关于R.K.Guy的一个问题

设p为奇素数,(n/p)为通常的Legendre符号.若p≡1(mod4),容易证明区间T_1=[1,(p-1)/2]与区间T_2=[(p 1)/2,p-1]中二次剩余(modp)的个数是相同的.换言之,当p≡1(mod4)时modp的二次剩余的分布具有均匀性.若p≡3(mod4),问题变得复杂起来.以h(-p)表虚二次域Q((-p)~(1/2))的理想类数,我们有Dirichlet的类数公式     

关于D.H.Lehmer问题

设P为奇素数,我们知道对任一1≤x≤p—1,存在唯一的1≤(?)≤p—1使得x(?)≡1(modp)。用r(p)表示同余方程x(?)≡1(modp)满足条件1≤x,(?)≤p—1且x与(?)具有相反的奇偶性的解的个数。关于函数r(p),Lehmer曾提出求函数r(p)的值或者说一些有关它的非平凡性质。显然当p≡±1(mod4)时有同余式r(p)≡2或者0(mod4)。     

关于广义Ramanujan-Nagell方程(Ⅱ)

设D是非平方整数,p是奇素数,p D对于给定的D和p,以N(D,p)表示方程x~2—D=p~n,x>8,n>0 (1)的整数解x、n的个数。对此,Apéry (C. R. Acad.Sci. Paris, 251(1960), 1451—1452)证明了:当D<0,D≡1(mod4)且D无平方因子时,N(D,p)≤2。Bender和Herzberg(Studies in Algerbra and     

关于线性同余式组的一个转换定理的注记

命p为素数,a_(ij)(1≤i≤t,1≤j≤s)为st个整数.引入记号(?)=Max(1,|x|), p_1=[(p-1)/2], p_2=[p/2],命(a)_p,表示适合于(a)_p≡a(mod p),-p_1≤(a)_p相似文献   

陈景润定理的一个改进

在本文中,设x为充分大的偶数,h为任何偶数,C_(xq)=(?)(p-1/p-2)(?)(1-(1/(p-1)~2);并设P_x(1,1)为满足下述条件的素数p 的个数:x-p=p_1,这里p_1是素数;设x_h(1,1)为满足下述条件的素数p 的个数:p≤x,p+h=p_1.     

方程a~x—b~y=(2p~s)~x和Hugh Edgar问题

1969年,Perisastri(Math. Student, 37(1969),211—212)证明了Diophantus方程a~x—b~y=10~x在a=13(mod20),b=3(mod20)和z(?)1时无非负整数解x,y,z。1982年,Toymzumi(Math. Student,43(1978), no. 2—4,113—115(1982),MR 84h:10025)证明了Diophantus方程a~x—b~y=(2p)~x,p为奇素数,在a≡p≡5(mod8),b≡3(mod8),p(?)ab     

一个Simons型Pinching常数的最佳值

设S~(n+p)(1)是n+p维单位球面,M~n为其具有非零平行平均曲率向量的紧致子流形,S为M~n的第二基本形式长度的平方.丘成桐曾证明,若(3+n~(1/2)-(p-1)~(-1))S≤n,则M~n为S~(n+p)(1)的一个n+1维全测地子流形的超曲面.莫小欢改进到若S≤n/((n-1)~(1/2)+1),则M~n是全脐的.许洪伟接着证明,如果S≤min{2n/(1+n~(1/2)),n/(2-(p-1)~(-1)},则M~n包含在一个全测地子流形S~(n+1)(1)之中.他也削弱了前二者的条件.     

Riemann Zeta函数在σ=1/2线上零点个数的一个下界

设T>0,N(T)表示Riemann Zeta函数ζ(s)在区域0≤σ≤1,0相似文献   

一般四次循环域的类数的同余公式

Ankeny-Artin-Chowla在文献[1]中得到关于二次数域k的类数h的许多同余式,其中有些已为A.Kiselev得到。特别若k的判别式为素数P≡1(mod4),记ε_0=(t+u(p)~(1/2))/2为k的基本单位,则有     

复射影空间的全实极小子流形

1.设CP~(n p)表示具备Fubini-Study度量的复n P维射影空间。浸入CP~(n p)的一个n维子流形M,若M的每个切空间被CP~(n p)的殆复结构映照到它的法空间中。则称M是全实子流形。设σ是CP~(n p)中M的第二基本形式,M的平均曲率向量ξ定义为ξ=1/n     

一类用于实现密码体制的良好椭圆曲线

设F_q是一个有限域,q=p~ι,ι≥1,p是一个素数,p≠2,3,f(x)=x~3+Ax+B,A,B是整数,p△=-16(4A~3+27B~2)。再设E是由y~2=f(x)所决定的一条F_q上的椭圆曲线。最近,Koblitz利用椭圆曲线离散对数问题求解的困难性,实现了两种密码体制。但是,Koblitz提出的明文嵌入方     

