Hilbert直和空间中的Riesz基与标准正交基

框架和基的研究是小波分析理论研究的重要内容之一。在预框架算子满足一定条件下，借助算子理论方法证明了两个Riesz基的直和是它们直和空间上的Riesz基，以及这两个Riesz基的直和构成了它们直和空间上的标准正交基的充分必要条件。并在一般框架扰动条件下，研究了一个Riesz基和一个Bessel序列的扰动性质。     

Hilbert空间中Riesz框架和框架的扰动性

利用泛函分析中的算子理论讨论了Hilbert空间中Riesz框架和框架扰动的稳定性结果.并且改进了已有的相关结果将线性算子的条件是可逆的减弱为是满的,证明了对于Riesz基也有类似的扰动性结果.     

闭值域算子和框架的扰动

研究了B(H)上的闭值域算子的扰动问题,并把结果推广到框架理论.证明了当{fi}∞i＝1分别是H上的Bessel序列、框架或Riesz基,{gi}∞i＝1是一个序列,且{fi}∞i＝1和{gi}∞i＝1满足一定条件时,{gi}∞i＝1也分别是H上的Bessel序列、框架或Riesz基.     

Banach空间中的Xd Bessel列

研究了Banach空间X中的Xd Bessel列、Xd框架、Xd独立框架、Xd紧框架与Xd Riesz基.证明了当Xd为BK-空间时,(BXXd,‖·‖)是数域F上的Banach空间;当Xd是BK-空间且X自反时,通过定义算子Tf,建立了空间BXXd与算子空间B(X*,Xd)之间的等距同构,为利用算子论的方法研究Xd Bessel列提供了必要的理论依据.最后,给出了Banach空间X中Xd Bessel列的等价刻画并证明了独立的Xd框架与Xd Riesz基是一致的.     

框架和Riesz基的稳定性

从两方面讨论了Hilbert空间中框架和Riesz基的稳定性：在满足一定条件Bessel序列的扰动下，框架和Riesz基在Hilbert空间中的稳定性；把框架和Riesz基与小波结合起来，在母小波、采样序列的扰动下，小波框架和小波Riesz基在L^2（R）空间中的稳定性．对有关文献的相关结论进行了推广，目的在于可以根据框架的稳定性，设计或者选择一个更优的框架来精确地逼近信号．     

Banach空间上q-Besselian框架的稳定性

人们对框架理论研究的日益广泛和深入,目前对框架的研究已经从Hilbert空间推广到Banach空间,并获得了许多重要结论。首先通过引入分析算子和合成算子的概念,以及q-Besselian框架的等价命题,把Hilbert空间上Besselian框架的稳定性推广到Banach空间,建立Banach空间上q-Besselian框架的合成算子与Fredholm算子之间的联系,得到了q-Besselian框架的充要条件是Fredholm算子的结论。并在此基础上,得出了满足q-Besselian框架的其他结论。文中所得的结论可为研究q-Besselian框架的性质提供了新的视角和方法。     

Banach空间中的Bd Bessel列

研究了Banach空间X中的Xd Bessel列、Xd框架、Xd独立框架、Xd紧框架与Xd Riesz基。证明了当Xd为BK-空间时,（BXXd,‖·‖）是数域F上的Banach空间;当Xd是BK-空间且X自反时,通过定义算子Tf,建立了空间BXXd与算子空间B（X＊,Xd）之间的等距同构,为利用算子论的方法研究Xd Bessel列提供了必要的理论依据。最后,给出了Banach空间X中Xd Bessel列的等价刻画并证明了独立的Xd框架与Xd Riesz基是一致的。     

小波型框架和小波型Riesz基的一些扰动性质

在已有框架扰动定理的基础上，借助预框架算子，研究了Hilbert空间中具有特殊结构形式的小波型框架和小波型Riesz基的一些扰动性质，分别给出了2系数扰动和3系数扰动的新结果。研究结果推广了Hilbert空间中关于框架扰动性质研究的已有结论。     

正规正交基的算子扰动与Parseval框架等式

主要讨论了Hilbert空间的正规正交基在几类不同线性算子下的象(即扰动),并利用已知结论,联系正规正交基的特殊性质,从算子论的角度,证明了Parseval框架等式.     

