信息几何研究进展

随着人工智能的不断深入,基于欧氏框架的数学理论无法有效地解决信息领域中的一些非线性和随机性问题,而信息几何是解决非线性和随机性问题的有效工具。基于黎曼几何的信息几何由于其在统计推断、信号处理、图像处理、神经网络、机器学习等领域的广泛应用,受到了人们的关注,成为热门的研究领域。经过几十年的发展,信息几何已经从最初鲜为人知的领域发展成为研究非线性、随机性复杂信息的重要工具。将对信息几何研究进展做一个综述。首先介绍信息几何的理论框架,包括对偶联络、流形上的测地距离、以及黎曼梯度等,然后简要介绍信息几何在统计推断、神经网络、控制系统领域、信号处理、机器学习等领域的应用,最后介绍信息几何的展望,期望对信息几何感兴趣的学者有所帮助。通过该综述,读者可以了解到信息几何的基本理论框架,了解到信息几何的重要应用场景,为解决信息领域中的瓶颈问题提供一定的启发。     

基于凸规划观点的神经网络学习

人工神经网络最重要的特征就是网络的学习能力,通过对神经网络内部权值的调整,学习外部环境结构的特征和信息的表示.从信息几何的角度,对神经网络的学习过程进行了几何描述,并将神经网络的学习问题转化为,最小化外部环境表示的真实分布与网络模型表示的逼近分布之间的"距离",并证明了对于可编码成指数簇流形的神经网络是凸规划问题.为神经网络学习的研究提出了一个新的思路,也为在高维非线性空间中解决网络学习问题的有效性,从信息几何的角度给出了一种解释.     

基于SIRP杂波的雷达目标距离检测方法

针对在非高斯相关杂波背景下,传统检测方法难以检测到目标这一问题,基于信息几何理论,通过计算球不变随机过程(SIRP)杂波统计流形上两分布间的距离,定义了一种距离检测器.该检测器通过计算估计分布与目标有无两种假设分布间的距离差,来实现目标检测,从而将检测问题转化为统计流形上的几何问题.仿真结果表明:与传统方法相比,该方法在复杂杂波背景下具有较好的检测性能,且易于实现.     

统计流形上的等仿射结构

作者首先研究了等仿射几何与贝叶斯统计学之间的关系,这里贝叶斯统计学的先验分布被看作统计流形上的体积形式,然后利用统计流形上α平行先验估计和体积形式的关系,结合子流形上的基本方程和基本公式给出了一个统计子流形上具有等仿射结构的条件.     

Fisher Z分布流形的几何结构

Fisher Z分布作为一个统计分布在实际中有广泛的应用。首先从信息几何的角度对该分布进行了分析,在分布的参数取其允许值时研究其全体所组成的流形几何结构;讨论了Fisher Z分布流形的对偶结构及其平坦性,进而给出了该流形的黎曼度量、α仿射联络和α曲率,并在该统计流形上定义了散度来衡量两点之间的距离;最后给出了Fisher Z分布流形在高一维欧氏空间中的一个图浸入。     

指数统计流形性质和应用

利用信息几何的观点,考虑了指数族流形的α几何结构,并利用这些几何性质研究了热力学统计流形,在更少的限制条件下,得到的定理与一些文献的结论是相同的.最后,给出两个例子加以说明.     

非线性流形学习方法的分析与应用

非线性流形学习以保持数据局部结构的方式将高维输入投影到低维空间,发现隐藏在数据中的内在几何结构与规律性,是近年来机器学习与认知科学中一个新的研究热点.文中分析了几种主要的流形学习方法,通过比较给出各方法的优缺点;提出了基于谱分析的非线性降维的统一框架,对于流形学习方法的研究具有重要意义;给出了手写数字和人脸图像序列等降维的实验结果,显示了非线性流形学习在数据约简和可视化方面的有效应用;最后结合作者的研究探索,总结了非线性流形学习需要解决的问题并展望其研究趋势.     

复Finsler流形上的Laplace算子及其应用

Laplace算子在微分几何的调和积分理论和Bochner技巧中起着重要的作用.研究Finsler流形上的调和积分理论和Bochner技巧的关键是定义一个适当的Laplace算子.目前,复Finsler流形上Laplace算子还没有统一的定义.本文简单综述了厦门大学多复变与复几何研究组在复Finsler流形上Laplace算子及其应用方面的研究成果.     

