S_1-Frankl 猜想的6元情形（I）

并封闭集猜测（又称Frankl猜测）说的是：对于任意由有限集合构成的一个有限集族,如果这个集族不仅仅包含空集的话,一定存在一个元素至少属于这个集族中一半的集合。在文献【3】中,作者提出了一个加强的Frankl猜测（简称S-Frankl猜测）,并给出了部分证明。特别地,在【3】中作者证明了如果集族的元素个数n=5的话S-Frankl猜测成立。在此,我们拟证明n=6时也成立。由于整个论文太长,我们将论文分成两部分,这是第一部分。     

关于本原奇异数的注记

设S={x1,x2,…,xn}是由n个不同正整数的集合.以S中的任意两个元xi,xj,i=1,2,…,n,j=1,2,…,n的最小公倍数为i行j列元素的矩阵称为S上的最小公倍数矩阵(LCM矩阵),记为[S].S称为最大公因子封闭集(GCD closed),如果对于S中任意两个元xi,xj,它们的最大公因子(xi,xj)∈S.1992年,Bourque和Ligh猜想(以下简称BL猜想)GCD封闭集S上的LCM矩阵是非奇异的.1999年,Hong证明了该猜想对n≤7成立,但n≥8时不真,即对任意n≥8,存在G     

关于最大公因子封闭集上的幂LCM矩阵的注记

设S={x1,…，xn}是由n个不同正整数组成的集合，e是一个实数. 如果对所有的1≤i，j≤n，有(xi，xj)∈S，则称S是最大公因子封闭的（GCD-closed）.第i行j列元素由xi和xj的最小公倍数的e次幂［xi，xj］e 构成的n×n 阶矩阵(［xi，xj］e）称为定义在S上的e次幂LCM矩阵. 作者证明了如果e≥1并且n≤7, 那么定义在最大公因子封闭集S上的幂LCM矩阵(［xi，xj］e)是非奇异的，从而证明了洪绍方教授2004年提出的一个猜想当n≤7，e≥1时是正确的.     

立方图中的路因子和圈因子

给定连通图集合Φ,对图G的生成子图F,如果F的每个分支都同构于集合Φ的一个元素,则F被称为G的Φ-因子.最近Kawarabayashi 等证明了:2-连通立方图有一个{Cn|n≥4}-因子和{pn|n≥6}-因子,其中Cn表示阶为n的圈,Pn表示阶为n的路.Kano等给出了每一个阶至少为8的立方偶图有{Cn|n≥6}-因子和{pn|n≥8}-因子的结论,并且提出猜想:阶至少为6的3-连通立方图有{Cn|n≥5}-因子和{pn|n≥7}-因子.现给出这个猜想的证明.     

循环群Zn中的零和问题

设n是大于1的正整数,p是n的最小素因子.记X是以Zn中元素为元素,长度为n k的序列,其中k≥n/(p-1).本文证明了当n只有两个不同素因子时,如果Zn中的每个元素在X中至多重复k次,则X中必然存在一个长度为n的子序列,它的元素之和为零.从而给出了W.D.Gao猜想成立的一种情况.     

P4(n)上界的部分改进

令F表示平面上一个互不交紧凸集族.如果F的任何一个元素都不含于其它元素的并集的凸包中,则称F处于凸位置.如果F的任何三个元素都不共线,即对于F的任何三个元素,任两个元素的并集的凸包既不包含第三个元素也不与第三个元素互相交叉,则称F处于严格一般位置.对于处于严格一般位置的紧凸集族F,笔者改进了J.Pach和G.Toth[5]以及赵永强[6]给出的p4(n)的上界,证明了P4(n)＜(n-3)2+3,特别是用不同的方法还得到了另一个更好的结果p4(n)＜n log2 2n.     

