禁用两个子图的图的全控制数

设G=V(V,E)是一个简单无向图.一个点悬挂三个一度点的图称为爪图,D图是一个三角形其中两个点各悬挂一条长为2的路.如果图G的任何导出子图都不同构于爪图也不同构于D图,则称G为无爪和无D图.设S是V的非空子集,如果不在S的点一定与S中的某个点相邻,则称S为G的控制集.如果G中的点一定与S中的某个点相邻,则S称为G的全控制集.最小全控制集包含顶点的数目称为全控制数.给出了当G是N阶连通的无爪和无D图时全控制数紧的上界.     

广义Petersen图的控制数(n=3k)（英文）

如果V\S中的每一个点都与S中的至少一个点相邻,我们称V的子集S是G=(V,E)的一个控制集.G的控制数是G的最小控制集的基数.许多类型图的控制数及其算法已经被研究,通常这些图都有某种树型结构.本文将确定广义Petersen图当n=3k时的控制数,且其控制数为[5n/9].     

关于图的控制数的新上界

设G=(V,E)是一个图,D■V,如果对任意点v∈V-D,存在u∈D使得uv∈E,则称D为图G的一个控制集,图G的最小控制集的容量称为控制数。通过选点控制的方法,获得了关于控制数的一些重要结论,给出了图的控制数的若干新上界,并推广了一些已知的结果。     

路与圈的笛卡尔乘积的全控制数

令图G是无孤立点的无向图.V(G)是图G的顶点集,D是V(G)的真子集.如果图G的每一个顶点至少与集合D中一点相邻,则集合D是图G的全控制集.G中最小全控制集的顶点数称为G的全控制数,记为γt(G).参考已有全控制数的知识及笛卡尔乘积Cm□Cn、Pm□Pn的全控制数的相关结论,利用γt(Cm□Cn)≤γt(Pm□Cn)≤γt(Pm□Pn)这一不等式给出了Cm□Pn(m=3,4)、Pm□Cn(n=2,4)的全控制数.     

关于图中控制数γL,γt的关系

G（V,E）是一个图且D包含于V,如果N[D]=V,则称D为图G的控制集,进一步,对任一个控制集D1而言均有γ（（D））≤γ（（D1))成立,则称D为图G的小控制集,且小控制数γL（G）=min{|D|:D包含于V且D是G的一个小控制集}。如果点集S包含于V,A↓X∈V均有N（X）∩S≠φ或∪↑x∈SN（x）=V,则称S为图G的全控制集,且全控制数γ1（G）=min{|S|:S是G的一个全控制集}。     

两类图的Fractional控制数

设G=(V,E)为一个图,如果一个实值函数f:V→[0,1],对任意u∈V(G),均有f(N[u])≥1成立,则称f为图G的一个Fractional控制函数。图G的Fractional控制数定义为γ_f(G)=min{f(V)|f为图G的一个Fractional控制函数}。本文给出m≥3,n≥2时乘积图K_m×P_n的Fractional控制数、Fractional全控制数和m≥5,n≥3时联图■的Fractional控制数。     

图中控制数的有关结论

令G=(V,E)是一个图,点集S V,如果满足N[S]=V(G)(或N(S)=y(G)),则称点集S是一个控制集(或伞控制集).一个连通图G如果满足:对任何不相邻于一次点的v点,G-v的全控制数小于G的全控制数,则称图G是一个γt-临界图.给出连了通无爪3-正则图G的控制数满足γ(G)≤3-n.同时找到一个直径是2的4-γt-临界图.     

关于图中控制数γL,γt的关系

G（V，E）是一个图且D包含于V，如果N[D]=V，则称D为图G的控制集，进一步，对任一个控制集D1而言均有γ（（D））≤γ（（D1))成立，则称D为图G的小控制集，且小控制数γL（G）=min{|D|:D包含于V且D是G的一个小控制集}。如果点集S包含于V，A↓X∈V均有N（X）∩S≠φ或∪↑x∈SN（x）=V，则称S为图G的全控制集，且全控制数γ1（G）=min{|S|:S是G的一个全控制集}。     

关于点赋权图的赋权控制数的一个上界

点赋权图Gw=（V,E,W）是指对简单图G的顶点集作一个赋权函数W：V→R^＋。在图G所有的控制集D V（G）（V（G）／D中的任意顶点v都与D中的点关联）中最小的权和W（D）称为图Gw的赋权控制数。记作γw（Gw）。证明了对基数为N,平均权为W^-的图Gw,其赋权控制数γw（Gw）≤Nw^-1δ＋1^——1＋1n（δ＋1）。     

单圈图的k-距离匹配控制数

单圈图是边数等于顶点数的连通图.令G=(V,E)是无孤立顶点的图,若集合DV(G)是G的一个k-距离控制集且导出子图〈D〉有完美匹配,则称D是G的一个k-距离匹配控制集.k-距离匹配控制数γkp(G)是G的最小k-距离匹配控制集的势.主要证明了单圈图k-距离匹配控制数的一个重要引理,由此找到了单圈图k-距离匹配控制数的上界,并构造了极图.     

