论证两个恒等式

一、论证中用的基本公式 1、差分公式:△~(k+1)P(X)=△~kP(X+1)-△~kP(X)P(X)为关于变量X的多项式。 2、牛顿二项式定理:(X+1)~n=C_n~0X~n+C_n~1X~(n-1)+…+C_n~kX~(n-k)+…+C_n~n 3、Pascal公式:C_(n+1)~k=C_n~k+C_n~(k-1) 本文中R表示实数集,N~+表示正整数集。     

构造随机试验解代数问题

巧妙地构造随机变量解代数问题,不但使一些复杂的公式命题具体化,而且使枯燥的数学公式命题趣味横生.本文将通过数例分析概率论在解决代数问题中的一些应用.1 在排列组合方面的应用例1 求证 C_(n-1)~(n-1) C_n~(n-1) C_(n 1)~(n-1) … C_(n-1 m)~(n-1)=C_(m n)~n(=C_(m n)~m).证明原式可变形为C_(n-1)~0 C_n~1 C_(n 1)~2 … C_(n-1 m)~m=C_(n m)~m,即 sum form r=0 to m C_(n-1 r)~r/C_(n m)~m=1.构造概率模型如下:在 n 1个可分辨的盒中放     

探究概率在证明组合恒等式中的应用

本文研究用概率方法,针对待证明的恒等式,构造适当概率模型,再运用概率论的有关性质、公式、结论和数学特征等,计算出所构设模型中相关事件的概率,进而推导出欲证结论,使组合恒等式的证明更加简便极容易掌握。     

关于等差数列前n项等幂和问题

令 D_k(n)=(?)(a+(m-1)~k,本文证明了D_k(n)=kb((∫_0~n-n∫_0~1)D_(k-1)(x)dx)+a~kn并求出了当1≤k≤10时 D_k(n)的多项式表达式。     

圈的幂图的s-迹连通性

对于图G的任意两个顶点x和y,如果G有一条(x,y)-生成迹,则称图G是迹连通的。给定一个整数s≥0,对于任意点子集X?V(G)并且|X|≤s,如果G-X是迹连通的,则称图G是s-迹连通。设k是一个正整数,图G的k次幂图记为G~k。设t(G)是t一个最大值s使得图G是s-迹连通但不是(s+1)-迹连通,设C_n是一个包含n个点的圈,k是一个正整数并且k≥2,将证明:t(C_n~k)={2k-3,如果n=2k+2 2k-2,如果n≥2k+3 n-3,如果n≤2k+1     

随机k-SAT的相变上下界

在随机k-SAT模型的基础上,针对合取范式的满足性问题进行研究。对于固定的变量数n,随着子句数m增加,当m/n接近某一值时公式的可满足性发生剧烈的变化,可满足的概率从1变为0,也就是经常提到的相变问题。证明k-SAT相变的阈值上界为2kln2;当k(k53)比较小时阈值下界为2~(k-1)ln2;当k(k≥53)比较大的时候,对任何ε=ε(k)0(ε是关于k的函数)且εn→!(趋近无穷大),存在α0=2~k ln2,使得下界为αl=(1-ε)α0。通过实验对k为2,3,4时的阈值进行验证。     

几类组合恒等式的概率证法

本文通过建立概率模型,分别运用完备事件组、全概率公式及随机变量的数字特征等方法,举例证明了几类组合恒等式;既是概率论在证明组合恒等式方面的广泛应用,又充分展现了概率证法的独到之处。     

Kohnen W公式的推广与简证

对Kohnen W给出的同余公式sum from k=1 to p-1(1/k·2~k)≡sum from k=1 to (p-1)/2((-1)~(k-1)/k)(mod p)进行了推广,并给出了一个简单证明。     

关于恒等式e^x=∑n≥0LnJn（2x）的证明

关于恒等式e^x=∑n≥0LnJn（2x）已有组合证明，本文将用微积分的方法证明该恒等式，其中L0=1,L1=1,L2=3,Ln＋1=Ln＋Ln-1（n≥2）,Jn（2x）=∑k≥0（-1）^kx^n＋2k/k!（n＋k）!.     

4杆汉诺塔的最优移动次数

通常汉诺塔问题只带三根杆,当圆盘数为n时,最优移动次数为T3(n)=2n-1.对于带4杆的汉诺塔问题,最优移动次数满足关系T4(n)=2T4(m)+T3(n-m),其中m=arglmin{2T4(l)+T3(n-l)}依赖于n.对于正数整k,当k(k-1)/2+1≤n≤k(k+1)/2,n=k(k-1)/2+l时,T4(n)=(l+k-2)2k-1+1.特别,T4(sk)=2T4(sk-1)+T3(k),其中s0=0,sk=sk-1+k(k≥1).     

一个包含Smarandache函数的复合函数的均值

对于任意的正整数n,用S(n)表示Smarandache函数,即S(n)=min{m:n|m!,m∈N},而函数u(n)的定义为,最小的正整数k,使得n≤k(2k-1),即u(n)=min{k:n≤k(2k-1),k∈N}.主要利用初等方法和解析方法,研究复合函数S(u(n))的性质,获得了较强的均值性质及渐进公式.     

