关于Bellman不等式的注记

文〔１〕证明了Ｂｅｌｍａｎ不等式：ｔｒ（ＡＢ）ｎ≤ｔｒ（ＡｎＢｎ），当ｎ＝２ｋ（ｋ为自然数）时成立，这里Ａ，Ｂ为正定矩阵。本文证明将Ａ，Ｂ推广为Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵时该不等式仍成立。     

关于矩阵乘积迹的两个问题

关于矩阵乘积迹的两个问题刘希普，黄少通文［１］证明了下述两个不等式成立：（１）设Ａ为Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，Ｂ为斜Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，则ｔｒ（ＡＢ）￣２＞ｔｒＡ￣２Ｂ￣２；（２）设Ａ，Ｂ均为余Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，则ｔｒ（ＡＢ）￣２≤ｔｒ（Ａ￣２Ｂ￣２）。...     

关于Bellman不等式的几个充分条件

采用图论的术语给出Ｂｅｌｍａｎ不等式ｔｒ（ＡＢ）ｍ≤ｔｒ（ＡｍＢｍ），Ａ，Ｂ∈Ｓｋ，ｍ＝１，２，…成立的几个充分条件，推广了［１］的结果。     

关于Hermite矩阵不等式的一个问题

ＣｈｅｎＮ Ｎ提出了如何下问题：设Ａ、Ｂ、Ｃ为同阶非负定的Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵,且Ｃ≥Ａ,Ｃ≥Ｂ,那么不等式√２Ｃ≥（Ａ＾２＋Ｂ＾２）＾１／２是否成立？文章回答了这个问题,并给出了不等式成立的条件。     

Rellman猜想在四元数体的修正

本文就ｎ＝２＾ｔ（ｔ为自然数）时，证明了不等式：Ｒｅ［ｔｒ（ＡＢ）＾ｎ］≤Ｒｅ［ｔｒ（Ａ＾ｎＢ＾ｎ）］成立，其中Ａ，Ｂ为半正定四元数四共轭矩阵，Ｒｅ（ｔｒＭ）表示ｔｒＭ的实数部分。     

一类发散级数部分和的精确化不等式

运用Ｅｕｌｅｒ求和公式的改进的不等式形式，对于一类离散和∑ｎｋ＝ｌｆ（ｋ）（尤其发散级数的部分和）导出带有１个常数且联系Ｂｅｒｎｏｕｌｉ数的精确化不等式，并由此改进了若干渐近公式和经典不等式．     

关于斜Hermite矩阵乘积迹的不等式

在Ａ、Ｂ为斜Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵的条件下，证明了不等式ｔｒ（ＡＢ）＾２ｎ≤ｔｒ（Ａ＾２ｎＢ＾２ｎ）其中ｎ为非负整数。     

Bernstein不等式的推广

本文得到以下形式的Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ不等式：Ｐｎ（Ｄ）＝∏＾ｋｓ＝１（Ｄ＾２＋２αｓＤ＋ａ＾２ｓ＋β＾２ｓ）∏＾ｎ－２ｋｊ＝１（Ｄ－λｊ），Ｄ＝ｄ／ｄｘ，λｊ，αｓ，βｓ是实数，βｓ〉０，β＝ｍａｘβｓ，如果σ〉４β，则对任一指数型整函数ｆ（ｘ）∈Ｂσ，有‖Ｐｎ，（Ｄ）ｆ（Ｘ）‖ｃ≤│Ｐｎ（ｉσ）│ｓｕｐ│ｆ（ｘ）│。     

带幂等条件的Bellman不等式的证明

对于不等式ｔｒ（ＡＢ）ｍ≤ｔｒ（ＡｍＢｍ）对一切自然数ｍ以及半正定的实距阵Ａ，Ｂ成立。本文证明了在附加条件Ｂ（或Ａ）为幂等时结论成立。     

蝴蝶网络的(d,2)-控制数

研究了蝴蝶网络Ｂ（ｎ）的（ｄ，２）－控制数，得到如下结果（１）如果ｄ＝２ｎ－１，则Ｓｄ，２（Ｂ（ｎ））＝２；（２）如果ｄ＝２ｎ或２ｎ＋１，则Ｓｄ，２（Ｂ（ｎ）≤２。     

关于K—可换性与K—正规性

本文证明了对实自共轭迹类算子有Ｔｒ（（ＡＢ）＾２＾ｎ）≤Ｔｒ（Ａ＾２＾ｎ，Ｂ＾２＾ｎ），即Ｋ＝２＾ｎ情形下的Ｈｉｌｂｅｒｔ空间中Ｂｅｌｌｍａｎ不等式；定义了Ｋ－换位子，讨论其若干性质；并给出Ｔｒ（（ＡＡ）＾２＝Ｔｒ（Ａ＾２Ａ）＾２的充要条件，等价定义了正常迹类算子。     

