一类递推数列通项公式的求法

本文对于由公式an 1=pan qan-1(n≥2)所给出的递推数列，如何求其通项公式给出了一般性方法。     

欧拉公式e~(θi)=cosθ+isinθ在三角中的应用

欧拉公式应用很广。中学教材只提出了此公式和指数式与复数三角式的互化。本文就其在三角中的应用作一些探讨。一、基本公式由欧拉公式eθi=cosoθ＋isinθ容易推出二、应用举例1、求三角表达式的值。＿＿。＿I。3S！llHWeS！ill4tedcosx－cos3x值：由tgx—a。e”－e－”’一al（e“‘＋e－“’）代入上式消去（e“＋e”）2、证明三角恒等式：。：。、、。。ctxxis！nx为方便计算令下一0，原式变为ig36－3、解三角方程：解：把x一1200－x代入②得：s！nxSlfl（IZ’－ie）由欧拉公式得：—、—。一。一卜一1800k＋goo卜—－18O”＋3O”由…     

试论差比数列方程的解法

就差比数列方程an 1=qan d(q≠1,d≠0)的解法进行了探讨、研究、总结,给出了五种解法,即特征方程法、待定常数法、降标作差法、降标乘q法及递推法.由此可以看出初等数学解决问题的技巧性与灵活性,及未知向已知转化思想.     

分式递推数列x_(+1)=Ax+B+C/(X_n),x_1=K,(AC≠0)的变换性质

2‘资+au、+西斌麟数列“一-一五再不~,“‘一’,介0的求通项问题尚未完全解决。为利于这一问题的探讨,本文研究递推数列 x十;一Ax:十B十C/x。,二:一K,(AC特0)的变换性质.实际上,利用简单的线性变换即可将(1)变为(2). 首先假定递推数列(2)的特征方程、~Ax十B一卜c/x(AC铸0)有两相异根a,吕.显见,哪铸0.(1)(2) 定理1递推数列(2)满足的充分必要条件是A一告,B一。X,十生一ax二+,一另=(兰二q、2 、丫一吕,(3) 定理2递推数列(2)的通项为x的充分必要条件是(3)式成立,一;+‘日一,/[(寒)“一‘一1〕(4分式递推数列x_(+1)=Ax+B+C/(X_n),x_1=K,…     

到数和不等式的几个结论

在教学中经常碰见型如px＋q/x（x,p,q〉0）的代数式，它在递推数列的求通项，函数的求最值，特别是在不等式证明中有着重要的地位．文（1）给出了一个不等式（见参考文献）：“设a，     

递推数列的极限教学

有许多问题可以转化为递推数列,不仅如此,求递推数列极限的过程本身又包含着丰富的内涵.     

例谈运用均值代换解题技巧

均值代换是一种易于理解的解题方法 ,它能使解题过程简明流畅 ;但是构造恰当的“均值代换”需要技巧 ,以下列举数例说明这种代换的一般作法。一、在数列中 ,当有 xn yn=2 f(n)时 ,可设 xn=f(n) tn,yn=f(n) -tn,或 xn=f(n) (1 tn)yn=f(n) (1-tn)例 1　已知数列 { an}中 ,a1 =3,an 1 =an22 (an-1) ,(n≥ 1) ,求数列的通项 an。解 :由递推式得　an2 2 an 1 =2 anan 1　　设　 an2 =anan 1 (1 tn) 1　　　　　　　　　　　　　　 2 an 1 =anan 1 (1-tn) 2　　　　　　　　　　由 1得　 an=an 1 (1 tn) 3　　　　　　　　　　由 2…     

k次Lucas数列{L_n~k}_(k=1)~∞线性递推关系及其在矩阵中的应用

证明了k次Lucas数列{Ln^k）k=1^∞中连续的k＋2个数之间的线性递推关系，并给出公式及其在Lucas数列矩阵中的应用．     

广义Fibonacci数列的通项

著名的Fibonacci数列|Fn|，其中F0=F1=1，Fn 1=Fn-1，(n=1，2，…)，在许多实际问题中都有着极其广泛的应用．Fibonacci数列通项的得出方法多种多样．在文献[2]用生成函数的方法得出了Fibonacci数列通项的基础上，将Fibonacci数列由各项取自然数推广至各项取任意实数，得到广义Fibonacci数列，其中R0=a，R1=b，Rn 1=uRn-1(n=1，2，…)．其中a，b，u，v∈R．并用生成函数的方法得出推广后的广义Fibonacci数列的通项．希望这种方法可应用在求有关递推数列的通项中．     

不等式a~2 b~2≥2ab的探讨

在现行高中（代数》课本中，有一个重要定理：如果a，b6R，那么a‘＋b’ZZab（当且仅当。＝b时既‘＝”号）。它的推论为．如果。bCR＋．那么一。／筋（a＝b时既‘＝”号）。“一”－“－”““’““”“‘””““““”””—一’—“““’””’一2＞’——”一—“””这个定理及推论有着广泛的应用，特别在求最大值和求最小值时，用起来较为方便。但是学生在使用时往往忽视取等号的条件。例如：丁V＝＝Sll－I－——（＜X＜7）guffe／J＼沮。＾。。。4＿／．4。。，，、，。。。。、，。，。。。4、。。学生会直接用st。＋＞三＞…     

