实对称矩阵的某些不等式

1980年,Bellman,R.在文〔1〕中证明了下面的不等式 tr(AB)≤{tr(A~2)tr(B~2)}~(1/2) (1) 2tr(AB)≤tr(A~2)+tr(B~2) (2)这里A,B是同阶正定矩阵。 本文得到了与(1)、(2)类似的不等式 tr((AB)~m)≤{tr(A~(2m))tr(B~(2m))}~(1/2) (3) 2tr((AB)~m)≤tr(A~(2m))+tr(B~(2m)) (4) 其中A、B是同阶实对称矩阵,m=2~k(k为非负整数)     

关于Bellman不等式的注记

本文证明了关于矩阵迹的七个命题:1.trAB≤(trA~2)~(1/2)·(trB~2)~(1/2),A′=A,B′=B,且等式成立A=kB 或B=kA(k≥0)。2.(tr(A+B)~2)~(1/2)≤(trA~2)~(1/2)+(trB~2)~(1/2),A′=A,B′=B.且等式成立A=kB 或B=kA(k≥0)。3.trAB≤tr((A+B)/2)~2,A′=A,B′=B,且等式成立A=B。4.trA~2≤(trA)~2,A 半正定,且等式成立rk(A)≤1。5.trAB≤(trA)(trB),A,B 半正定,且等号成立(?)A=0或B=0或A=kB(k>0)且rk(A)=rk(B)=1。6.tr(AB)~2≤trA~2B~2,A′=A,B′=B,且等式成立AB=BA。7.tr(AB)~2≤(trAB)~2其中A,B 为正定阵.A=TT′,B=QQ′,且等号成立rk(C)≤1,其中C=(T′Q)(T′Q)′。     

Hermitian矩阵不等式(英文)

考虑复数域上n阶定正的Hermitian方陣。本文結果基于凸函数的一个引理2.1。假定(?)是E~n上的一个凸域,而Φ(x)=Φ(x_1,x_2,…,x_n)是(?)上对称連續凸函数,若x,y∈(?)且滿足(1.1)(x)<(y),則Φ(x)≤Φ(y)。若A,B皆定正,a_1≥a_2≥…≥a_n,b_1≥b_2≥…≥b_n与c_1≥c_2≥…≥c_n分别为A,B与C=A B的特征根,Φ于(?)={x=(x_1,x_2,…,x_n)|x_i>0 i=1,2,…,n}上滿足引理2.1条件且Φ(λx)=λΦ(x) (对任实λ),則Φ(c)≤Φ(a) Φ(b). 习知Φ=(sum from i=1 to n x_i~p)~(1/p),(p>1);sum from i=1 to ∞x_i~p/sum from i=1 to ∞x_i~(p-1),(11)而当p<1(p(?)0)时,上述不等式反号(定理3.6)。若对p取极限导出著名的Minkowski不等式;定理5.1 tr(A B)~p/tr(A B)~(p-1)≤trA~p/trA~(p-1) trB~p/trB~(p-1),(11,q=p/p-1。当p<1(p(?)0)。正文中,經上式直接导出定理3.5与3.6。本文得到的其他結果,例如定理3.1 tr(AB)≤(trA~p)~(1/p)(trB~q)~(1/q),(p>1,1/p 1/q=1)及当p<1(p(?)0)时,不等式反号(定理3.2)以及定理8.1d(r AB)≥(1 1/tr(AB)/n)~nd(A)d(B)等也是有趣的矩陣不等式。     

矩阵乘积的特征值的两个不等式及其应用

<正> 最近[1]证明了,当A、B同为实对称矩阵时,有t_r[(AB)~2~m(AB)~τ~(2m)]≤t_r[(AB)(AB)~T]~(2m)≡t_r(A~2B~2)~2~m (1)这里m为任意自然数(见[1]的定理3的b)[1]依(1)提出一个猜想:     

关于矩阵迹的几个不等式

该对满足一定条件的矩阵给出了关于矩阵迹的如不等式：mtr(A1A2…M)≤tr(A^M1) Tr(A^m2) …＋tr(A^mm）tr(A^a11A^a22…A^amm)≤trA1)^a1(trA2)^a2…（trAm)^am其中aj>0(j=1,2，…，m),m/∑／j=1aj≥1。     

关于矩阵的迹的Cauchy-Schwarz不等式

(一) 1 980年,Bellman,R。[2〕证得* Ztr(AB)喊tr(AZ) tr(BZ),(1) tr(AB)喊:tr(AZ)}女、tr(B。)}气(2)其中A,B为n阶正定矩阵,tr(A)为矩阵A的迹。(i)式等号成立的充要条件是A=B;(2)式等号成立的充要条件是B为A的常数倍。文〔月证得: 定理1若A,B为。阶Hermite矩阵,则(i),(2)两个不等式成立。 本文给出了满足不等式(1),(2)的另外几类矩阵。(二)对于。阶三角矩阵,文〔月证得,定理2设A、==(a,J)、,k二i,2,一,m(m>2)为。阶上(下)三角矩阵,且主对角线元素为非负,则tr(A 1 Ar二A二)喊tr(A份) t:(人蓄) .二 tr(A:) 切(3)式中等号成立当…     