关于Hermite矩阵或斜Hermite矩阵乘积迹的不等式

设Ａ，Ｂ同时为Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵或斜Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，则９１）ｔｒ（ＡＢ）＾ｍ≤ｔｒ（Ａ＾ｍＢ＾ｍ）对一切非负偶数ｍ成立，对一切非负奇数ｍ不一定成立。（２）ｔｒ｛（ＡＢ）＾ｍ」（ＡＢ）＾＊」＾ｍ≤ｔｒ（Ａ＾２Ｂ＾２）＾ｍ对一切自然数ｍ成立。     

Bernstein不等式的推广

本文得到以下形式的Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ不等式：Ｐｎ（Ｄ）＝∏ｋｓ＝１（Ｄ２＋２αｓＤ＋α２ｓ＋β２ｓ）∏ｎ－２ｋｊ＝１（Ｄ－λｊ），Ｄ＝ｄｄｘ，λｊ，αｓ，βｓ是实数，βｓ＞０，β＝ｍａｘ１≤ｓ≤ｋβｓ，如果σ＞４β，则对任一指数型整函数ｆ（ｘ）∈Ｂσ，有‖Ｐｎ（Ｄ）ｆ（ｘ）‖ｃ≤｜Ｐｎ（ｉσ）｜ｓｕｐ－∞＜ｘ＜∞｜ｆ（ｘ）｜．     

关于ΣsinB／2＋SINc／2）2≤3与Gerretsen不等式

揭示几何不等式Σ（ｓｉｎＢ／２＋ｓｉｎＣ／２）＾２≤３与Ｇｅｒｒｅｔｓｅｎ不等式内在联系，从新的途径证明了前者。     

正定矩阵的块kronecker积的一些不等式

本文首先给出Ａ与Ｂ块的ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ积为，其中Ａ＝（Ａｉｊ），Ｂ＝（Ｂｉｊ），ＡｉｊＢｉｊ表示Ａｉｊ与Ｂｉｊ的ｋｒｏｎｃｋｅｒ积。然后我们讨论了正定矩阵关于块ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ积一些不等式，我们得到了如下重要结果：当Ａ，Ｂ是正定矩阵，则有（１）Ａ２□Ｂ２＞（Ａ□Ｂ）２，（２）Ａ－１□Ｂ－１≥（Ａ□Ｂ）－１。这些结果推广了文［１］的主要结论。     

表代数全体表基元乘积的不可约分解

讨论一般非Ａｂｅｌ单表代数（Ａ，Ｂ）在什么条件下Ｉｒｒ（Пｂ）＝Ｂ成立，得到定理设（Ａ，Ｂ）是一个实的非Ａｂｅｌ单表代数，若以下条件之一成立（１）４≤（Ｂ）≤６。（２）Ｂ≥７时存在一对（ｂｉ，ｂｊ），ｂｉ≠ｂｊ使Ｉｒｒ（ｂｉｂｊ）≥（Ｂ）－２，则Ｉｒｒ（Пｂ）＝Ｂ。     

余弦算子函数的有界共轭扰动

设给定的两个强连续余弦算子函数Ｃ１（ｔ）和Ｃ２（ｔ），分别具有生成无Ａ１和Ａ２，本文考虑在什么条件下存在Ｂ∈Ｂ（Ｘ，Ｘ），使Ａ－Ａ２＋Ｂ成立？我们得到使其成立的一些充分条件。     

Banach空间上变分不等式的扰动

讨论自反Ｂａｎａｃｈ空间上变分不等式的扰动问题，并利用所得的收敛性结果处理Ｓｏｂｏｌｅｖ空间Ｗｍ，ｐ（Ω）（１＜ｐ≤２）上变分不等式边界条件的扰动问题。     

关于矩阵迹的不等式

对矩阵迹不等式：ｔｒＭ＾２＾ｎ（Ｍ＾Ｔ）＾２ｎ≤ｔｒ（ＭＭ＾Ｔ）＾２ｎ，提出了更一般的问题，以任意自然数ｎ，不等式ｔｒＭ＾ｎ（Ｍ＾Ｔ）＾ｎ≤ｔｒ（ＭＭ＾Ｔ）＾ｎ成立，并给出了证明。     

关于Heinz不等式的注记

证明了Ｈｅｉｎｚ不等式‖ＡＢ‖＾α≥‖Ａ＾αＢ＾α‖（０〈α≤１）对于规范矩阵也成立，还给出了Ｌｏｗｎｅｒ不等式Ａ≥Ｂ≥０时Ａ＾α≥Ｂ＾α的一个初等证明。