关于公共Borel方向的一个反例

对有穷正级的亚纯函数f(z),1928年valiron猜想它与其各级导数间至少存在一条公共的Borel方向。1951年Milloux取得重大进展,得到定理A设f(z)是有穷正级整函数,则f′(z)的每条Borel方向亦是f(z)的Borel方向。也即Valiron猜想对整函数是成立的。很自然地会问Milloux定理对亚纯函数是否成立。1980年Steinmetz在与Hayman通信中给出了一个例子f(z)=e~z/1 e~(iz),并指出argz=0是f′(z)的Borel方向,但不是f(z)的Borel方向。不过他没有给出证明。其后,杨乐和张庆德利用Dickson的结果给以证明。本文给出—个初等的直接证明。一、argz=0不是f(z)的Borel方向。     

亚纯函数与其导数的公共Borel方向存在性的证明

把有穷正级λ的亚纯函数f（z）以∞为Borel例外值看成分类条件,对f（z）不以∞为Borel例外值时,利用复分析方法得到了有穷正级数亚纯函数的Borel方向的判定定理,彻底解决了有穷正级数λ的亚纯函数与其导数必定存在公共的λ级Borel方向问题。     

关于下级为有穷正数的整函数的亏整函数总数

杨乐、张广厚证明了:对於有穷正级整函数f(z),若P为f(z)的亏值总数,q是f(z)的Borel方向总数,则P≤q/2。定义1 设f(z)为亚纯函数,a(z)为∞或亚纯函数,满足     

关于亚纯函数与其各级导数的公共波莱耳方向问题的一些结果

若 f(z)为有穷正级的亚纯函数,则 f(z)的每一条 Borel 方向或者是 f~(n)(z)(n=1,2,…)的Borel 方向,或者是(1/(f(z)))~(n)(n=1,2,…)的 Borel 方向;用此结果简化了张广厚一个结果的证明:有穷正级亚纯函数若以一个有穷值为 Borel 例外值,则函数的每条 Borel 方向也是有各级导数的 Borel 方向;同时还得到:若 f(z)为有穷正极的亚纯函数,且(?)(log+m(r,f))/(logr)=ρ-ε_0,ε_0>0则 f(z)的每一条 Borel 方向必是 f~(n)(z)的 Borel 方向(n=1,2…)。     

具有Borel例外值的亚纯函数的唯一性

改进了仪洪勋、林伟川等人关于整函数唯一性的定理,得到了关于具有Borel例外值并且级为有穷非整数的非常数亚纯函数的唯一性的结论.设f(z)、g(z)为非常数亚纯函数,g(z)的级λ(g)为有穷非整数,0和∞是f(z)与g(z)的CM分担值,f(z)为正规增长函数,且∞为f(z)的Borel例外值,若存在两个非零有穷判别的复数a1、a2,满足 - E1)(aj,f)(∩)-E1)(aj,g)(j=1,2)且max{(1)(0,f),δ(a1,f),δ(a2,f)｝＞0,或者满足-Ekj)(aj,f)(∩) -Ej)(aj,g)(j=1,2),其中k1≥1,k2≥2,则f(z)≡g(z).     

关于亚纯函数及其导数的Borel方向的一个注记

讨论了有穷正级亚纯函数与其导数的Borel方向.利用亚纯函数值分布的基本方法,从集合关系的角度,探讨了Valiron猜想.证明了,相应于每个有穷正级亚纯函数存在一个含无穷多元素的有穷正级函数族,对其中每个函数Valiron猜想成立.     

亚纯函数的充满圆和公共Borel方向

设argz=θ0为λ级亚纯函数f(z)的λ级Borel方向(O<λ< ∞)．若argz=θo不是f′(z)的λ级Borel方向．则存在f(z)的一列λ级充满圆{DK}，K=1，…，使得，m(DK),f=0)=r(Dk，f=1)     

分担多项式的亚纯函数(英文)

在本文中,亚纯函数是指在整个复平面上的亚纯函数.本文是利用复分析的值分布理论来研究亚纯函数的唯一性.设f(z)和g(z)是两个亚纯函数,当fn(z)f′(z),gn(z)g′(z)分担1或者z CM时,前人给出了下面的定理:定理A设f(z)和g(z)是两个非常数亚纯函数,n≥11是一个正整数,如果fn(z)f′(z),gn(z)g′(z)分担1CM,则f(z)=c1ecz,g(z)=c2e-cz,这里c1,c2和c是3个常数且满足(c1c2)n+1c2≡-1;或者f(z)≡tan(z)其中t是一个常数满足tn+1=1.定理B设f(z)和g(z)是两个非常数亚纯函数(整函数),n≥11(n≥6)是一个正整数,如果fn(z)f′(z),gn(z)g′(z)分担z CM,则f(z)=c1ecz2,g(z)=c2e-cz2,这里c1,c2和c是3个常数且满足4(c1c2)n+1c2≡-1;或者f(z)≡tan(z)其中t是一个常数满足tn+1=1.在本文中,我们推广了上述定理,证明了下面的结论:设p(z)为n1次多项式,f(z)和g(z)是两个超越亚纯函数,n≥max{11,2n1+2}是一个正整数,如果fn(z)f...     