关于递归可枚举集派生集定理的一点注记

在文献[1,2]及具有相同体系的著作中,有不少牵涉到代数方面的定理,其中有一条关于递归可枚举集派生集的定理:设V 是任意一个递归可枚举集,则由V 用有限原始递归函数系列F_i(x_1,x_2,…,x_m_i)(i=1,2,…s,)派生出来的自然数集V~g 是递归可枚举集.这里派生集V~g 是指包含V 且关于运算F_1,F_2,…,F_s 封闭的最小集合,即以V 为定义域,相对于F_i(i=1,2,…,s)封闭的集合的交集与V 的并集.直接给V~g 的元素编号,就获得了[1]的证明,但用在此却使证明过于冗长和复杂,下     

幂GCD矩阵与幂LCM矩阵的行列式的整除性

设S={x_1,x_2,…,x_n)是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a≥1,如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素x_i和x_j的最大公因子的a次幂(x_i,x_j)~a,则称该矩阵是定义在S上的口次幂GCD矩阵,用(S~a)表示.类似定义幂LCM矩阵[S~a].本文证明了:设S是由n个不同的正整数组成的一个最大公因子封闭集,且正整数a∣b.如果n≤3,那么det(S~a)I det[S~b];如果max{x_i)＜12,那么det(S~a)f det[S~b].x_i∈S     

有限集合上封闭集族的计数（续）

设集合X={}a1,a2,a3,,an,f（n,m）表示X的含m个元素的不同封闭集族的数目.证明了f（n,6）=7n-7/2·6n＋5n＋1-4n＋1＋2·3n-2n-1,其中n=1,2,3,….     

路偏序集的个数

如果一个有限偏序集Ｐ的Ｈａｓｓｅ图在图论意义上同构于一条路,那么称这个有限偏序集Ｐ为路偏序集,令ｆ（ｎ）表示ｎ个元素不同构的路偏序集的个数,作者证明了。     

分担集合的亚纯函数正规族

把亚纯函数正规族与分担值或分担集合结合起来考虑是亚纯函数正规族理论研究的一个重要课题.目前正规族的相关理论在复动力系统、复微分方程和整函数唯一性等方面都有着重要的应用.利用Nevanlinna理论研究一类涉及分担集合的亚纯函数族的正规性.主要证明了如下的结论:设F={f(z)}是区域D内的一族亚纯函数,S_1={a_1,a_2,a_3}和S_2={b_1,b_2,b_3}均为由3个互异的有限复数所构成的集合,如果对于任意的f(z)∈F,有{z∈D:f(z)∈S_1}={z∈D:f′(z)∈S_2},那么F={f(z)}在D内正规.     

最大公因子封闭集上幂矩阵行列式的整除性

设S=x1,x2,...,xn是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a≥1.如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素xi和xj的最大公因数的a次幂(xi,xj)a,则称该矩阵是定义在S上的a次幂GCD矩阵,用(Sa)表示.类似可定义幂LCM矩阵[Sa].作者证明了:若S是由n个不同的正整数组成的一个最大公因子封闭集,且a|b,如果n≤3,那么det[Sa]|det[Sb],det[Sa]|det[Sb];如果max{xi}xi∈S<12,那么det[Sa]|det[Sb],det[Sa]|det[Sb].     

一道难题征解的简证及引申

浙江师大主办《中学数学教研》1992年第10期上有如下一道难题征解:28*　设N为自然数集,N0,1为由数字0和1组成的所有正整数的集合.证明或否定:对a∈N,b∈N,有ab∈N0,1.下面利用集合中元素的无穷性构造b给出一个简证.证明　令M={n|n=10i,i∈N}N0,1,显然为无穷集.a∈N,M中的每个元素用a取模,分成a个子集,其中第k个表示为:Ma,k={s|s∈M,k=s(moda),(0≤k≤a-1)}(1)若Ma,0非空,则结论显然成立;(2)若Ma,0为空集,则Ma,1,Ma,2,…,Ma,a-1中至少存在一无穷集,否则,M将为有穷集,矛盾.不妨设Ma,k为无穷集.从Ma,k中任取a个两两互不相同的元素10im(…     

关于Frankl-Füredi猜想的一个结果

Frankl和Füredi猜测在所有边数为m的r-图中,由N(r)中Colex序最小的m个元素组成的r-图具有最大的拉格朗日极值.本文证明,对于边数为m的3-图,当[(t-1)/3]≤m≤[t-1/3]+[(t-2)/2]且t≤8时,这一猜想成立.     

