对波菜尔改进拉格朗日插值公式思想方法的研究

R．Méray、波莱尔（E．Borel）及C．Runge等人已指出利用拉格朗日（Lagrange）插值公式所得多项式在一些情况下不能很好逼近被插函数．如何改进拉格朗日插值公式使之更好地逼近被插函数是当时数学家思考的一个重要问题，波莱尔即为其中之一．基于原始文献，利用历史分析和比较的方法，搞清了波莱尔改进拉格朗日插值公式的思想背景，分析了他的改进方法，探讨了其思想在当时的重要影响．     

Lagrange插值公式的一个推广

对Ｌａｇｒａｎｇｅ插值公式进行了推广，即已知一组节点，节点处的函数值及若干阶导数值，推导出一个高阶导数插值公式，并给出了该插值公式的误差估计     

一种求三元有理插值函数的方法

由一元Newton插值公式推广得到三元Newton插值公式，进而构造出一种三元有理插值函数．利用它可直接计算该插值函数的分母在节点处的值，并据此判断相应的三元有理插值是否存在．若存在时，还能给出其具体表达式．     

一类抽象 Newton 插值

提出了一类抽象Ｎｅｗｔｏｎ插值模型，研究了该类插值的基底构造问题．将众多类型的多项式插值模型（一元或多元情形）在最大程度下统一起来，基于半对偶基的概念，研究了Ｎｅｗｔｏｎ型插值公式的构造方法．     

二阶导数的五点数值微分公式及外推算法

本文通过对四次Lagrange插值多项式求二次导数推导出二阶导数的五点数值微分公式,中心点处截断误差为O（h^4）,其他点处为O（h^3）．利用Richardson外推原理得到该公式各个点的外推算法,K次外推后,中间节点的数值精度提高到O（h^2（k＋2）,其他节点的精度提高到O（h^k＋3）．     

矩形网格上的有理插值公式

有理插值是非线性逼近的一种重要方法,由于它的复杂性,所以至今还未见到类似于多项式那样的插值公式．大部分研究是基于连分式给出构造有理插值函数的方法．对于给定的节点,有理插值问题是否有解取决于给定函数值．为了保证算法的可行性,在连分式方法的基础上给出了多种构造有理插值函数的改进方法,但构造出的有理插值函数次数较高,计算量较大．文中针对矩形网点从二元多项式Lagrange插值基函数出发,给出二元有理插值公式．该公式具有多项式插值公式类似的性质．公式简单,计算量较小,且所构造的有理插值函数次数较低。还可以通过引入参数,降低有理插值函数的次数,便于实际应用．     

一种边界型二重求积公式的构造

设Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）；ｐ≤ｘ≤１，０≤ｙ≤ｆ（ｘ）｝，ｆ（０）＝１，ｆ（１）＝０，ｆ（ｘ）在「０，１」上连续且严格单调。给出一种构造Ｆ（ｘ，ｙ）在Ｄ上具有不含内部节点且具有高代数精确度的边界插值公式及一种构造非对称区域的边界型的二重求积公式，并给出误差估计式。     

二元切触有理插值存在性的一种判别方法

文章研究切触有理插值问题中的插值函数的存在性,在矩形网格上给出了带重节点的二元Newton插值公式.在此基础上,给出了二元切触有理插值存在性的充要条件;在有理插值函数存在的情况下,给出了其显式表达式,并且这种方法具有承袭性,即增加节点时,只需要增加相应的运算,而不需要将前面已有的运算结果推倒重来;最后的数值例子说明了这种算法的有效性.     