Dirichlet空间上的Toeplitz算子组的Fredholm谱表示及凸性

首先讨论了Dirichlet空间上Toeplitz算子组Fredholm谱的表示,证明了:当φi∈H∞1(D) C1()(i=1,2,...,n)时,(Tφ1,Tφ2,…,Tφn)的右Fredholm谱SP, re(Tφ1,Tφ2,…,Tφn)与Fredholm谱SP, e(Tφ1,Tφ2,…,Tφn)相同;当φi∈C1()(i=1,2,...,n)时,(Tφ1,Tφ2,…,Tφn)的左Fredholm谱 SP, le(Tφ1,Tφ2,…,Tφn)与Fredholm谱SP, e(Tφ1,Tφ2,…,Tφn)相同.然后讨论了Dirichlet空间上Toeplitz算子与算子组的凸性问题.证明了乘法算子Mz是非凸型的,这与Hardy, Bergman空间上所有乘法算子都是凸型算子不同.也证明了:T=(Tz,Tz2)不是联合凸型算子;若φi∈H∞1(D) (i=1,2,…, n),则W(Tφ1,Tφ2,…,Tφn)是凸集.本文还给出了一个一般性的结论:假定H为Hilbert空间,T∈B(H)为一个有界线性算子,当n=2m时有σ(Tm,Tn)={(λm,λn)λ∈σ(T)}.     

Hilbert空间中连续广义框架的分解

利用连续广义预框架算子,刻画了连续广义框架、Parseval连续广义框架、连续广义Riesz基及连续广义标准正交基;通过已建立的刻画结果及有界算子的分解,得到了连续广义框架可以表示特殊的或者更简单的连续广义框架的线性组合,比如连续广义标准正交基、连续广义Riesz-基、Parseval连续广义框架。     

算子乘积的本质谱

设A为Hilbert空间H上的有界线性算子, 若任给B∈B(H),有 σ_e(AB)=σ_e(BA),则称 A为一个一致Fredholm算子(简写为CF算子)或者称算子A具有CF性质, 其中σ_e(·)表示本质谱。 给出了算子具有CF性质的充要条件, 并且考虑了算子的紧摄动的CF性质;研究了算子矩阵的CF性质。     

Hilbert空间中的Riesz小波

Hilbert空间K中的一对酉算子（D，T）称为小波算子对，如果它们满足条件TD=TD^2．利用小波算子对的概念，在一般Hilbert空间中，引入了Biesz向量和Riesz小波的概念，研究了它们的一些重要性质，给出了一个Riesz向量成为Biesz小波的充要条件。     

CFI算子与(ω)性质

根据一致Fredholm指标性质定义一种新的谱集, 利用该谱集与Browder谱之间的关系给出Hilbert空间中有界线性算子满足(ω)性质的充要条件, 并刻画多项式函数的(ω)性质.     

CFI 算子与( ω )性质

根据一致Fredholm指标性质定义一种新的谱集, 利用该谱集与Browder谱之间的关系给出Hilbert空间中有界线性算子满足(ω)性质的充要条件, 并刻画多项式函数的(ω)性质.     

广义Kato型及广义(ω’)性质

给出了广义Kato型的定义,并根据广义Kato型的性质定义了一种新的谱集,然后借助于一致Fredholm指标性质所定义出的谱集给出了Hilbert空间上有界线性算子满足广义(ω’)性质的充要条件,同时讨论了广义(ω’)性质的摄动。另外,利用所得的主要结论,研究了H(p)算子的广义(ω’)性质及其摄动。     

框架的冗余性及其对小波重构的影响

目的给出框架冗余性的一个刻画。方法定义了冗余框架。如果一个框架的指标集存在一个真子集使得也是一个框架,那么就说这个框架是冗余的,否则它就是非冗余的。结果经过研究得出了框架冗余的充分必要条件。特别地,一个框架是非冗余的当且仅当它是一个Riesz基。结论这些结果表明用冗余框架进行小波重构要比用正规正交基进行小波重构的误差小。