关于斜Hermite矩阵乘积之迹的不等式

设A，B为斜Hermite阵，证明了如下不等式：（1）tr(AB)^m≤tr(A^mB^m)，其中m为正偶数；（2）tr(AB)^m≤tr(A^mB^m)，其中iA与iB为非负定阵，m为正奇数。     

关于复矩阵迹的算术--几何平均不等式

证明了比R.Bellman提出的"类似于算术-几何平均不等式的矩阵迹不等式"在形式上更接近算术-几何平均不等式的矩阵迹不等式|tr(m∏k=1Ak)|1/m≤1/mm∑k=1trAk且证明了更一般的结论及相关重要结果tr(m/k=1atkk)1/tm≤Tmm=1tk*tr(akak*）1/2和ti=1tr(mk=1a(I)k)mk=1{ti=1{tr(aika(t)k*)a/2k]a/2k}1/Bi,其中Tm=mk=1tk,tk,ak,Bi是正整数,mk=1a-1k≥1,ti=1B-1i≥1.     

关于Dirichlet L—函数

设 S(t,x)=π~(-1)argL(1/2+it,x)A.Fujii 在[1]中研究了integral from T+H to T(S(t+h,x)-S(t,x))~2dt并给出了一个渐公式。本文研究更一般情况。得到如下结果:定理1 设 T~(1/2+a)≤H≤T,(A>0),00),00为任取的实数。当 T≥T_0(a,δ)时,我们有     

《环的可换性命题简证》的订正

刊载于本学报自然科学版1981年1期的上文,承谢安国同志指出引理1有误,今订正如下: 引理1.设在环R中,若有x~n=0就必有x=0,且Va,b∈R,(ab)~2=(ba)~2,则有(ab ba)(ab-ba)=0. 证:令ab=A,ba=B,则A~2=B~2,从而A~2与B可换,A~2B=BA~2;B~2与A可换,B~2A=AB~2。     

对称矩阵特征值估计的某些进展

如果λ_1,…,λ_n是对称矩阵A的特征值,P. Tarazaga证明了|tr(A)/n-λ_i|≤[(n-1)/n(‖A‖_F~2-tr(A)~2/n)]~(1/2)对λ_i,i=1,…,n。本文中得到了一个等式成立的充分必要条件,由此给出一类特殊对称矩阵特征值的计算方法,而且证明了下面的定理:如果对称正定矩阵A仅有k个特征值大于或等于αtr(A),0<α<1,则tr(A)/‖A‖_F≥P_k(α)~(1/2),其中P_k(α)~(-1)=[1-(k-1)α]~2+(k-1)α~2,进而得到正定对称矩阵每一个特征值的上界估计。     

关于半正定矩阵初等和完全对称函数的一些不等式

对于n阶半正定矩阵A,B的初等和完全对称函数,得到如下的不等式Er[(AB)m]≤Er(AmBm),hr[(AB)m]≤hr(AmBm),Er[AαB1-α]≤[Er(A)]α[Er(B)]1-α,hr[AαB1-α]≤[hr(A)]α[hr(B)]1-α.其中,m是任意正整数,0≤α≤1,Er(A),hr(A)分别为半正定矩阵A的r阶初等和完全对称函数.当A,B都是正定矩阵时,有E2r(A#B)≤Er(A)Er(B),h2r(A#B)≤hr(A)hr(B).其中,A#B=A1/2(A-1/2BA-1/2)1/2A1/2称为A与B的几何平均矩阵.     

关于半正定矩阵初等和完全对称函数的一些不等式

对于n阶半正定矩阵A ,B的初等和完全对称函数 ,得到如下的不等式 :　Er[(AB) m]≤Er(AmBm) ,　hr[(AB) m]≤hr(AmBm) ,　Er[AαB1-α]≤ [Er(A) ]α[Er(B) ]1-α,　hr[AαB1-α]≤ [hr(A) ]α[hr(B) ]1-α.其中 ,m是任意正整数 ,0≤α≤ 1,Er(A) ,hr(A)分别为半正定矩阵A的r阶初等和完全对称函数。当A ,B都是正定矩阵时 ,有　E2 r(A B)≤Er(A)Er(B) ,　h2 r(A B)≤hr(A)hr(B) .其中 ,A B =A1/ 2 (A-1/ 2 BA-1/ 2 ) 1/ 2 A1/ 2 称为A与B的几何平均矩阵     