Hermite三点插指公式的插值基法

利用Hermite插值基函数，将求解非多项式插值问题转换为求解5个派生出来的多项式插值问题。证明了Hermite三点插指公式的存在唯一性，并用构造出Hermite三点插指公式，最后给出了一个算例．     

关于Grunwald插值多项式算子的平均收敛阶

在以第一类Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ多项式Ｔ．（Ｘ）的零点为插值节点的条件下，讨论了Ｇｒｕｎｗａｌｄ插值多项式算子在Ｌ＇空间以为权函数的加权平均收敛阶。     

关于Hermite-Fejēr插值算子的p方收敛

在以第二类Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ多项式Ｕｎ（ｘ）的零点ｘｋ＝ｃｏｓθｋ＝ｃｏｓｋπｎ＋１，（ｋ＝１，２，…，ｎ）为插值节点的条件下，讨论了Ｈｅｒｍｉｔｅ－Ｆｅｊēｒ插值算子在［－１，１］上以（１－ｘ２）１２为权函数的ｐ方收敛问题，得到的收敛阶为Ｏ（１）ｗ１ｎＰ＋Ｂｎｐ｛｝．     

关于Michalik连分式插值的多点扩展应用

本文给出一种关于Michalik的连分式插值的扩展算法。它使给出的连分式插值更加准确,结果更加精确。该方法在Michalik连分式原节点数的基础上再多加一个新的函数节点,并利用三项递推公式计算出该节点的函数值,然后添加不同的插值节点进行误差比较,寻找出最优的插值节点。该方法能使给出的连分式插值更加准确。本文利用构造出的新的插值节点及其原有的函数节点可以计算出一个新的连分式插值函数,从而能够很好地逼近原函数。     

Aitken-Neville-Newton插值法计算过程的等价性

分析论证了Aitken逐次线性插值公式、Neville算法及Newton插值法在节点逐步增加、多项式次数逐次增加时3个插值公式的每一步都是等价的.     

一类抽象Newton插值

提出了一类抽象Ｎｅｗｔｏｎ插值模型，研究了该类插值的基底构造问题，将众多类型的多项式插值模型（一元或多元情形）在最大程度下统一起来，基于半对偶基的概念，研究了Ｎｅｗｔｏｎ型插值公式的构造方法。     

奇异积分的最小二乘求积公式

引进最小二乘多项式簇｛ Ｑｎ（ｘ）｝ ，由Ｑｎ（ｘ） 的零点出发作插值多项式，得到了奇异积分的一类求积公式，它的特殊形式为Ｇａｕｓｓ 型求积公式．     

中国古代历法的中心差算式之造术原理

论证曹士《符天历》（Ａ．Ｄ．７８０～７８３）首创的“相减相乘”法是在第一象限（冬至～春分）上构造的插值公式，和刘焯二次等间距插值法是原理相同的数学方法。     

二元插值算子的Cesàro强性逼近

本文主要研究了偶数类节点组上的由三角插值多项式构造的二元三角插值算子的（p，p）阶r次Cesàro强性逼近问题，得到了三角算子的Cesàro强性逼近的估计式，推广了一些文献中的结论．     

双周期(0,δM)插值及其逼近

将双用期（0，m）插值问题推广到了双周期（0，δ^M）插值情形，减弱了对被插值函数的可微性要求．同时给出了该插值问题成立的充分必要条件和插值表达式，并研究了其收敛性，得到了相应的收敛结果．     

遍历从N个元素中取M个元素可能组合的最佳算法

从N个相异元素中取M个元素(M≤N)的可能组合的遍历问题是组合数学中重要的基础性问题．关于该问题的现行算法是建立在对于搜索到的每一个节点的诸元素首先进行排序，然后搜索下一个节点．本文对于该问题给出一个全新的算法．新算法中放弃了对于节点诸元食的排序，实现每进行一次数据交换即搜索到一个新的节点，因而成为解决该问题的最佳算法．使用该算法编辑计算机程序，有编程简短、占用机器内存小的特点。     

多点多重Newton型插值公式

讨论了一般多点多重Hermite插值问题,利用局部自由因子获得了完全展开的多点多重Newton型插值公式,给出了增加一个自由度时的插值递推公式及有重差商表的构造原理.并提出了计算Newton型插值公式的多种快速算法.