关于一个改进的既约梯度法的收敛速度

本文研究下述非线性规划问题:(P)minf(X) R={x|Ax=b,x≥0,x∈E}其中A是m×n矩阵(m≤n),秩为m,b∈E,E~n和E分别是n维和m维欧氏空间;f是实函数。美国数学家P.Wolfe在1962年发明了解问题 (P) 的“既约梯度法”(〔1〕)。这儿Ax=b中有n-m个自由变量,把f作为这n-m个自由变量的复合函数而求得的梯度,国内称     

极小化极大函数的最优性条件

设f(x)=max{f_j(x)}_(x∈E_n)。本文在f_j(x)_(i=1～m)是E_n上的可微凸函数 1≤j≤m的假设下,给出X是无约束极小化f(x)的最优解的充要条件;又在f_j(x)_(i=1～m)是E_n上的可微函数的假设下,给出X是极小化f(x)、约束集是用不等式和等式表示的最优解的必要条件和充分条件。这些最优性条件都是当m=1时的推广。     

加权条件数在矩阵扰动问题中的极小性质

设A∈C_r~(m×n),r≤min(m,n)。对于加权条件数K_(MN)(A)=‖A‖MN‖A_(MN)~+‖NM,本文指出在一定条件假设下,K_(MN)(A)在矩阵扰动问题中的极小性质。主要结果如下:1.设A∈C_r~(m×n),E是A的任意小扰动矩阵。R(E)(?)r(A),R(E~*)(?)R(A~*)且‖A_(MN)~+‖NM‖E‖MN<1,有(?)成立,则有K_(MN)(A)≤(?)MN(A)。2.设A∈C_r~(m×n),E为A的任意小扰动矩阵。r(A+E)=r(A),且‖A_(MN)~+‖NM‖E‖MN<1,有(?)成立,则K_(MN)(A)≤(?)MN(A)。其中(?)当r相似文献   

一类既约梯度算法

既约梯度法是求解非线性规划问题的一类方法,它们尤其适用于带线性约束的非线性规划的求解。Wolfe的既约梯度法和Zangwill的凸单纯形法 是较熟悉的两种方法。本文给出了包含这两种方法的一类既约梯度算法以及此算法类的收敛性定理。 一、假设条件及记号 考虑如下非线性规划: (P) min｛f(x)｜Ax=b,x≥0｝,其中x∈Rn,A为m×n矩阵。令S为全体可行点的集合,且S非空。与一样,我们假定:(H1)f∈C1;(H2)A中的任意m个列向量线性无关;(H3)多面体S的每个极点非退化。 我们以A1表示A的一个子矩阵,它的行号与A相同,列的标号属于Ⅰ,其中Ⅰ　｛1,2,…     

一类齐次对称多项式上的Jense不等式

著名的Jensen不等式可表述为设函数f-I→R(I为给定的区间)为凸函数,如果x1,x2,…xN ∈I,那么有不等式N-1·∑N i=1f(xi)≥f(N-1·∑Ni=1xi).借助于积和式及数学归纳法,将这个不等式推广到涉及m次齐次对称多项式的情形,由此获得了一个有趣的推论.     

光滑模与逼近度

1.设I=[a,b]、I_t=[a,b-t](t>0),用X_p表示L_p(I)(1≤p< ∞和C(I)(p= ∞),若f∈X_p,其范     

互素多项式在矩阵秩中的应用

给出了互素多项式在矩阵秩讨论中的几个结果：1）设f(x),g(x)∈P[x],A∈Mn(P)若f(x),g(x)互素，且f（A)g(A)=0,则r(f(A)) r(g(A))=n。2）设fi(x)∈P[x],i=1,2,…，m,A∈Mn(P)，若f1(x),f2(x),…,fm(x)互素，且f1(A)f2(A)…fm(A)=0,则n≤r(f1(A)) r(f2(A)) … r(fm(A))≤（m-1)n。3）设fi(x)∈P[x],i=1,2,…，m,A∈Mn(P),若f1(x),f2(x),…，fm(x)两两互素，且fi(A)fj(A)=0,i≠j,i,j=1,2,…，m，则r(f1(A)) r(f2(A)) … r(fm(A))=n。     