在电子计算机上实现Routh判据

将谢绪恺的“关于 Ｒｏｕｔｈ判据的一点注记”一文中的无除法运算的 Ｒｏｕｔｈ（卢 斯）表格、推导为一组递推公式： 这组递推公式仅用系统的特征多项式的系数实行加、减、乘法运算，而无除法运算． 得到一个用这组递推公式表示的无除法的Ｒｏｕｔｈ 判据： 多项式Ｐ（λ）＝α０λｎ＋α１λｎ－１＋α２λｎ－２＋…＋αｎ－１λ＋αｎ为Ｈｕｒｗｉｔｚ多 项式的充要条件是：递推公式（＊）成立且与α（ｉ，０）＞０（ｉ＝０，１，２，…ｎ）同号。 将其在电子计算机上实现，结果表明该算法简捷、实用、快速准确。     

一类递推数列公式的一般求解方法

随着新课标高考的逐步推进,对于数列问题的求解在高考中占着越来越重要的地位.本文,基于矩阵对角化思想,针对的数列通项给出了一般求解方法.根据本文提供的算法,可以把矩阵对角化的思想推广到求解递推数列公式,达到将复杂的递推数列公式进行简单的求解     

齐次线性递归数列的向量描述

当p1，p2，…pk，为常数（pk≠0）时，由an＋k=p1an＋k-1＋p2an＋k-2＋…＋pkan确定的所有k阶齐次线性递归数列的集合是一个k雏线性子空间，可用线性表示的方法得到它的通项公式。     

浅析数列通项的求法

数列是高中数学中很重要的内容之一,是高考的热点和重点.数列中蕴含着丰富的数学思想.数项的通项问题具有很强的逻辑性,是考查逻辑推理和转化化归能力的好素材,因此也成为近几年高考的热点.下面针对近些年高考对递推数列的考查,对通项公式的求法作出归纳.     

一类数列求通项问题的矩阵解法

数列在中学数学竞赛和数学建模等一些重要领域都有非常重要的应用.此研究尝试从矩阵的角度来解决一类递推关系为多元一次方程组的数列{an(1)},{an(2)},…{an(t)}的通项问题,有助于拓宽数列求通项的方法。     

迭代加权平均值问题初探

本文对两个数和三个数的算术迭代加权平均值，几何迭代加权平均值、调和迭代加权平均值这一类极限作了一些探讨，给出了这类极限的计算公式。1．两个数的选代加权平均值定义1设x1＝a，x2一b，x。一o一户）x。－l十户x。。（n＞3，0＜户＜I），称数列（X。）的极限为a到b的算术迭代加权平均值，记作AP（a，b）为计算A户（a，b），我们先来求（。｝的通项公式，由数列｛x。｝的递推方程可得人一人一；—－p（x。－；－x。－。）（n＞3）即数列｛x。－x。－；｝是公比为一户的等比数列，它的前n—1项之和为将x；一a，x。一b代入上式即得｛x。…     

巧用排序原理证国内外不等式竞赛题

[排序原理]：设有两个数组，a1≥a2≥……≥an，及b1≥b2≥……≥bn．侧有：（顺序和）（乱序和）……①（逆序和）……②其中，j1，j2……jn是1．2……n，。的任一排列，当且仅当a1=a2=……=an，b1=b2=……=bn时“=”号成立，（对人，j。，j3……j一的任一排列均成立）．证明：不妨设乱序和S中人一切若人一。，则看人；），且在和S中含有项a＊b．则：。／一十。入，＜。‘。＋。／．事实上，右一左一（。－。，）（八一切．）2小…·伊由不等式（③知人一n时，调换X一。I勿，＋……。。勿。＋。山中bJ．位g（其余不动》．所得和几＞S，…     

质点的速度及加速度在极坐标系中的推导及应用

设质点的运动学方程为厂一个），P二千（t），质点位置矢量可写作关径厂与径向单位矢量多的乘积，即r二个。则质点速度为：drd（rs）dr－dr＿drdo－，。t．＿，。dr、doc。r一Z二失＞一行十r壬，把王一主～代人上式得：r＝＞＋r尖4＊＊d丈d土d土d＊d土‘－－d土d土‘＝V／＋UFgvth。dr。。。。。。。。op。。。。。。。。。＋，；、。f7ryryZ。。。。””’－”dt’一”“————”“——－””dt一””————””——————”””““””””r”Y————”“”“向：t。n。＝Th在极坐标系中，质点的加速度为：vr“”。r。U－r（…     

对称多项式理论在初等数学中的应用

运用对称多项式基本定理解决下面问题：若已知一元n次方程xn＋a1xn－1＋…＋an-1x＋an＝0的根之间的关系，则可推导出方程系数a1,a2…,an＝0之间应满足的关系．     

调和数列的n项和

所谓调和数列,就是其倒数成等差数列的数列。我们知道它的最简单情形的n项和有公式:l,二一十j…… 工=c。 l:。 。。其中 l主mn峥 co〔=0,C。是欧拉常数且C。 月一:竺母二(万令一‘二)=。·5772‘566‘’“‘’本文将研究一般的调和数列n项和的公式.设数列1 11可,不,可a,,(l)为调和数列,其中al>0;a。卜z》a二,n二1一2,35则数列a口。=口laZ一口s,’‘’a一,…就成等差数列,设其公差为d=a。*;一a.,并设一d,因此a,二a nd,n=1,2,3,而且a。“ d“子。设P:为调和数列(1)的n项和,即 一,己 一nJ.二一小. 一a 十 。_1上,一一-I- a。 d la。 Zd显…