Banach空间中的超弱紧集合

超自反空间是非常重要的一类Banach空间,它的重要性不仅在理论上,还体现在应用上,例如空间结构理论、再赋范理论、不动点理论、鞅论、调和分析、无穷维非线性几何等领域的应用.随着20世纪末粗几何、非交换几何、非交换空间和非交换群论等新的数学领域兴起,它们对超自反空间及其局部化理论提出了新的课题.超弱紧集是超自反空间的一个局部化概念,本文将对Banach空间中超弱紧集理论研究进行简要的回顾,并列出该领域中亟待解决的问题.     

广义Beta Ⅱ分布子流形的几何结构

研究分布流形的几何结构是信息几何的一项重要课题。本文给出了基于信息几何的角度广义Beta Ⅱ分布子流形的几何结构;计算出此流形的Fisher信息阵和黎曼联络,进而求出高斯曲率;并在该流形上定义Kullback-Leibler散度及J-散度,并说明散度之间的关系以及各种特殊情况下的散度;最后给出流形上的测地线方程。     

代 数 流 形 上 的 插 值 问 题

运用构造性代数几何方法, 研究插值节点取在一个代数流形上时的多元多项式插值问题, 提出构造极小次数插值基的相关理论和算法, 并给出了极小次数插值多项式的次数估计.     

基子回归神经网络的误差配准算法

神经网络系统理论已受到广泛关注,它的理论和方法已被应用到许多研究领域.本文介绍了神经网络雷达配准原理,并推导了基于回归神经网络的误差配准算法.     

统计流形上的主丛结构

在统计流形上引入主丛的概念.首先介绍流形上主丛的一些基础知识,然后研究统计流形上标架丛的α结构.最后利用给出的方法对二元正态分布流形进行具体的计算.      

CR几何中伪调和映射的若干问题

<正>我校数学与统计学院韩英波博士2019年获批国家自然科学基金面上项目:CR几何中伪调和映射的若干问题,项目编号:11971415.该项目与复几何、偏微分方程等数学分支密切相关,是CR几何的重要课题之一.研究工作分三部分,一是拟研究从CR-流形到黎曼流形(或CR-流形)的伪调     

WEB数据挖掘研究与探讨

随着WWW迅猛发展,WWW上的信息量不断增加,如何在这些信息中找到用户真正需要的内容,成了数据组织和web相关领域的专家学者关注的焦点.为了解决这个问题,把数据挖掘的理论和技术应用于WWW,出现了一个新的研究领域-Web数据挖掘.主要介绍了Web数据挖掘的原理、应用、实现以及它的最近发展情况.     

混合系统可靠性问题中的广义推断

广义推断是基于广义检验变量和广义枢轴量的统计推断方法,由广义置信区间估计和广义P检验构成。它的提出可以较好地解决中小样本下的统计推断问题,而这正是经典统计学在很多时候无法给出相应较好的解决方案的问题。系统可靠性的统计推断是现代社会发展中不可忽视的重要问题,本文基于广义推断方法对复杂混合系统的可靠性问题进行了研究,模拟研究表明,广义推断方法在解决中小样本下的混合系统可靠性问题中具有良好的表现。     

具有部分缺失数据两个几何分布总体的估计

讨论了具有部分缺失数据两个几何分布总体的参数估计,证明了估计的强相合性和渐近正态性,为几何分布总体的统计推断问题提供了一种解决的方法.     

未知总体方差和数学期望条件下的假设检验

在未知总体方差和数学期望的条件下 ,如何检验假设H0:μ=μ0,一直是统计学研究中未能解决的问题。对此 ,作者提出了一种有效的解决方法 ,它的重大理论和实践意义在于 :(1)不需要已知某种标准信息 (如μ) ,就能对样本平均数是否与总体平均数相一致进行检验 ;(2)能够为抽样推断提供先行信息 ,并据此作出是否抽样推断的判断 ,消除了抽样推断时所隐含的“样本信息结构必须与总体信息结构相近或相同”的前提条件 ,为抽样推断提供了可靠的理论基础。因此从一定意义上说 ,本文的方法实是假设检验理论的一种最新发展。     

变连接权细胞神经网络模型的稳定性分析

旨在研究一个带时滞的变连接权细胞神经网络模型的稳定性.运用Lyapunov函数方法、代数不等式和有关微分方程稳定性理论,给出了该模型稳定性的判据,并举例说明该判据的可行性.变连接权细胞神经网络模型的稳定性研究目前还是一个较新的研究领域,故所得到的稳定性判据在理论和应用上都具有一定的指导意义.     

粗集理论及其在智能控制中的应用综述

对粗糙集理论的应用发展及其基本概念做了详细的描述,介绍了粗糙集理论在智能控制中的应用及发展趋势.重点阐述了它与模糊集、神经网络、遗传算法等软计算方法的融合,指出这些融合将为解决智能控制中的难题提供新的思路和方法.