山西襄汾陶寺城址中期王级大墓IIM22出土漆杆"圭尺"功能试探

2002年,素有"尧都平阳"之称的山西襄汾陶寺城址中期王墓IIM22的头端墓室东南角,出土了一件漆木杆IIM22:43,残长171.8厘米,上部残损长度为8.2厘米,复原长度为180厘米.漆杆被漆成黑绿相间的色段加以粉红色带分隔,显然具有特殊功能.尤其引人注意的是漆杆第10-12号绿色带被11号红色带有意隔断,根据以往的研究,陶寺一尺等于25厘米,则第1-11号色段总长39.9厘米,等于陶寺1.596尺,非常接近<周髀算经>所说的"夏至日影长一尺六"的记载.第1号色带至33号色带总长度为141.6厘米即5.664尺,为春秋分日影长.假如以一满杆顶点为起点向前移杆后,第1号至38号色带长度为157.4厘米,加第一杆总长180厘米,共长337.4厘米,13.496尺,非常接近<周髀算经>冬至晷长337.5厘米即13.5尺.由此推测IIM22:43漆杆为圭表日影测量仪器系统中圭尺,时代为陶寺文化中期(公元前2100-前2000年).     

《周髀算经》盖天宇宙结构

长期以来，《周髀算经》盖天宇宙模型中的天地形状一直被认为是双重球冠形，并将这一点视为《周髀算经》“自相矛盾”之处。本文通过对《周髀算经》全书的系统分析，从演绎体系、数理结构、语词辨析等多方面论证了“双重球冠说”之误。再进而给出了《周髀算经》盖天宇宙模型的正确结构和形状－新给出的结构和形状在全书中非常自洽。     

《周髀算经》与古代域外天学

在认识到《周髀算经》是中国古代唯一的希腊式公理化体系，以及《周髀算经》中盖天宙宙几何模型的正确形状之后，即可发现《周髀算经》中有明显的域外天文学成分；它的宇宙模型与古代印度的宇宙模型极为相似；它的寒暑五知识在中国传统天文学体系中难以产生并且无人相信；它的天球坐标系统没有赤道特征。《周髀算经》背后极可能隐藏着一个古代中西方文化交流的大谜。     

《筭数书》与《算经十书》比较研究

从体例、术文的抽象性与演算细草、数学表达方式、数学内容四个方面对<筭数书>与<算经十书>中可与之对比的<九章算术>、<孙子算经>、<张丘建算经>、<五曹算经>等算经进行了比较研究.<九章算术>等著作有术文统率例题、应用问题集、将预备知识列于卷首三种体例.<筭数书>具有这三种形式.<九章算术>既有基本运算法则和适应于一类数学问题的相当抽象的术文,也有应用于一种数学问题的比较抽象的术文,还有针对某一问题的演算细草.<张丘建算经>则基本上是应用于一种数学问题的抽象术文.<孙子算经>和<五曹算经>则完全是针对某一数学问题的演算细草.<筭数书>的术文的抽象程度也具有这三个层次.<筭数书>的数学表达方式多种多样,不统一,不如<九章算术>等著作规范.就数学内容而言,<筭数书>有许多首创的贡献,它与<九章算术>相比,有一些方法相同,也有少数题目相同,但相当多的方法、大部分题目不同,也不如<九章算术>的内容那么全面、规范;它也稍逊于<张丘建算经>,而与<孙子算经>不分轩轾,却远远超过<五曹算经>.<筭数书>比<孙子算经>等三部著作要早出七八百年以上,就创新程度与内容宽泛、深刻而言与<算经十书>现存诸算经相比,<筭数书>的重要性仅次于<九章算术>.     

"日影千里差一寸"观念起源新解

日影千里差一寸的观念在中国天文学史上产生过深远影响.结合考古学和考古天文学的新发现和新的研究结论,并重新分析解读相关历史文献的记载,得出日影千里差一寸的观念当产生于国家建立之际黄河中游两个重要的考古学文化--尧都陶寺和禹都王城岗--的日影观测实践.这两个地点观测到的夏至日影分别为1.6尺和1.5尺,也就是<周髀算经>和<周礼>所记载的两个夏至日影长度;通过对早期长度和距离的分析证明两地之间的直线距离接近当时的1000里.这一时期正是中国文明史上日影测量和大范围地理测量相继开始的特殊时期,由此产生了日影千里差一寸的理论观念.     