某些可微函数类的逼近度

1、设I=[a,b]并用X_p表示L_p(I)(1≤P< ∝)和C(I)(p=∝),对f∈X_p其范为     

Cauchy-Schwarz不等式的推广及应用

利用格拉期曼代数[2]方法,将CauchySchwarz不等式推广为　　　　　　｜det(x iAyj)｜2≤det(x iAxj)det(y iAyj)　　　　　　(i,j=1,2…,m)其中xi,yi∈Cn(i=1,2,…,m),A为n阶半正定Hermite矩阵且m≤n,作为其应用,还可以导出一些新的矩阵不等式或已知的矩阵不等式     

一个改进的既约梯度法某些收敛性的推广

设非线性规划问题(P): min{f(x)|x≥0,Ax=b}其中A是m×n阶矩阵,其秩为m,x∈R~n,b∈R~m。令R={x|x≥0,Ax=b}。对问题(P)作如下的假定:(A)f(x)∈C~1;(B)R非退化。对于问题(P),1963年Wolfe提出了“既约梯度”的算法,其基本思想是通过计算既约梯度,将高维空间的问题化为低维空间的问题进行解决。然而关于方法的收敛性问题却并未得到证明。文献[1]首次解决了既约梯度法的收敛性,并且得出了某些良好的收敛性质。最近文献[2]通过多年的实践指出既约梯度法的效果要比其他方法显著的好。鉴于此,本文继续作者在[3]中所得结果的讨论,针对[3]中改进的既约梯度法,得到了较为一般性的条件,在这些条件下得出的收敛性定理包括了[3]中诸结果。     

齐次对称多项式的分解原理与方差平均不等式猜想

获得了如下齐次对称多项式的分解原理:设f(x)为m次齐次对称多项式,且m≥2,n≥2,如果当x1=…=xn时,有f(x)≡0,那么存在m-2次齐次多项式pi,j(x)(1≤i相似文献   

加权条件数在矩阵扰动问题中的极小性质

设A∈C_r~(m×n),r≤min(m,n)。对于加权条件数K_(MN)(A)=||A||_(MN)||A_(MN)~+||_(NM),本文指出在一定条件假设下,K_(MN)(A)在矩阵扰动问题中的极小性质。主要结果如下: 1.设A∈C_r~(m×n),E是A的任意小扰动矩阵。R(E)(?)R(A),R(E)(?)R(A)且||A_(MN)~+||_(NM)||E||_(MN)<1,有 ||(A+E)_(MN)~+ -A_(MN)~+N||_(NM)/||A_(MN)~+||_(NM)≤SMN(A)||A||_(MN)/1-ξ_(MN)(A)||E||_(MN)/||A||_(MN)成立,则有K_(MN)(A)≤ξ_(MN)(A)。 2.设A∈C_r~(m×n),E为A的任意小扰动矩阵。r(A+E)=r(A),且||A_(MN)~+||_(MN)||E||_(MN)<1,有 ||(A+E)_(MN)~+-A_(MN)~+||_(MN)||/A_(MN)~+||_(NM)≤C ηMN(A)||E||_(MN)/||A||_(MN)/1-ηMN(A)||E||_(MN)/||A||_(MN)成立,则K_(MN)(A)≤cη_(MN)(A)。其中 c={1+5~(1/2)/2 当r相似文献   

THE COMPLEX FORM AND EXISTENCE THEOREM OF GENERALIZED SOLUTION FOR NONLINEAR ELLIPTIC SYSTEMS OF THIRD ORDER

Let G be a simply connected bounded domain, we consider the system of partial differential equationsof third order in Gφ_j(x,y,u,v,u_(10),v_(10),u_(01),v_(01),...,u_(03),v_(03)) = 0, (j = 1,2),(1)where u_(ik) = U_(x~i_y~k), v_(ik) = V_(x~i_y~k)(0≤i, k≤3), φ_j (j = 1, 2) are continuous real functions of the variablesx,y[(x,y) ∈G] and u_(ik), v_(ik)(0≤i, k≤3, i+k≤3) , and continuously differentiable for u_(ik) ,v_(ik)(0≤i,k≤3, i+k=3)Definition 1 If the system (1) satisfy the following conditions in G respectively|A_30λ~3 + A_(21)λ~2+ A_(12)λ+ A_02|≠0,λ∈R.(2)3A_(30)+ _(21) + A_(12)+ 3 _(03)|≠0.(3)then (1) will be called π-elliptic type and π-strong elliptic type equation system respectively, where     

一类齐次对称多项式上的Jensen不等式

著名的Jensen不等式可表述为：设函数f：I→R（I为给定的区间）为凸函数,如果x1,x2,…,xN∈I,那么有不等式：N^-1.∑iN=1f（xi）≥f N^-1.∑iN=1xi.借助于积和式及数学归纳法,将这个不等式推广到涉及m次齐次对称多项式的情形,由此获得了一个有趣的推论.     