多调和算子组的谱估计

设Ω是R~m(m≥2)中一个有界区域,考虑多调和算子组的特征值问题AΛ(△)u~T=λu~T,x∈Ωu~k=(?)u~k/(?)n=…=(?)~(k-1)u~k/(?)n~(k-1)=0,x∈(?)Ω,k=1,2,…,N其中,u=(u~1,u~2,…,u~N),n是(?)Ω的单位外法向量。将特征值按增加的顺序排列为0<λ_1≤λ_2≤…≤λ_n≤…则成立如下不等式λ_(n 1)≤λ_n 4/m~2n~2(sum from i=1 to n sum from h=1 to N λ_i~(1/k))(sum from i=1 to n sum from k=1 to N k(2k m-2)λ_i~(1-1/k)) sum from i=1 to n sum from k=1 to N λ_i~(1/k)/λ_(n 1)-λ_i≥m~2n~2/(sum from i=1 to n sum from k=1 to N 4k(2k m-2)λ_i~(1-1/k))     

正余弦加权叠加式的研究

AcoS(ωt)+Bsin(ωt)=Csin(ωt+D)中,令A=k1a、B=k2b、C=k3(A2+B2)1/2=k3(a2+b2)1/2、D=k4β,并规定a、b、(A2+B2)1/2和β都取A、B、C、D的绝对值,即a＞0、b＞0、(A2+B2)1/2＞0、β≥0,推导出AcoS(ωt)+Bsin(ωt)=F(B)(A2+B2)1/2sin[ωt+F(AB)β]其中F(B)=B/|B|,F(AB)=AB/|AB|,β=tg-1|A/B|,(A2+B2)1/2＞0.     

关于半正定矩阵等和完全对称函数的一些不等式

对于n阶半正定矩阵A,B的初等和完全对称函数,得到如下的不等式,Er[(AB)^m]≤Er(A^mB^m),hr[(AB)^m]≤(A^mB^m),Er[A^aB^1-a]≤[Er(A]^a[Er(B)]^1-A,HR[A^aB^1-a]≤[hr(A)]^a[hr(B)]^1-a.其中,m是任意正整数,0≤a≤1,Er(A),hr(A)分别为半下定矩阵A的r阶初等和完全对称函数。当A,B都是正定矩阵时,有E^2r(A#B)≤Er(A)Er(B),h^2r(A#B)≤hr(A)hr(B),其中,A＃B＝A^1/2BA^-1/2)^1/2A^1/2称为A与B的几何平均矩阵。     

关于x(7,n)n=5,6中的A-最优设计

一、引言设N,n为正整数,N≥n,并设??(N,n)表示所有N×n矩阵X=(x_(ij))_(N×n)的集合,其中x_(ij)=-1,0,1. 定义1 设X_o、Z∈??(N,n),若tr(X'_0X_0)~(-1)≤tr(Z'Z)~(-1)(若|Z'Z|=0,定义tr(Z'Z)~(-1))=∞),则称X_0比ZA一较优.若AX∈??(N,n),有tr(X_0~'X_0)~(-1))≤tr(X'X)~(-1),则称X_0是在??(N,n)中A-最优的. 寻找A-最优的X_0的问题产生于这样的统计背景:假定我们在一架化学天平上秤量     

Pythagorean三角形的结构

本文给出Pythagorean三角形(x,y,z)的一般形态,即x、y、z呈形x=k/4{[(2a_0 d) c_02~(1/2)](1 2~(1/2))~(2n) [(2a_0 d)-c_02~(1/2)](1-2~(1/2))~(2n)-2d}y=k/4{[(2a_0 d) c_02~(1/2)](1 2~(1/2)) [(2a_0十d)-c_02~(1/2)](1-2~(1/2)~(2n) 2d}z=k2~(1/2)/4{[(2a_0 d) c_02~(1/2)](1 2~(1/2))~(2n)-[(2a_0 d)-c_02~(1/2)](1-2~(1/2))~(2n)}其中a_0 、c_0、d、k∈N,n∈N~ =NU{0}且(a_0,a_0 d,c_0)∈M_d.     

关于Hamy平均的一个优化不等式

关于n个正数的k次Hamy平均σ_n(a,k)=1/C_n~k sum from 1≤i1…ik≤n(multiply from j=1 to k a_(ij))~(1/k),利用最值压缩定理,证明了与Hamy平均、算术平均和几何平均有关的一个双向不等式(A_n(a~(1/k)))~(kp)·(G_n(a~(1/k)))~(k(1-p))≤σ_n(a,k)≤qA_n(a)+(1-q)G_n(a),其中q=n-k/n-1和p=n-k/kn-k为最佳,从而得到一个较理想的优化不等式.     

广义Fibonacci数列偶数项和奇数项倒数的有限和

根据广义数列Fibonacci数列{Gn}的定义和性质,采用初等方法证明了广义Fibonacci数列偶数项和奇数项的有限和■(∑_(k=n)~(mn)1/G_(2k))~(-1)」,■(∑_(k=n)~(mn)1/G_(2k-1))~(-1)」,■(∑_(k=n)~(mn)1/G_(2k)~2)~(-1)」,■(∑_(k=n)~(mn)1/G_(2k-1)~2)~(-1)」,将Fibonacci数列倒数和的结论进行了推广。