关于二元函数的三角插值逼近

目的为克服Lagrange插值多项式不能对任意连续函数都一致收敛的问题,构造了一类二元乘积型三角插值多项式算子使得该算子在全平面上能够一致收敛到每个以2π为周期的二元连续函数。方法通过对Lagrange插值三角多项式的平移与组合,在已有成果的基础上做了推广,构造了一类形式较为广泛的二元乘积型三角插值多项式Tmn（f;x,y）=∑k=0^2m∑l=0^2nf（xk,yl）mα^k（x）mβ^l（x）,进而讨论了该算子的逼近性质。结果／结论证明了该算子在全平面上一致收敛到任意以2π为周期的二元连续函数,并且对C2π,2π^s,r（s≤α,r≤β）函数类的逼近均达到最佳收敛阶,即,当f（x,y）∈C2π,2π^s,r,s≤α,r≤β,成立｜Tmn（f;x,y）-f（x,y）｜=O{Emn^＊（f）＋1/m^sω（ ^sf/ x^s;1/m,0）＋1/n^rω（ ^rf/ y^r;0,1/n）＋1/m^s1/n^rω（ ^s＋rf/ x^s y^r;1/m,1/n）}。     

在全平面上用变形的Landau多项式和Бернштейн多项式逼近无界连续函数的渐近估计

§1.引言1959年 Stancu 研究了在三角形区域 x≥0,y≥0,x+y≤1上的二元多项式(第二型),并且对于具有连续的二阶偏导数的函数 f(x,y)还给出了逼近的渐近公式     

用动态规划解最佳平方逼近问题

本文提出了用动态规划解最佳平方逼近问题:对于[a,b]上的连续(或可积)函数f(x),用n(给定)段m次多项式P_m(x)(分点x_1,x_2、…x_(m-1)待定)作最佳平方逼近min sum from i=1 to n(integral from x_(i-1) to x_i([f(x)-P_m(x)]~2dx)这种方法比用固定分点情形的分段m次多项式的平方逼近效果更好,而且在应用中有其实际意义。为了说明解法,本文还给出一个简单例子。     

关于满足Lipschitz条件的以2π为周期的连续函数的逼近度

如所周如,如果对于任意的两点x和y,|f(x)-f(y)|≤K|x-y|(?),则说f(x)满足以α为指数K为系数的Lipschitz条件.记作f∈Lipkα.在系数K可以任意的情形,简记作Lipα.考虑以2π为周期的连续函数f(x),设f的阶不高于n的三角多项式最佳     

关于数论函数σ(n)的一个注记

对于两个不相同的正整数m和n,如果满足σ(m)=σ(n)=m+n,则称之为一对亲和数,这里σ(n)=∑d|nd。本文给出了f(x,y)=x2x+y2x(x>y≥1,gcd(x,y)=1),当x,y同为奇数时,f(x,y)和f(x2,y)不与任何正整数构成亲和数对的结论。     

两个切触有理插值逼近算子

本文构造了两个切触有理插值逼近算子Hn(f;x)和Gn(f;x)。它们分别基于Hermite-Fejer插值多项式Hn(f;x)和Grunwald插值多项式Gn(f;x)。主要证明了当f∈c[-1,1]时,有|Hn(f;x)-f(x)|=0(1)Wr(1/n)(n≥2) |Gn(f;x)-f(x)|=0(1)Wr(1/n)(n≥2)其中Wr(δ)是f(x)的连续模。显然它们的逼近阶优于Hn(f;x)和Gn(f;x)的逼近阶[1]。     

关于（0,2）型插值多项式逼近

设n是偶数,P_(n-1)(x)是Legendre多项式,R_n(f,x)是以(1-x~2)P~(?)_(n-1)(x)的零点为基点的所谓(0,2)型插值多项式。本文构造了两个函数类H_(ω_2),H_(ω_1)~*,研究了R_n(f,x)逼近H_(ω_2),H_(ω_1)~*中函数f(x)的阶,并且验证了所给出的逼近阶是最佳的。     

具有不变直线的可积非Hamilton系统的极限环分支

研究如下扰动可积非Hamilton系统x=-y(ax~2+1)+εf(x,y),y=x(ax~2+1)+εg(x,y),其中,a0,0︱ε︱1,f(x,y)和g(x,y)是关于x、y的n次多项式.应用平均法得到该系统至少存在[n-1/2]+[n+1/2]个极限环.     

二元Λ有界变差函数的一些性质

设f(x,y)是对每个变量都是以2π为周期的实函数,首先给出了二元Λ有界变差函数的概念.在区域T2=[-π,π]×[-π,π]上讨论二元Λ有界变差函数f(x,y)的Fourier级数的系数∧f(m,n)阶的估计.若f(x,y)∈ABV(T2)在(0,2π]×[0,2π]区域上连续,给出并证明了f(x,y)的Fourier级数绝对收敛的充要条件.     