一阶偏导算子的正交数值域为实值的充要条件

设A_J∈L(V),i=1,…,m,A_1=A_1…A_m为A_1,…A_m的张量积,称D(A_1,…,A_m)=A_1I…I+IA_2I…I+…+I…IA_m为■A_i的一阶偏导算子,它的正交数值域为(D(A_1,…,A_m))={sum from i=1 to m(A_jv_j,v_j)|(v_i,v_j)=δ_(ij),i,j=1,…,m}(要求m=≤n=dimV)。本文给出了(D(A_1,…,A_m))=0,(D(A_1,…,A+m))R及D(A_1,…A_m)为厄米特算子的充要条件。     

柯西(Cauchy)不等式的一种证明方法

柯西 ( Cauchy)不等式是指 :( a1b1+a2 b2 +… +anbn) 2 ≤ ( a12 +a2 2 +… +a2n) ( b12 +b22 +…+b2n) ( ai,bi∈ R,i =1 ,2 ,… ,n) ,当且仅当 a1b1=a2b2=… =anbn时等号成立。这个不等式的证明方法很多。现利用二次型理论来证明柯西 ( Cauchy)不等式。证明 :记 f ( x1,x2 ) =( a1x1+b1x2 ) 2 +( a2 x1+b2 x2 ) 2 +… +( anx1+bnx2 ) 2　　 =( a12 +a2 2 +… +a2n) x12 +2 ( a1b1+a2 b2 +… +anbn) x1x2 +( b12 +b2 2+… +b2n) x2 2　　 =X′AX　　其中 X =x1x2　　　 A =Σni=1a2i　　Σni=1aibiΣni=1aibi　　Σni=1bi2　　显然 f …     

一类反向的Jensen不等式

设f是区间I上的一个可微凸(凹)函数.如果对于每个t∈I,有f′(t)>0或f′(t)<0;且在I上1/f′(t)为凸或为凹,那么对于所有的pi>0和xi∈I(i=1,2,…,n)成立不等式f∑ni=1pixi∑ni=1pi≥(≤)∑ni=1pif(xi)f′(xi)∑ni=1pif′(xi)　　还研究了等式成立的条件和若干相关的不等式.     

一类非光滑规划的最优性充分条件与Wolfe型对偶

研究仅含不等式约束的非光滑规划(NP)minf(x)s．t．gi(x)≤0,x∈R^n,i=1,2,……,m其中f是D正则弱L函数,gi是正则弱L函数,在D-(F,ρ)凸性与(F,ρ)凸性下给出解的最优性充分条件,且讨论了规划(NP)的Wolfe型对偶,得到了弱对偶定理、强对偶定理及严格逆对偶定理。     

球面函数Cesàro平均的带权强性求和

设f(x)∈Lp(Ωn),1≤p≤2,δ>(n－1)(1p－12),σδN(f)(x)表示f(x)在n维球面Ωn上的Cesàro平均.本文证得limN→∞1N+1∑Nk=0|σδk(f)(x)－f(x)|2ak=0 a.e.x∈Ωn.其中权系数ak≥0满足1≤1N+1n[]k=0ak≤A(A是一个绝对常数).     

有效解的—阶广义梯度条件

本文讨论带闭凸锥的多目标优化问题.设f(x)是目标向量函数,g(x)是约束向量函数,M, -N分别是它们的控制锥.当x是弱有效解,则?;当x是绝对有效解,则▽f(x)是零矩阵.而当f(x)是M-凸函数,g(x)是N-拟凸函数,则存在λ,使0∈?(x~rf)(x).这里对应于x是有效解和Hartley真有效解分别有λ∈M·\{0}和λ∈intM.M表示M的正极锥, 表Clarke广义梯度集.而锥拟凸函数是我们提出的一种比锥凸函数更广泛的函数,我们称g(x)是N—拟凸的是指对R~m中的任何α,{x∈X|g(x)≤N~α}是凸集.另外,当x是Hortley真有效解,还存在m×k阶矩阵,使0∈?[λ~r(f+Ag)(x)],而λ∈M·|{0}.