《周髀算经》的盖天说：别无选择的宇宙结构

《周髀算经》中的宇宙直径81万里是其盖天说模型的唯一假定数据，在这一前提下，根据盖天说的宇宙框架，可以推导出这个模型中的所有数据，如璇玑半径、七衡周长及日照距离等等。《周髀算经》盖天说宇宙模型中的数理结构，是理论推导的结果，也是盖天说的唯一选择。     

夏鸾翔对二次曲线求积问题的研究——兼论中算家对微积分的早期认识和理解

夏鸾翔是晚清较早研究微积分的中算家,据其<致曲术>、<万象一原>,可知他在二次曲线求积问题上得到了比较全面的成果,有的已超过<代微积拾级>,某些成果近似近代的椭圆积分.其成果是他在自身的知识基础("递加数")上吸收<代微积拾级>中的积分术取得的,中算家在微积分传入初期将"微分术"几乎等同于级数展开的求法.     

中古算书中的田地面积算法与土地制度——以《五曹算经》"田曹"卷为中心的考察

关注了前人少有深入探究的一些中古实用算书的特点和相关社会制度背景.通过对有关社会经济史料和算书中的田地面积算题进行纵向和横向的比较与细密的分析,指出<五曹算经>中"田曹"的面积计算法具有求多而不求精的特点,与北朝田制特别是均田制下出现频繁测量、分划田地的急切需要有着密切的关系,<敦煌算书>、<夏侯阳算经>等书中田地面积计算法的特点,不仅与均田制的盛衰,而且与整个社会的文化和数学的发展有关,其中后者还带有编者讲求学理和精简的意图.社会因素不仅可以影响到数学讨论的对象,还可以影响到数学知识的本身.     

《周髀算经》──中国古代唯一的公理化尝试

《周髀算经》构建了古代中国唯一的一个几何宇宙模型。这个盖天宇宙的几何模型有明确的结构，有具体的、绝大部分能够自洽的数理。《周髀算经》的作者使用了公理化方法，他引入了一些公理，并能在此基础上从他的几何模型出发进行有效的演绎推理，去描述各种天象。尽管这些描述与实际天象吻合得并不十分好，但确实是应用公理化方法的一次认真尝试。而且这样的尝试此后在中国就完全绝响了。对于古代中国科学史上这样一个突出的特例，有必要专门探讨一番。     

《九章算法比类大全》渊源初探

明代吴敬的<九章算法比类大全>(以下简称<大全>),除了与<九章算术>有着非常密切的关系外,也与其他算书有着重要的渊源关系.将该书与现存的1450年之前刊刻的<九章算术>外的算书进行详细比较,并分析该书与它们的渊源关系后,可以认为:<大全>受到宋元算书,特别是杨辉算书的影响较大,继承了杨辉重视介绍启蒙知识和开方术的思想,以及杨辉编写算书的"纂类"方式;吴敬至少应该听说过天元术,不过,即使他看到有关天元术的著作,也已无法理解天元术;<大全>乘除开方起例的内容与现存元末明初算书的很多内容相同,反映了这些知识从元末至明初这段时间的传播和发展.结合<大全>与<九章算术>的渊源以及<大全>对其后算书的影响的分析,还认为:明初的80年问,包含汉唐宋元一些高水平数学成就的算书在民间仍能看到,但吴敬既没有能够掌握这些知识,也没有在书中记载下他看到的算书中的高水平的数学知识.     

等差级数与插值法

《周髀算经》中求“衡径”和“晷长”的方法可以视为一次插值法的应用，《大衍历》中“先定日数，径求积度及分”的方法实与刘徽提出的等差级数求和公式一致。一般来说，一个（ｋ—１）阶等差级数的求和公式等价于一个ｋ阶等间距插值公式。在中国古代数学中，等差级数和插值法是两个相互关联的题材，宋元数学家在充分认识高阶等差级数的基础上方有可能得到一般的等间距插值公式。     

