收缩函数的初等性

文[1]扩展了对初等函数型态的认识.本文继续扩展对初等函数型态的认识,得出了一定条件下的收缩函数是初等函数的结果,并叙述了几个有关的论点.收缩函数在有些文献中亦称为限制函数,即定义1 设函数y=f(x)与y_1=g(x)分别定义在D和D_1上,若DD_1,且x∈D_1,有g(x)=f(x),则称g为f在D_1上的收缩函数(有时简称为f的收缩函数).常见的在一个函数的表达式y=f(x)后注明定义域的方法有时就是给出了一个收缩函数.     

某些矩阵方程

设f(x)为任意域F上n级矩阵A的可分和不可约的特征多项式.对于给定的g(x)∈F|x|,我们给出g(B)=A有解B∈Mn(F)充分必要条件为存在v∈F(u)(F的扩域)使得f(u)=0且f(g(v))=0.进一步,我们给出了有关多项式g(x)=:x2 ax b,x3 ax2 bx c,xm-a和xq-x a(q为F的特征)的上矩阵方程有解的等价条件.     

二阶线性方程的振动问题

考虑二阶线性常微分方程 y″(x)+P(x)y(x)=f(x), (1)称方程(1)的某一解y(x)在[0,+∞)上振动,如果对任意的T>0,则y(x)在[T,+∞)上必有零点。否则,如果存在T>0,使当x>T时y(x)>0(<0),就称y(x)为最终正解(负解)。文献[1]证明了若在[0,+∞)上P(x)>0,f(x)>0,P′(x)≥0,f′(x)≤0,则方程(1)的满足初值条件y(0)=y′(0)=0的解必振动。本文建立了一个判定方程(1)满足初值条件y(0)=y′(0)=0的解振动的不等式,这一不等式并不要求P′(x)≥0一定成立,另外,我们给出P(x)>0,P′(x)≤0时的比较定理。     

方程f′(x)=1/f(1/x)的解

本文给出了方程 f′(x)=g(f(g(x)))当 g(x)=1/x 时的特款 f′(x)=1/f(1/x)的全部的解。     

根据函数方程判别基本初等函数的超越性

§1 代数函数与超越函数初等函数是初等数学乃至高等数学的主要研究对象。初等函数又可分为代数函数与超越函数两类。我们先叙述它们的定义。定义1 如果函数y=f(x)〔注1〕满足某代数力程 P(x,y)=0, (1)这里(?)是既约多项式〔注2〕,p_k(x)(k=0,1,…,n)都是x的多项式,且(?),则称y=f(x)为代数函数。     

L-关系方程T(a,x)=b与方程Ⅰ(a,x)=b 有解的充要条件

进一步讨论方程T(a,x)=b与方程Ⅰ(a,x)=b的解的结构,得到了它们的解集,且得到了它们有解的充分必要条件,并利用方程T(a,x)=b与方程Ⅰ(a,x)=b的解集研究方程T((a1,a2),(x1,x2))=(b1,b2)以及方程I((a1,a2),(x1,x2))=(b1,b2)的解结构与与解集.还指出文献[1]中一个基本定理的错误.其中L为完备Brouwer格,T为无穷V-分配伪t-模,I是无穷∧-分配蕴涵算子.     

一类三元四次不定方程的初等解法

讨论三元四次不定方程f(x,y,z)=2x2y2-x2z2-y2z2=0的整数解问题.并利用初等方法给出该方程的整数解公式.     

L-关系方程T（a，x）=b与方程I（a，x）=b有解的充要条件

进一步讨论方程T(a，x)=b与方程I(a，x)=b的解的结构，得到了它们的解集，且得到了它们有解的充分必要条件，并利用方程T(a，x)=b与方程I(a，x)=b的解集研究方程丁((a1，a2)，(x1，x2))=(b1，b2)以及方程I((a1，a2)，(x1，x2))=(b1，b2)的解结构与与解集．还指出文献[1]中一个基本定理的错误．其中L为完备Brouwer格，T为无穷V一分配伪t=模，I是无穷∧一分配蕴涵算子．     

非线性常微分方程两点边值向题

本文讨论下列方程:(P)(?)x″=f(t,x,x′),t∈(0,1)x(0)=x(1)=0x∈C~2(0,1)∩C~θ[0,1]当 f、f_x、fx′满足某些条件时,我们用上下解方法,把方程(P)归结为带不等式约束条件的二阶常系数线性常微分方程(Q),只要(Q)可解,则(P)可解.而(Q)的可解性,完全可用初等方法解决.本文得到的结果,大大推广了已有结果,如[1]、[7]—[9].     

Lienard型方程周期解的存在性

讨论了一类广义Lienard型方程xe f1(x)x^. f2(x)x^.2 f3(x)x^.3 g(x)=0，给出了一些充分条件以保证其任何非平凡解为振荡的，而且证明了周期解的存在性。     

关于三类泛函方程

本文在赋范线性空间中考察下列几类泛函方程 f(x)g(y)=h(x+y)(Ⅰ) f(x+y)=f(x)f(y)(Ⅱ) f(x+y)=f(x)+f(y)+ag(x)g(y)(Ⅲ)的性质与解以及彼此之间的关系。     

一类退化拟线性椭圆型方程的无穷多解

本文讨论了在一点退化(g(0)=0)的拟线性椭圆型方程—D(g|Du|)Du)=f(x,u)的无穷个非平凡解的存在性。     

R~2中变形Helmholtz方程的Riemann边值问题

讨论了R2空间中有界单连通区域上的一阶变形Helmholtz方程k+xyyk-xf1(x,y)f2(x,y[])=g1(x,y)g2(x,y[]),满足边界条件w+(t)=G(t)w-(t)+g(t)的Riemann边值问题.利用广义解析函数Riemann边值问题的理论,先将变形Helmholtz方程Riemann边值问题转化为最简形式的跳跃问题,再利用广义Cauchy型积分得出其在非齐次边界条件下的一个特解,最终求出复方程在齐次边界条件下的通解,即分别在不同情况下,获得复方程满足齐次和非齐次边界条件的可解条件及解的表示.     

