Euler函数与广义Euler函数混合的几个方程的解

讨论了几个有关Euler函数φ(n)与广义Euler函数φ_2(n)的二元定系数方程φ(xy)=k(φ_2(x)+φ_2(y))与二元变系数方程φ(xy)=k_1φ_2(x)+k_2φ_2(y)解的问题,结合Euler函数φ(n)与广义Euler函数φ_2(n)的性质,利用初等方法给出了所讨论的几个方程的解的情况.     

关于Diophantine方程x2+2y2=Zn

讨论了Diophantine方程x2+2y2=zn在xy≠0,(x,y)=1时有解的充分必要条件及用代数数论的方法给出(x,y)=1,n≥2时方程整数解的一般公式.     

有关Euler函数φ(n)的几个非线性方程

令φ(n)是Euler函数,它是数论中重要的数论函数之一.包含Euler函数φ(n)的线性方程整数解的研究成果极为丰富.本文考虑了当b取某些整数时的包含Euler函数φ(n)非线性方程φ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y)±b.对于奇数b,利用初等的方法证明了该方程有整数解时b,k1与k2的一些条件.并结合所给出的条件讨论了几个具体方程的整数解,给出了它们的各自的整数解.对于偶数b,讨论了一个具体形式的方程的整数解,利用初等的方法给出了其全部的整数解.     

Euler函数方程φ(xy)=7φ(x)+13φ(y)的正整数解

利用初等方法研究了不定方程φ(xy)=7φ(x)+13φ(y)的可解性问题,并给出了该方程的全部正整数解,其中φ(n)是Euler函数.     

方程φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+3φ(z)的正整数解

讨论了方程φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+3φ(z)的可解性,并给出了此方程的所有正整数解.     

有关方程φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))的正整数解

设φ(m)为Euler函数.本文探讨了方程φ(ab)=8(φ(a)+φ(b))的正整数解,利用初等方法给出了该方程的所有正整数解.根据方程φ(ab)=8(φ(a)+φ(b))正整数解的结论和已被讨论的相类似方程的正整数解的结论,证明了以下2个结论:对于任意正整数k,(a,b)=(2k,2k)是方程φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))的1个整数解;对任意的正整数k,(a,b)=(~(2k+1),2~k×3)和(2~k×3,2~(k+1))是方程φ(ab)=2~k(φ(a)+φ(b))的2个正整数解.     

关于丢番图方程11x(x+1)(x+2)(x+3)=13y(y+1)(y+2)(y+3)

运用递推序列的性质及二次剩余的知识,证明了丢番图方程11x(x+1)(x+2)(x+3)=13y·(y+1)(y+2)(y+3)仅有4组非平凡整数解(x,y)=(23,22),(-26,22),(23,-25),(-26,-25).同时,给出了丢番图方程x²-143(y²+3y+1)²=-22的全部整数解.     

Euler函数方程φ(xy)=11(φ(x)+φ(y))的正整数解

利用初等方法研究了Euler函数方程φ(xy)=11(φ(x)+φ(y))当k=11时方程的解的情况,得到如下结果:方程φ(xy)=11(φ(x)+φ(y))的全部正整数解为(13,161),(13,201),(13,207),(13,268),(13,322),(13,402),(13,414),(21,268),(26,161),(26,201),(26,207),(36,161),(161,13),(201,13),(207,13),(268,13),(322,13),(402,13),(414,13),(268,21),(161,26),(201,26),(207,26),(161,36),(22,22),(33,44),(44,33).     

不定方程m~4x(x+1)(x+2)(x+3)=(m~4-1)y(y+1)(y+2)(y+3)的整数解

运用初等方法对不定方程ax(x+1)(x+2)(x+3)=by(y+1)(y+2)(y+3)的整数解进行了研究,得到了当a=m4,b=m4-1时方程的非负整数解仅有(x,y)=(0,0)。     

不定方程φ(xyz)=5(φ(x)+φ(y)+φ(z))的正整数解

讨论了不定方程φ(xyz)=5(φ(x)+φ(y)+φ(z))的可解性,利用初等方法给出了该方程的57组正整数解,其中φ(n)为Euler函数.     