试论李光地的中国传统天文学

李光地是清初有影响的政治家和思想家。他十分重视我国传统天文学与近代西方天文学的研究，深入发掘中国传统天文学的思想精华，在整理研究中传统天文学方面做出了贡献。该文就李光地在古老“天圆地方”说辨析上、传统地圆思想考释、重建《周髀算经》天文学体系以及提出新一代浑合通论诸方面进行了初步探讨。     

《缀术》中的“刍甍,方亭之问”初探

在分析《缉古算经》的写作目的及其具体内容的基础上,对《缀术》中的“刍甍,方亭之问”和“方邑进行之术”作了探讨,认为：前者是已知刍甍,方亭的体积及其边,高的差,求边和高的问题,因此《缀术》中有三次方程的内容,后者是解勾股形问题,类似于《缉古算经》最后６问,由此又对祖冲之的“开差幂”和“开差立”算法提出质疑,认为它们与“方邑进行之术”和“刍甍,方亭之问”无关。     

《缉古算经》造仰观台题新解

唐代王孝通《缉古算经》中“假令太史造仰观台”一题是书中的一个典型题目。自清代以来，对它的研究颇多，但该题仍是彻底搞清《缉古算经》的最后一道屏障。以往各家对于仰观台及其反道的形状、台与道的接合方式等问题见解不同，且都难以全合常理。本文提出了一种新的解释，认为仰观台和羡道构成的整体，从几何学上讲，就是由刍童切去一个契形后的剩余部分。羡道的广袤方向与仰观台的广裹方向相同，道与台不是垂直相接，而是紧贴在一起的。这样，以往各种难以说明的问题都得到了合理的解释，且与题文、术文及注文一一吻合。     

《授时历》的研究

在对《元史．历志》中“授时历经”的“步气朔”、“步日躔”、“步月离”、“步交会”部分的术文进行进一步解读的基础上，该文对《授时历“进行了下面几个方面的研究：（１）没日、灭日时刻计算公式的构造方法；（２）每日太阳位置计算过程中日差意义；（３）迟疾差公式构造过程中的缺陷；（４）月亮每日去极度的求法；（５）日食的食限问题和食分的计算步骤；（６）日食实例计算。     

现存最早的一部尚有地图的图经—《严州图经》

图经也称方志，不过它是方志发展到一定阶段才出现的。秦汉时候，记述地区情况的史志，增加了地图，遂有图志或图经之称。关于图经的解释，大都认为经就是地图的文字说明，此说值得商榷。最早的一部图经是汉代的《巴郡图经》，惜已亡佚。今存唐代，（沙州图经》残卷、（西州图经》残卷和《元和邵县图志》，因图均不存，无从探讨经文与地图的关系。南宋的《严州图经》是现存最早的一部尚有地图的图经。虽然仅存一、二、三卷，幸而所附地图都在卷首，这是探讨经文与地图关系的珍贵史料。根据这三卷经文的记述与所附地图进行比较研究，可以认为经文不是地图的文字说明，而是记述地图所绘的地区之情况。     

评宋景昌对《详解九章算法》的校勘

石研斋抄本《详解九章算法》（半部）十分粗漏，清宋景昌依据戴震所校孔刻《九章算术》与李潢所撰《九章算术细草图说》将其校勘，使之可以年读，一定程度上补戴震屏此书于《四库全书》以外之憾，意义重大。然采景昌既使用了戴、李大量正确的校勘，也采用了他们不少错校。宋氏本人提出的少量校勘，既有正确的，也有错误的。尤其是他对贾宪细草、杨辉详解这两部分内容，有大量漏校、错校。因此，重新校勘此书，是十分必要的。     

中国古代天地结构理论的重大缺欠

中国古代关于天地结构的理论，在一定程度上反映了天地结构的客观状况，但在以下四个方面存在重大缺欠：（１）地半径与天半径（指太阳与地的距离）之比过大；（２）地依赖水的承托而不坠落；（３）地平的观念：（４）单层天壳论和不健全的多重天说。该文论述了在解释日食、月食、月受日光而发光等天文现象时，这些重大缺欠所造成的难以克服的理论困难，以及中国古代天文学家如何修订这些重大缺欠，不断缩小地半径与天半径之比，改地在水中为地在气中，从地平到地圆的转换与疑虑，多重天说的探索等等艰难的过程，以期表明科学的理论思维的重要性。