一个乘数定理的平凡性

本文旨在说明文[4]中的结果是平凡的。定理设D是(υ,κ,λ)循环差集,υ为素数。如果整数t有如下性质:对任一n的素因数P,都有整数j_p,使得t≡p~(jp) modυ,则t是     

x-p=P_3解数的下界

设x是充分大的偶数,p是素数,记P_r为不超过r个素因子的乘积的数.此外,记C_x=multiple from p>2 (1-1/((p-1)~2)) multiple from 2相似文献   

方程x~2+2~m=y~n和Hugh Edgar问题

作者(科学通报,30(1985),14:1116—1117)曾经讨论了Diophantus方程。a~x-b~y=(2p~s)~z的解,其中p是奇素数,s为非负整数。得到的结果部分地解决了Hugh Edgar问题。所谓Hugh Edgar问题是指:求方程 p~m-q~n=2~n,p,q是素数,h是正整数(1)的解。前文给出了,在(p,q)≡(5,3),(3,5),(±3,7),(7,±3)(mod 8)时,方程(1)除5~2-3~2=2~4和3~4-7~2=2~5外,无其他h≥4的解。在这篇文章中,我们完全解决了Diophantus方程     

Sylow2-子群为交换的有限单群的刻划

对Sylow 2-子群为交换的有限单群,J.H.Walter证明了如下有名的定理。引理1 若F是Sylow 2-子群为交换的有限非abel单群,则下述结论之一成立: (1) F≌PSL(2,q),q>3,q≡3,5(mod 8)或q=2~n,n≥2; (2) F≌J; (3) F≌R(q),q=3~(2m+1),m≥1。设G是有限群,x_e(G)为G中所有元的     

位数码之和的幂的平均阶

用s(n)表示正整数n的十进制表示中位数码之和,例如,若n=b_r10~r+b_(r-1)10~(r-1)+…+b_110+b_0,则s(n)=b_r+b_(r-1)+…+b_1+b_0. 1/x sum from n≤x (s(n))~k=(9/2)~klog~kx+O(log)~(k-1/3x)。 Cooper与Kennedy证明了对于任何固定的k∈N,有他们还明了     

关于具迷向第二基本形式的极小和Kaehler子流形

所谓一个等距浸入子流形具有迷向第二基本形式,意即它关于任一单位法向量的第二基本形式模长都相同。显然,超曲面是平凡的。设S~(n+p)(c)表示常曲率c的n+p维球面,CP~(n+p)(c)表示常全纯截曲率c的复n+p维的复射影空间。A.Ros等已指出,在S~(n+p)(c)(或CP~(n+p)(c))中,{u_1,u_2}阶     

关于方程|Aut(G)|=p~2q~2的解

1 结果我们关心如下问题:给定有限群G,确定有限群X,使得Aut(X)=G,而Aut(X)表示X的全自同构群.Iyer证明了上述方程的解至多有有限个.对于任意固定的正整数n,同样的结论对方程|Aut(X)|=n成立.n的某些特殊情形已被研究,Machale和Curran证明了,对任一奇素数 P,|Aut(X)|=P~m(1≤m≤5)无解; Flym给出|Aut(X)|=2~5的全部解; n=p~2q(p和q是不同的素数)在文献[5]和[6]中被研究,本文利用文献[7]的结果,完整地解决了n=p~2q~2的情形.我们用r_1,r_2和r_3分别表示形如4q~2+1,2q~2+1和2q+1的素数,而q为奇素数.本文的     

一个生成正交阵列OA(98,15,7,2)的差集D(14,14,7,2)

一个有p个元素的N×k矩阵A叫做一个大小为N、约束数为k、水平数为P和强度为2的正交阵列,记作OA(N,k,p,2),如果A的任意两列包含所有可能的p~2个有序对恰好λ次的话。数λ叫做此阵列的指数,显然有N=λp~2。强度2的正交阵列在实验设计法中简称为正交表,并记作L_N(p~k)。设M为一个户阶加群,D为一个元素取     

关于椭圆曲线y~2=x~3-k上的有理点

椭圆曲线上的很多结果都是对以Z[i]为复乘的曲线得到的,其可以认为是最简单的情形.次简单的情形可能是以Z[ρ]为复乘的椭圆曲线,其中ρ=(-1+(-3)~(1/2))/2.本文给出了这类曲线上的一些结果. 设整数D无立方因子,Γ_D表示椭圆曲线:X~3+Y~3=DZ~3(如果我们令x=12DZ,y=36D(Y-X),z=x+y,则此方程变为y~2z=x~3-2~4·3~3·D~2·z~3).以L_D(s)表示Γ_α的Hecke L-级数,我们将首先证明