线性正算子逼近连续函数的渐进公式

1、设E是数轴上紧致集,f(t)为E上的实函数,C~k(E)表示E上k次连续可微函数类,C_*~k(E)表示E上k次连续可微,而且f~(k)(t)在t=x∈E具有左,右导数f~(k_1)(x±)的函数全体、显然地C~k(E) C_*~k(E) C~(k+1)(E)。类似地用C_(2π)~k和     

家庭问题中的catalan数

"设有n个k口之家,从中选出m(m≤2n)人,至少有k人是一家人的选法有多少?"称之为家庭问题。本文用筛法给出了家庭问题的解答,并得到了组合恒等式:1/n[(n 1)/2]Σi=1(-1)i-1_i~n_(n 1-2i)~(2n-2i)={1/(n 1)}_n~2n     

正整数的素因子个数的k次均值估计

令ω(n)表示正整数n的不同素因子的个数,考虑ω(n)的k次均值,运用Nathanson和Turán的方法,证明了对x≥2和正整数k,有∑n≤xω(n)k=x(lnlnx)k+O(x(lnlnx)k-1),以及对每个δ＞0和正整数k,使不等式ω(n)k-(lnlnn)k≥(lnlnx)k-1/2+δ成立的正整数n≤x的个数是O(x).这两个结果是对ω(n)经典均值估计的推广.     

非连通图(P3∨(Km))∪G及(C3∨(Km))∪G的优美性

将k-优美图的概念进行了推广,引入A～B优美图的概念,并以此为基础,得到了非连通图(P3∨(Km))∪G及(C3∨(Km))∪G是优美图的一个充分条件.证明了对任意正整数k,m,n,t,当k≤n≤t,n+k-1≤m时,图(P3∨(Km))∪(k∪j=1Kn,t)和(C3∨(Km))∪(k∪j=1Kn,t)是优美图;当k=1,2,2≤n＜2m+1时,图(P3∨(Km))∪k∪j=1P(j)n,(C3∨(Km))∪k∪j=1P(j)n和(P3∨(Km))∪Pn∪St(t)是优美图;当2≤n≤2m +1时,(C3∨(Km))∪Pn∪St(t)是优美图.本文的结果推广了现有的一些结论.     

关于Hamy平均的一个优化不等式

关于n个正数的k次Hamy平均σ_n(a,k)=1/C_n~k sum from 1≤i1…ik≤n(multiply from j=1 to k a_(ij))~(1/k),利用最值压缩定理,证明了与Hamy平均、算术平均和几何平均有关的一个双向不等式(A_n(a~(1/k)))~(kp)·(G_n(a~(1/k)))~(k(1-p))≤σ_n(a,k)≤qA_n(a)+(1-q)G_n(a),其中q=n-k/n-1和p=n-k/kn-k为最佳,从而得到一个较理想的优化不等式.     

关于Borel的一个定理

Borel的一个经典性定理是,如果两组整函数G_i(Z)(i=1,2,…,n)和H_i(Z)(i=1,2,…n)满足恒等式sum from j=1 to n G_i(Z)e~Hj~(Z)≡0 并且如果G_i(1≤i≤n)的增长性,在某种意义下,较慢于e~Hj~(-H)k(1≤j,k≤n,j≠k)的增长性,则G_i(Z)≡0 (i=1,2,…,n),在本文中得出了这个定理的几个推广。     

Baskakov算子对有界变差函数的点态逼近

设f(x)在[0,∞)的每一有限子区间上为有界变差函数,作用在f(x)上的Szasz—Mirakyan算子和Baskakov算子分别为:S,(f,x)=sum from k=0 to ∞ (f(k/n)e~(nx)((nx)~k)/kl),V_n(f,x)=sum from k=0 to ∞ (f(k/n)((n+k-1)/k))x~k/(1+x)~(n+k)) Fuhua Cheng借助Bojanic的方法得出了S_n(f,x)对f(x)的点态逼近度。本文在学习与参考[2]的基础上,更多地应用概率方法,来研究V_n(f,x)对f(x)的点态逼近度。在处理尾部时,我们得到了一个一般性的结果(文中的引理5),它不仅可以用来证明本文的定理1,而且也适用于其他算子,从而简化了[2]中的计算。     

多调和算子组的谱估计

设Ω是R~m(m≥2)中一个有界区域,考虑多调和算子组的特征值问题AΛ(△)u~T=λu~T,x∈Ωu~k=(?)u~k/(?)n=…=(?)~(k-1)u~k/(?)n~(k-1)=0,x∈(?)Ω,k=1,2,…,N其中,u=(u~1,u~2,…,u~N),n是(?)Ω的单位外法向量。将特征值按增加的顺序排列为0<λ_1≤λ_2≤…≤λ_n≤…则成立如下不等式λ_(n 1)≤λ_n 4/m~2n~2(sum from i=1 to n sum from h=1 to N λ_i~(1/k))(sum from i=1 to n sum from k=1 to N k(2k m-2)λ_i~(1-1/k)) sum from i=1 to n sum from k=1 to N λ_i~(1/k)/λ_(n 1)-λ_i≥m~2n~2/(sum from i=1 to n sum from k=1 to N 4k(2k m-2)λ_i~(1-1/k))     

Hilbert空间中的Bellman问题

给出了迹类算子的若干不等式,并证明了 Hilbert 空间中的 Bellman 不等式 Tr(A~kB~k)≥Tr(AB)~k 对 k=2~n 及任二正的迹类算子 A 与 B 成立.同时还证明了当 k=2~n 时,对任一迹类算子 A,不等式 Tr(A~kA~(nk))≤Tr(AA~˙)~k也成立.针对这两个不等式的一般情况,引入了 k-可换性与 k-正规性,证明了有关算子类的闭性及其逼近性质.