Kotzig猜想的部分解决

一九七七年五月,在英国剑桥大学Trinity学院为纪念w.T.Tutte诞辰六十周年举行的组合学术会议上,J.c.Bermond把Kotzig于一九六四年提出的问题:“完全图K_(2n)能被分解成完美对集的并,即它有1—因子分解,并且在这个分解中,使得任何两个完美对集的并都是一个Harmilton回。”以猜想的形式发表。当2n-1(n≥2)为质数时,本文证明这个猜想是正确的,并给出具体的分解方法。     

最小度至少是5的图的控制数

设G是n个顶点的简单图．运用Reed引进的顶点不交的路覆盖,找出函G的一个控制集并估算这个控制集的基数’结合估算结果,证明如果图G的最小度至少是5,则图G有基数至多是击n的控制集.     

正交Steiner三元系存在的几个充要条件

设V是一个v元集合,B是V的若干个三元子集所构成的集族,如果V中任意两个互异元素恰同时含在B的一个元中,则称S(v)=(V,B)为v阶的Steiner三元系。S(v)是一类特殊的区组设计,B中的元称为区组。S(v)存在的充要条件是早已知晓的,即v≡1,3(mod6)。 定义1 设S_1(v)=(V,B_1),S_2(v)=(V,B_2)是两个v阶Steiner三元系,且满足:(1)B_1∩B_2=φ;(2)若不同的两对互异元素在一个区组集中有相同的第三个元素,则在另一个区组集中的第三个元素就一定不同。我们称这样的S_1(v),S_2(v)是正交的。     

关于LCM矩阵整除性的洪绍方猜想的注记

称n元正整数集合S={x1,…,xn}因子链,如果存在n元置换σ, 使得xσ(1)|…|xσ(n). 作者证明：若S由两个互素的因子链构成,那么在n阶整数矩阵环中,GCD矩阵(S)整除LCM矩阵［S］.这部分证明了洪绍方的一个猜想.     

严格一般位置与凸位置

令F表示平面上一个互不交紧凸集族。如果F的任何一个元素都不含于其它元素的并集的凸包中,则称F处于凸位置。如果F的任何三个元素都不共线,即对于F的任何三个元素,任两个元素的并集的凸包既不包含第三个元素也不与第三个元素互相交叉,则称F处于严格一般位置。对于处于严格一般位置的紧凸集族F,我们减弱了J.Pach和G.T幃th[5]的一些定理的条件并得到一些更好的结果。     

关于高级诱导极限的连续映象定理

在这里我们所要讨论的是有关能量空间中高级(有穷的)诱导极限的连续映象定理,首先叙述这样一个定义(徐利治,1951;数学学报,88-97):假定X={X_n}的a级导集X~(a)只包含一个点x_0,则便称叙列{X_n}收歛于a级的诱导极限x_0,记作对于一个已经知道具有诱导极限的叙作{X_n}来说,其诱导极限的级也可以表作a=〈x_n〉现在我们来证明下面一个命题:定理1.假设K个叙列{X_1,n},{X_2,n},…,{X_k,n}分别是完全能量空间S_1,S_2…,S_k,中的各含相異元素的紧致集,又设这些叙列都有着高级诱导极限点并且{(X_1,n,X_2,n,…,X_k,n)}是乘积空间S_1×S_2×…×S_k中的阴集,那末〈x_1,n〉=〈x_2,n〉