数学系复变函数论组半年来部分科研成果摘要

1.金路、戴崇基:《关于亏函数的F.Nevanlinna猜想》(Ⅰ)与(Ⅱ). 1930年F.Nevanlinna提出他著名的猜想:设f(z)是有穷正级λ的亚纯函数.若其所有亏值的亏量和是满足sum from a δ(a,f)=2,则(i)λ是1/2的整数倍,(ii)亏值个数v(f)≤2λ,(iii)每个亏值的亏量δ(a,f)是1/λ的正整数倍.     

关于整函数ρ_0阶射线的个数

本文先定义整函数沿射线 L_θ={Z;argz=θ}的阶,然后得到ρ(ρ<÷∞)阶整函数的阶为ρ_0(0≤ρ_0<ρ)的射线的个数为小于4ρ。     

函数沿射线的增长与公共Borel方向

关于亚纯函数与其导数之间的公共Borel方向的研究,是函数值分布论中多年来所研究的一个课题。庄圻泰先生和张广厚同志对此曾得到了一系列的结果,其中之一是张广厚得到了有穷正级亚纯函数,若以无穷值为它的Borel例外值,则函数与其各级导数和各重积分(假设存在)之间至少存在一条公共的Borel方向。本文指出在同样条件下,若函数f(z)的级ρ大于1/2,则函数与其各级导数和各重积分(假设存在)之间至少存在两条公共Borel方向。     

关于一类亏函数的亏量和取最大值的亚纯函数

设 f(z)是下级μ<∞的亚纯函数,α_i(z)是满足 T(r,a_i)=0{T(r,f)}的亚纯函数,若(?)δ(a_i(z)),f)=1;δ(∞,f)=1,则 a),的级γ=μ,且为正整数;b)f 的亏函数总数≤μ+1;c)每一个亏量为1/μ的整数倍;d)每一个亏函数都是 f 的渐近函数。     

(b,d)型A.P.间隙与模分布

本文主要证明了下述定理: 设f(z))=sum from n=0 to ∞ a_nz~(λn)为一超越整函数,那么: (1)当f(z)具有(b,d)型A.P.间隙时,对任一有穷复数a,都有δ_ε(a,f)≤1-1/d;当b>0时,还有:sum from α≠∞δ(a,f)≤1-1/d。 (2):当λ_(m 1)—λ_m(m=n,n 1,…)的最大公因子d_n→∞(n→∞)时,对在一慢增长的亚纯函数a(z),都有:■_s(a(z),f)≤1/2。     

关于公共Borel方向的一个反例

对有穷正级的亚纯函数f(z),1928年valiron猜想它与其各级导数间至少存在一条公共的Borel方向。1951年Milloux取得重大进展,得到定理A设f(z)是有穷正级整函数,则f′(z)的每条Borel方向亦是f(z)的Borel方向。也即Valiron猜想对整函数是成立的。很自然地会问Milloux定理对亚纯函数是否成立。1980年Steinmetz在与Hayman通信中给出了一个例子f(z)=e~z/1 e~(iz),并指出argz=0是f′(z)的Borel方向,但不是f(z)的Borel方向。不过他没有给出证明。其后,杨乐和张庆德利用Dickson的结果给以证明。本文给出—个初等的直接证明。一、argz=0不是f(z)的Borel方向。     

关于整函数ρ_0阶射线的个数

本文先定义整函数沿射线 L_θ={Z;argz=θ}的阶,然后得到ρ(ρ<÷∞)阶整函数的阶为ρ_0(0≤ρ_0<ρ)的射线的个数为小于4ρ。     

ρ级射线及其与Borel方向分布间的关系

设 f(z)是ρ(0<ρ<+∞)级整函数。对某一固定的θ,若(log~+log~+|f(re~(iθ))|)/(logr)=ρ,则称 L_∶argz=θ为 f(z)的一条ρ级射线。ρ级射线充满的角域称为 f(z)的ρ级射线角域。我们得到如下的结果:1.f(z)至少存在一个ρ级射线角域,而每个角域的开度不小于π/ρ,2.对每一θ,0≤θ<2π,有(log~+log~+|f(re~(iθ))|)/(logr)=(log~+log~+|f′(re~(iθ))|)/(logr)。3.f(z)的所有 Borel 方向必位于ρ级射线角域之内或边界上。设 p 为 f(z)的ρ级射线角域的个数,q 为它的 Borel 方向的个数。4.若 p <2ρ,则q≥p+1。5.若 p+1<2ρ,且 q=p+1,则 f(z)的每二相邻的 Borel 方向间的夹角,除一个外,都等于π/ρ。     

数学系复变函数论组半年来部分科研成果摘要

1.金路、戴崇基:《关于亏函数的F.Nevanlinna猜想》(Ⅰ)与(Ⅱ)。 1930年F.Nevanlinna提出他著名的猜想:设f(z)是有穷正级λ的亚纯函数。若其所有亏值的亏量和是满足(?)δ(α,f)=2,则(ⅰ)λ是1/2的整数倍,(ⅱ)亏值个数v(f)≤2λ,(ⅲ)每个亏值的亏量δ(α,f)是1/λ的正整数倍。 1946年Pfluger证明当f(z)是整函数时,上述猜想是正确的。1982年华东师大李庆     

导函数具有最大亏量和的亚纯函数

设 f(z)是一下级μ有穷的亚纯函数。如对一正整数k则这里是的非零有穷亏值数,f~((0))=f 当 j 为负整数时,f~((f))是 f 的|j|次原函数(若存在)。