一个与Euler函数φ（n）有关的方程的正整数解

设N为正整数,φ(N)为Euler函数.讨论了方程φ(xy)=7(φ(x)+φ(y))的可解性问题,利用初等方法给出了其全部的正整数解.     

丢番图方程y(y+1)(y+2)=2x(x+1)(x+2)的整数解

证明丢番图方程y(y 1)(y 2)=dx(x 1)(x 2)的所有整数解满足max{︱x︱,︱y︱}相似文献   

有关Euler函数φ(n)的方程的可解性问题

对任意正整数n≥1,著名的欧拉函数φ(n)定义为不大于n且与n互素的正整数的个数。利用初等方法研究了方程φ(xy)=5(φ(x)+φ(y))的可解性问题,并给出了所有正整数解。     

不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=37y(y+1)(y+2)(y+3)的整数解的研究

用初等方法,证明了不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=37y(y+1)(y+2)(y+3)无正整数解,并得到了其全部整数解.同时证明了不定方程(x2+3x+1)2-37y2=-36仅有整数解(x,±y)=(0,1),(-1,1),(-3,1),(-2,1).     

关于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=13y(y+1)(y+2)(y+3)

主要运用Pell方程、递归数列、同余式及(非)平方剩余等一些初等的证明方法,证明了不定方程x(x+1)(x+2)·(x+3)=13y(y+1)(y+2)(y+3)无正整数解.在证明该结论的过程中,对不定方程进行变形和整理,将其化为Pell方程形式.根据得到的Pell方程整数解的情况,从而得到6类整数解.根据原不定方程的情况舍去了两类,剩余4类整数解.本文逐一对每一类整数解用同余式及平方剩余的证明方法进行讨论和证明,最后得到原不定方程无正整数解的结论.根据本文的结论也能得到这个不定方程的全部整数解,它们都为其平凡解,由于比较简单,故文中没有再给出.同时本文证明了不定方程(x2+ 3x+ 1)2-13y2=-12仅有整数解(x,±y)=(0,1),(-3,1),(-2,1),(-1,1),(-14,43),(11,43).本文进一步完善了此类不定方程的正整数解的研究.     

椭圆Diophantine方程(x+p)(x2+p2)=y2的本原解

设p是素数.在此给出了方程(x+p)(x2+p2)=y2有适合gcd(x,y)=1且y为奇数的正整数解(x,y)的充要条件.     

三元变系数欧拉函数方程φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)的正整数解

研究了方程φ(xyz)=φ(x)+2φ(y)+5φ(z)的可解性问题,φ(n)定义为欧拉函数。利用欧拉函数的性质和初等数论中的整除理论,得到了该方程的所有正整数解。     

关于方程x~2-1=y~5

我们已知方程x~2-1=y~3在xy≠0时只有一组整数解x=3,y=2.在本文中,我们将证明方程x~2-1=y~5设有xy≠0的整数解。     

关于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=19y(y+1)(y+2)(y+3)

运用递归序列,同余式的方法证明了不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=19y(y+1)(y+2)(y+3)仅有平凡的整数解,从而更进一步证明了不定方程x2-19(y2+3y+1)=-18仅有整数解是(±x,y)=(1,-1),(1,-2),(1,-3),(1,0),(571,10),(571,-13),(911,13),(911,-16).     

包含完全数的等系数三元欧拉函数方程φ(xyz)=φ(x)+φ(y)+φ(z)+6的正整数解

研究了包含完全数的等系数三元欧拉函数方程φ(xyz)=φ(x)+φ(y)+φ(z)+6的正整数解,φ(n)是欧拉函数,通过应用初等数论中的相关知识方法与技巧,得到了该方程的正整数解.