矩阵Khatri-Rao积的推广

由x,y的n次多项式f(x,y)=n∑i,j=0aijxiyj给出f(x,y)的广义Khatri-Rao积f(A,B)=n∑i,j=0aijAi◇Bj,得到f(A,B)的特征值的分布,推广了已知的一些结果.     

基于双二次B样条的拟插值算子的构造

对数据点{(xi,yj),f(xi,yj)},(i=0,1,…,n;j=0,1,…,m),应用双二次B样条基函数构造了一种双变量拟插值算子(Lf)(x,y),证明了算子(Lf)(x,y)具有二次多项式再生性,并给出了其逼近误差,最后通过数值模拟说明了该算子的可行性.     

一类Lagrange插值多项式的两个结论

讨论以xk=coskπ/n(k=0,1,...,n)为节点的Lagrange插值多项式逼近[-1,1]上的光滑函数f(x)时的逼近度.若f(x)是高阶多项式时,误差公式中出现一类三角函数的和数,本文给出此类和数的代数表达式.     

联合插值限制的实值函数的L2逼近

我们构造一个m次多项式p_(m,n),它是一个在给定的几个不同的结点上对已给实函数f∈L_(1.w)~2。进行联合插值,满足P_(m,n)（x_i）=f(x_(i)),P_(m,n)＇=f＇(x_(i)),i=1,...,n在L_2范数下,在f的所有同样性质的插值多项式中,它又是f的最佳逼近,并且得到当f∈c[a,b],m→∞,‖p_(m,n)-f‖→0。     

对函数方程f(xm+y+f(n)(y))=2y+(f(x))m的研究(1)

主要提出了如下函数方程问题：设m,n是正整数，试求出所有的函数f：R→R，使得对于任何的x,y∈R，都有f(x^m y f(^n)(y))=2y (f(x))^m。本文采用“算两次”方法对第40届IMO的第6题（确定所有的函数f:R→R，其中R是实数集，使得对任意x,y∈R，恒有f(x-f(y))=f(f(y)) xf(y) f(x)－1成立）给出一个新的解法，对本文所是问题的一种特殊情形“m=2且n=1”给出了完整的解答。另外，还提出了一些相关的函数方程问题。     

二元Bernstein多项式的若干结果

设f(x,y)是定义在Δ={(x,y)|0≤y≤x≤1}上的函数,与它相应的二元Bernstein多项式定义为     

基于Jacobi多项式零点的拟Grünwald插值算子

考虑基于一般Jacobi多项式Jn(x)=J(α,β)n(x)(0≤α,β<1)零点∪{-1,1}的拟Grünwald插值多项式G*n(f,x),证明了G*n(f,x)在(-1,1)内几乎一致收敛于连续函数f(x),并给出点态逼近估计.     

Caputo分数阶微分方程初值问题解的存在性与惟一性

研究了Caputo分数阶微分方程D*n0y(x) =f(x,y(x))的初值问题,其中微分方程的阶数n∈(0,1),函数f(x,y(x))满足一定的可积条件,在相对较弱的条件下利用皮卡逐步逼近法证明了解的存在性与惟一性.最后给出一个例子说明了结果的可行性.     

Legendre零点为节点的Hermite-Fejér插值

关于Legendre多项式零点为节点的Hermite.Fejer插值算子,文[1]指出,对于f(x)∈C[-1,1],在(-1,1)的任意内闭区间上,H—F算子一致收敛于f(x)。由于Legendre多项式零点不像Tchebyshev多项式零点那样能用显式表出,因此,对其逼近阶的估计稍为困难.崔明根在[2]中给出的逼近阶估计为O(1)1/(1-x~2)ω(f,1/(n~(1/2)))本文给出进一步估计,得到逼近阶为O(1)1/(1-x~2)ω(f,(lnn)/n),这里ω(f,δ)的为函数f(x)连续模。记1>x_1~(n)>x_2~(n)>…>x_2~(n)>-1为n阶Legendre多项式L_n(x)的n个零点,{C_k~(n)}_k~n=1为[-1,1]上Legendre-Gauss数值积分系数,则有     

关于多重Fourier级数的线性求和

设Q={(x,y)|—π≤x,y≤π}。L(Q)表示在Q上可和且对于每个变元都以2π为周期的函数的全体。设λ(x,y)是支集(函数取值不为零的点的集合的闭包)有界的二元连续函数。由λ(x,y)产生一个线性求和法τ_(m.n)~λ(m,n=0,1,2,…)。它是L(Q)到(m,n)阶三角多项式集的线性算子:     

一类Poincaré系统的中心条件及极限环个数

考虑了形如x=-y x(a f1(x,y) fn(x,y)),y=x y(a f1(x,y) fn(x,y))的Poincaré系统,这里fn(x,y)是n次齐次多项式,得到了当n=4,5,…,8时系统的中心条件及细焦点的阶数和极限环个数。