关于亏函数的亏量和及F.Nevanlinna猜想

本文考虑整函数f(z)的亏亚纯函数的亏量和问题,得到如下结果: 定理1.设f(z)是有穷级λ的整函数,且λ非整数,a(z)是开平面上的亚纯函数,且T(r,a(z))=o{T(r,f)}.则??δ(a(z),f)≤1-k(λ),其中k(λ)的意义如下:     

有穷下级整函数的奇异方向

对于λ(0<λ<∞)级整函数f(z),杨乐、张广厚获得:若f(z)的Borel方向总数q有穷。则f(z)的有穷亏值总数P<2λ。本文类似[1]的证明方法得到:整函数f(z)的下级μ有穷,设q为f(z)至少μ级Borel方向总数,若q<+∞,则f(z)的有穷亏值数p<2μ。其中f(z)至少μ级Borel方向指由原点发出的半直线B:argz-θ_0(0≤θ_0<2π),对于任意正数ε和每个复数a都有 (?)(logn(r,θ.,ε,f=a)/logr≥μ (*)至多除去两个例外的复数。     

关于公共Borel方向的一些讨论

设f(z)为有限正级的亚纯函数,B:argz=θ是f(z)的一条Borel方向,本文给出B是f’(z)和f~(n)(z),n=1,2,…的Borel方向的充分条件。     

关于无限级半纯函数的Borel向

1938年李国平教授对于半纯函数的填充圆及Borel向的某些定理作了一种精密性的补充与改进;他首先改进了半纯函数的第二基础定理,然后用此定理为一种工具进而改进了方程f(z)=a在某环带内的根数的Milloux定理,从而得出结论:完全略去方程程f(z)=a之一切重根的重级或完全略去重级超过三的一切重根,关于半纯函数f(z)的填充圆及Borel向的一切定理仍是真确的。这一结果对于在此以前应用填充圆来处理半纯函数Borel向的存在的有关定理作了一精密而完备的补充。     

关于亚纯函数齐次微分式的Milloux不等式

在亚纯函数值分布论中,Milloux不等式是对Nevanlinna第二基本定理的重要推广。本文将此不等式进一步推广到亚纯函数f(z)的齐次微分多项式的情形,并考虑了f(z)的重值。     

关于亚纯函数齐次微分式的Milloux不等式

在亚纯函数值分布论中,Milloux不等式是对Nevanlinna第二基本定理的重要推广。本文将此不等式进一步推广到亚纯函数f(z)的齐次微分多项式的情形,并考虑了f(z)的重值。     

涉及高阶导数的例外函数亚纯函数正规性

利用亚纯函数值分布理论与正规理论的一些基本概念、研究方法以及研究成果,并以顾永兴的定理为基础,讨论函数族中任意函数的高阶零点不取固定函数的这类亚纯函数的正规问题,最后得到如下正规定则:设F是单位圆盘内的一族亚纯函数,k为一个正整数,且k≥2,A为一有穷正数,h(z)是全纯函数,其中h(z)≠0,如果对任意的f∈F,f的零点重级至少为k,且f的极点重级至少为3;并且满足当f(z)=0时,必有f(k)(z)≤A;f的k阶导数不取固定函数h(z),即f(k)(z)≠h(z),则F在区域内是正规的.     

亚纯函数的Borel方向

设f(z)与g(z)是复平面上的两个非常数亚纯函数,令h(z)=f(z)g(z).研究了当σ(h)=+∞时,h(z)的无穷级Borel方向与f(z)及g(z)的Borel方向之间的联系,作为推论并证明了当h(z)=f(z)+g(z)时,也有类似的结论.     

复振荡中的辐角分布

利用无限级型函数和无限级Borel方向的一个等价条件,研究了微分方程f″+A(z)f=0解的零点聚值线和Borel方向之间的关系,其中A(z)是超越亚纯函数且σ(A)<∞.     

Polya''''定理的推广

将Polya.G关于整函数的复合函数f（g）为有穷级的定理推广到整函数与亚纯函数的复合函数f（g）为有穷级,并得到f（g）为有穷级的一些充分条件.     

一个正规定则的推广

证明了如下结果:设F是区域D内的一族亚纯函数,k≠2是正整数,c,d为两个非零有穷复数.a(z)是一个在D内不取零值的全纯函数.若对每一个f∈F,f的零点重级k,若f(z)=0则f(k)(z)=a(z),f(k)(z)=a(z)则|f(k+1)(z)|h,(h为某一正数),f(z)=c则f′(z)=d,则F在D内正规.     

一类微分多项式的幅角分布

本文的主要结果是:设f(z)为ρ级亚纯函数,0<ρ<∞,arg z=θ_0是f(z)的一条ρ级Borel方向。若存在ε_0>0及复数c≠0,使在角域|arg z—θ_0|<ε_0内f(z)以c为Borel例外值,则对任何复数a≠0,整数n≥5及正数ε(≤ε_0),有