强全控制边临界图

不含孤立点的图G称为全控制边临界的,如果对任意两个不相邻顶点u和v, 有γt(G uv)<γt(G).也称这样的图为γt-临界的. 如果该图G的全控制数为k,称G为k-γt-临界的.一个γt-临界图G称为强γt-临界的, 如果对任意顶点v∈V(G)存在G的一个基数为γt(G)-1的控制集D使得G[D]除v外不含孤立点.研究了强γt-临界图的性质,给出了一个由小的强γt-临界图构造大强γt-临界图的方法.     

图的代数连通度及其点连通度

G是一个简单图.a(G),k(G)分别为G的代数连通度和点连通度,该文刻画了满足a(G)=k(G)的图.G=(V,E)是一个n阶简单图,点连通度为k(G)≤[n/2].H是G的任意最小点割集,则a(G)=k(G)当且仅当对任意u∈H和v∈V\H,有uv∈E.     

图K_(2n)\E(F_5)(n≥13)的点可区别边染色

对简单图G(V,E),设f是从E(G)到{1,2,…,k}的映射,k为自然数,如果f满足:1)对任意的uv,uw∈E(G),v≠w,有f(uv)≠f(uw);2)对任意的u,v∈V(G),u≠v,有C(u)≠C(v).则称f为图G的k-点可区别边染色法,而最小的k被称为点可区别边色数(其中C(u)={f(uv)|uv∈E(G)}).研究了图K2n\E(F5)(n≥13)的点可区别边色数.     

图K2n\E（Fm）（n≥4,m≥2）的点可区别边染色

对简单图G(V,E),设f是从E(G)到{1,2,…,k}的映射,k为自然数,如果f满足:1)对任意的uv,uw∈E(G),v≠w,有f(uv)≠f(uw);2)对任意的u,v∈V(G),u≠v,有C(u)≠C(v).则称f为图G的k-点可区别边染色法,而最小的k被称为点可区别边色数(其中C(u)={f(uv)|uv∈E(G)}).研究了图K2n\E(Fm)(n≥4,m≥2)的点可区别边色数.     

图的控制数及全控制数的估计

研究了图的控制数及全控制数，对满足一定条件的图给出了图的控制数及全控制数的估计。     

关于图运算的测地数

对于图G(或有向图D)内的任意两点u和v,u-v测地线是指在u和v之间(或从u到v)的最短路.I(u;v)表示位于u-v测地线上所有点的集合,对于SV(G)(或V(D)),I(S)表示所有I(u,v)的并,这里u,v∈S.G(或D)的测地数g(G)(或g(D))是使I(S)=V(G)(或I(S)=V(D))的点集S的最小基数.G的下测地数g-(G)=min狖g(D):D是G的定向图狚,G的上测地数g+(G)=max狖g(D):D是G的定向图狚.对于两个图G和H,u∈V(G)和v∈V(H),在u和v之间加一条边,然后再收缩这条边uv所得的图,记为GuHv.本文主要研究图GuHv的测地数和上(下)测地数.     

关于哈密尔顿指数的综述

图G的线图L（ G）是指以G的边集E（ G）为顶点集且L（ G）的2个顶点邻接当且仅当它们在G中有公共顶点。 n次迭代线图Ln（G）递归地定义为L0（G）=G,Ln（G）=L（Ln-1（G））（n∈N=｛0,1,2,…｝）,其中L1（ G）=L（ G）并且假设Ln-1（ G）非空,使得Ln（ G）是哈密尔顿的最小整数n称为哈密尔顿指数,用h（ G）表示。该文综述了（类）哈密尔顿指数的一些结果。     

几类图的负对控制数

设D V是图G=(V,E)的任意一个对控制集,如果一个函数f:V→{-1,0,1}满足条件1)对任意点v∈D,有f(v)=1,对任意点v∈V-D,有f(v)≤0,2)对任意点v∈V,均有f(N[v])≥1,则称函数f为图G的负对控制函数。负对控制函数f的重量f(V)是V中所有点的函数值之和,图G的负对控制数γp-(G)=min{f(V)|f是图G的负对控制函数}。本文研究一些图的负对控制数。     

图的全本征数的一个新上界

Cockayne,Dawes和Hedetniemi 证明了对于至少有三个点的连通图G,G的阶数P和G的全本征数γ_t(G)满足关系式γ_t(G)≤2p/3p。本文进一步研究了图G的全本征数。对于一个全本征数不低于3的连通图G,若G的最小度δ(G)不低于3且不超过P-4,则G的全本征数γ_t(G)不超过数x的整数部分,其中,x=2P/3-2δ(G)/3 4/3