数系统上得以实现，推导出若干非线性波方程的双周期精确解．方法的基本思路是把方程的解表示为忒塔函数构成的多项式，从而将非线性演化方程的求解问题转化为非线性代数方程组的求解问题．利用计算机代数系统可求解所得非线性代数方程组，最终得到非线性演化方程的双周期精确解．     

用双曲函数法求KdV-mKdV方程的钟状孤波解和激波状孤波解

提出一种统一的求解非线性演化方程孤波解的双曲函数法，并利用这种方法求出了组合KdV-mKdV方程的钟状孤波解和激波状孤波解．作为特例，可以给出mKdV方程的两类孤波解，而且还给出了KdV方程的钟状孤波解．双曲函数法是利用非线性波动方程孤波解的局部性特点，将方程的孤波解表示为双曲函数的多项式，从而将非线性波动方程的求解问题转化为非线性代数方程组的求解问题．因此双曲函数法是一种简单而实用的方法．     

一些非线性发展方程的周期解

利用辅助椭圆方程给出了求解非线性发展方程的精确周期解的一种代数方法，借助计算机的符号计算，求得了mKdV方程和非线性Klein-Gordon方程的多种精确周期解，这些解包括了已有的用Jacobi椭圆函数展开法所求得的周期解．在极限情形下，退化为相应的孤立波解或冲击波解．