奇解与可分离变量方程的解

奇解是常微分方程基本理论中的一个很重要的问题,又是一个难题。关于它的讨论目前还很不深刻,特别是奇解与方程解的结构之间的关系没有涉及。本文讨论奇解与可分离变量方程的解的结构之间的关系。对可分离变量方程 dy/dx=f(x)g(y), (1)其中f(x),g(y)分别是x,y的连续可微函数,我们已知它的通解为 (此处假设g(y)≠0). (2)其中C为任意常数.若g(y_0)=0,则 y=y_0 (3)也是(1)的解。但若此解可由(2)中取常数C=C_0得到,则它就包含在通解(2)中。因此,(2)就是(1)的全部解的表达式。如果y=y_0不能由(2)中选取C而得到,则(2)和(3)都是(1)的解。这时,我们要问(2)和(3)是否包含了(1)的全部解? 经过探讨可以得出如下的结论:     

关于Liénard方程的闭轨线

本文讨论Liénard软弹簧系统的闭轨线的存在性,以及Liénard硬弹簧系统的闭轨线的位置估计。考虑方程(?)+f(x)(?)+g(x)=0 (1)或其等价方程组     

二次多项式的平方取值

设 F 为任意特征不为2的域,f(x)=αx~2-βx+r 是 F 上二次多项式。令=F∪{∞},并令 f(∞)=α。对任意 a∈?),我们定义了变换τ_a∶.变换τ_a 保持“f(x)为平方”这性质不变.利用这组变换,(1)当 F 为有限域,我们确定了集合 H={x∈F|f(x)∈F~(*2)}及 S={f(x)∈F~(*2)|x∈F},并计算了它们元素的个数;(2)当 F 为有理数域,我们讨论了整系数二元二次型 f(x,y)取平方值问题.考虑方程 f(x,y)=z~2.如它有一整数解,则必有无限多不等价的解,所有的解都可通过变换τ_a 简单地得到:(3)当 F 为实数域,我们得到一族条件不等式.     

二次多项式的平方取值

设 F 为任意特征不为2的域,f(x)=αx~2-βx+r 是 F 上二次多项式。令 F=Fu{∞},並令 f(∞)=α。对任意 a∈F,我们定义了变换τ_a:■变换τ_a 保持“f(x)为平方”这性质不变.利用这组变换,(1)当 F 为有限域,我们确定了集合 H={x∈F|f(x)∈F~(*2)}及 S={f(x)∈F~(*2)|x∈F},並计算了它们元素的个数;(2)当 F 为有理数域,我们讨论了整系数二元二次型 f(x,y)取平方值问题.考虑方程 f(x,y)=z~2。如它有一整数解,则必有无限多不等价的解,所有的解都可通过变换τ_a 简单地得到:(3)当 F 为实数域,我们得到一族条件不等式.     

关于分数(g,f)-2-覆盖图

设G是一个图,并设h是定义在图G的边集E(G)上的一个函数,使对任意的e∈E(G),有h(e)∈[0,1]。令dhG(x)= x瘕?h(e),则称dhG(x)是G中顶点x的分数度。若h满足对任意的x∈V(G),有g(x)≤dhG(x)≤f(x),则称h是G的一个分数(g,f)-因子。一个图称为分数(g,f)-2-覆盖图,如果对图G中的任何两条边e1和e2,G都有一个分数(g,f)-因子h满足h(e1)=1和h(e2)。本文给出了一个图是分数(g,f) 2 覆盖图的充分必要条件。     

非线性退化的Kirchhoff方程的局部解

讨论非线性退化的Kirchhoff方程u′′-M(│▽u│2)Δu βu′ g(u)=f,(x,t)∈Q=Ω×[0,T]的局部解,且有初值条件u(x,0)=u0(x),u′(x,0)=u1(x),运用Penalty方法和Galerkin’s逼近,得证方程存在唯一局部解.     

关于具有激发項的二阶微分方程的周期解的存在性

1.引言考虑微分方程(1)■ +f(x,■)■+g(x)=e(t),一或与它等价的方程组(2) ■=y,■=-f(x,y)y-g(x)+e(t).其中函数f(x,y)与g(x)关于其自变量处处连续,e(t)是周期为T的连续函数,并且它们还满足某种足以保证(2)之解为初值唯一确定的条件. 本文的目的在于建立方程(1)的周期解的存在性的充分条件.本文的结果完全包括了N.Levinson在1943年所发表的关于方程(1)的周期解的存在性的结果,就方程(1)而言,本文也包括了Reuter在1952年所获得的结果. 2.关于(2)的周期解的存在性的一些结果以及其证明定理1.若方程组(2)适合下列条件: