古典数学名著《九章算术》刘徽注中的千古疑谜——刘徽级数

世界古典数学名著《九章算术》代表着古代东方数学的特色,反映了数学应用的广泛性。公元263年中国杰出数学家刘徽注《九章算术》“方田章弧田术”时,创造性的运用数列极限思想和出入相补原理的知识提出了一个无穷级数,这是值得称道的。为了纪念刘徽在数学上的卓越贡献,本文命名为刘徽级数。1700多年来,《九章算术》与刘徽注一直都很受重视。特别近年来,许多学者进行了专题研究,把这项工作推向新的高潮。目前对于刘徽级数中“算数差繁”、“必欲有所寻究”尚未论及。本文获得刘徽级数的两种等价表达式,即初等函数表达式和幂级数表达式。     

《九章算术》和法家路线

《九章算术》(以下简称《九章》)是我国最古老的数学经典之一。它大约编纂成书于东汉初,著者不详。《九章》反映了我国由奴隶社会向封建社会过渡时期的数学成就。《九章》收集了二百四十六个应用问题。它包括了算术、几何、代数这几方面的内容,分属于“方田”、“粟米”、“衰(音:摧)分”、“少广”、“商功”、“均输”、“盈     

论"盈不足术"与"弦位法"的一致性

我国数学史上有一部堪与古希腊欧几里德的《几何原本》相媲美的书,这就是被尊为算经之首的《九章算术》,《九章算术》中第七章“盈不足术”是中国古代数学中独立创造的解决数学问题的一种杰出算法,而这种算法被西方人称之谓“弦位法”或“双设法”.从实例出发,阐述“盈不足术”与高等代数中“弦位法”的一致性.     

关于中国数学史及单叶函数论的一些研究

一、古代传统数学理论之新探索中国古代传统数学源远流长,成就辉煌,对于世界数学的发展有着深远的影响。历代数学典籍卷帙浩繁,理论创作丰富多彩。近世中外学者发掘整理,苦心搜求。尤其近年来,中国数学史的研究蓬勃开展,对传统数学理论之认识日益深刻。笔者仅就其中几个方面略抒一己之管见。(一)关于《九章算术》与刘徽的研究《九章算术》是我国流传至今最早、也是最重要的一部数学典籍。它承前启后,一方面总结了秦汉以前的数学成就,另方面又成为汉代以来达两千年之久数学研究与创造的源泉。特别是三国时期魏刘徽的《九章注》,对数学理论多所阐发,影响极为深远。《九章算术》及刘徽注,堪称东方数学的代表作,足可与古希腊欧几里得《儿何原本》相提并论,东西辉映。     

论《九章算术》原文的推类思想

不仅《九章算术》已经初步形成“以类合类”逻辑思路,而且“推类”思想在《九章算术》中有深入的应用,可见中国古代数学在这一时期开始形成自己的逻辑思路特色。     

儒法斗争与魏晋南北朝时期的数学

魏晋南北朝时期的我国古代数学,在秦汉的基础上,得到了新的发展。据《隋书·经籍志》的记载,当时的数学书已达二十七种之多。魏晋时期的刘徽不仅用“析理以辞,解体用图”的科学方法,重新整理了我国古典数学名著《九章算术》,对我国古代数学的发展作出了重要贡献,而且从他所创立的“割园术”中,已经可以看到现代积分学思想的萌芽。南北朝时期的祖冲之关于园周率的计算,有效数字已经达到七位,这是当时世界上的最高水平;他所得到的     

运用问题行为图解读古代算术问题的求解过程

中国古代算术,体现出算法化的优秀数学思想,《九章算术》是中国现存一部较古老的数学经典专著,其采取术文统率例题的形式.本文主要用问题行为图的方式对中国古代算术进行分析、解读,帮助人们从思维的角度来理解古代算术问题的求解过程,从而进一步表明了中国古代算术对后世中、外发展具有深远的影响.     

《九章算术》开方术今释

大约成书于东汉初年（公元50年-100年）的《九章算术》，是现有传本的中国最古老的数学经典著作D‘。其中少广章记载了迄今所知的我国最早的开方术。从两晋南北朝至宋元的千余年间，这一开方术始终是我国高次方程数值解理论发展的重要源泉。公元三世纪，伟大数学家刘徽对《九章算术》开方术作了忠于原著的注释（以下简称《激注｝）［’］。但由于开方术文辞简晦，且困于表达工具及古今概念之差异，因此不论是《九章算术》开方术术文还是刘徽注文，措辞不能完全达意是难免的。故自魏晋刘微之后，历代中算家也相继作了不少注释或评述‘”［’…     

沈康身等著《英译〈九章算术〉 及其历代注疏》

西方最早是通过毕瓯和伟烈亚力的有关介绍了解到《九章算术》部分内容的。三上义夫的《中日数学发展史》则将此书更多的内容介绍给了西方。别列兹金娜和福格尔的译本则成了西方了解《九章算术》最重要的参考文献，但两者均不含刘徽、李淳风注。沈康身、郭树理和伦华祥合作完成、牛津出版社和科学出版社联合出版的《英译〈九章算术〉及其历代注疏》是迄今最完整的《九章算术》译本。文章对该译本的内容、成书过程、特色和学术成就作了评述，认为该书为今后中国传统数学著作的西译建立了一种模式，具有重要的历史意义。     

花拉子米《代数学》探源

关于花拉子米《代数学》的来源,历来科学史家都持有不同意见.笔者从《代数学》的形式、内容、修辞及方法等方面与古代东、西方的有关论著作了比较,并对各种不同观点进行对比分析,得到一些初步认识:《代数学》中所讨论的一次和二次方程以及某些运算技巧可能源于巴比伦.花拉子米对第四种二次方程的讨论,使用的“三率法”,对圆周率的计算以及某些术语可以在早期传入阿拉伯的印度典籍中找到出处,而在这些数学知识中有一些可能是远源于中国的(比如“三率法”).花拉子米讨论一元二次方程时所采用的算术解法与几何论证相结合的方法似乎是受希腊人推崇几何学的观念的影响,但经过仔细分析,认为他的几何证明本质上区别于欧几里得的“几何代数”,而与中国古代的“出入相补原理”更相像.通过与丢番图《算术》的比较,发现它对《代数学》没有直接的影响.《代数学》中几何篇章的内容完全是古希伯来人的一部《测量准则》的翻版,而后者中又有大量题材来源于海伦的《度量论》———一部反映了亚历山大后期希腊数学特点的著作.我们认为,在《代数学》中比较突出的反映出东西方数学并存、但以东方数学传统的影响更为突出的特点.事实上,花拉子米可能通晓中东、近东、巴比伦以及古代希腊罗马的科学遗产,他博采众长,非常明智地吸收了东、西方不同数学源泉中的合理因素,从而创造性地完成了他的代数学著作.     

中国、印度和阿拉伯国家应用负数的历史的比较

人类对负数的认识和应用是数系扩充的重大步骤,负数的产生和应用不仅推广了算术的范围,而且为代数学的发展拓宽了道路.中国是世界上最早应用负数的国家,在《算数书》中就出现了负数概念及其加、减法运算,而在《九章算术》的方程章中则明确给出了正负数概念的定义和正负数的加减法则.印度人对负数的应用最早见于婆罗摩笈多的著作,他不仅给出了正负数的加减法则,还建立了正负数的乘除法则.一般认为,阿拉伯人不使用负数,但这似乎不符合东方人对数的概念的发展的认识规律.在20世纪50年代,有学者发现10世纪的艾布·瓦发在他的一种算术手抄本中应用了负数.本文对中国、印度和阿拉伯国家应用负数的历史进行比较分析,指出三者都是在"负债"、"不足"等意义下引入负数概念的,但在应用上却沿着不同的途径发展.文章还对阿拉伯人较少应用负数的原因进行了分析.     

矩阵的追迹与范数(一)

本文是笔者的续作,目的是建立矩阵上追迹与范数两个重要概念之间新的关系式及其应用。一、矩阵简史与概念矩阵在中国具有悠久的历史。古典数学名著《九章算术》的现传本约为公元一世纪的作品,该书“方程”一章中,不仅用算筹把     

东方古算 重放异彩──评介李继闵《九章算术校证》

东方古算　重放异彩──评介李继闵《九章算术校证》继《东方数学典籍（九章算术）及其刘徽注研究》出版后，陕西科学技术出版社又出版了李继闵先生的《九章算术校证》一书，这是近年来陕西科技出版社为整理出版东方数学经典所做的一项重要工作。《九章算术》是我国古代最...     

中算“四舍五入”源流考

中国对分数、小数采用“四舍五入”是比较早的,们究竟什么时候开始使用“四舍五入”认识尚不统一.李迪、白尚恕先生认为《九章算术》均输术中已应用“四舍五入”.按此观点,中算中采用“四舍五入”至少可以溯源到《九章算术》成书的公元一世纪.况且,一般认为《九章算术》均输章记述的是汉武帝时的史实,因为《汉书·     

花拉子米《代数学》探源

关于花拉子米《代数学》的来源，历来科学史家都持有不同意见．笔者从《代数学》的形式、内容、修辞及方法等方面与古代东、西方的有关论著作了比较，并对各种不同观点进行对比分析，得到一些初步认识：《代数学》中所讨论的一次和二次方程以及某些运算技巧可能源于巴比伦．花拉子米对第四种二次方程的讨论，使用的“三率法”．对圆周率的计算以及某些术语可以在旱期传入阿拉伯的印度典籍中找到出处，而在这些数学知识中有一些可能是远源于中国的（比如“三率法”）．花拉子米讨论一元二次方程时所采用的算术解法与几何论证相结合的方法似乎是受希腊人推崇几何学的观念的影响，但经过仔细分析，认为他的几何证明本质上区别于欧几里得的“几何代数”，而与中国古代的“出入相补原理”更相像．通过与丢番图《算术》的比较，发现它对《代数学》没有直接的影响．《代数学》中几何篇章的内容完全是古希伯来人的一部《测量准则》的翻版，而后者中又有大量题材来源于海伦的《度量论》——一部反映了亚历山大后期希腊数学特点的著作．我们认为，在《代数学》中比较突出的反映出东西方数学并存、但以东方数学传统的影响更为突出的特点．事实上，花拉子米可能通晓中东、近东、巴比伦以及古代希腊罗马的科学遗产，他博采众长，非常明智地吸收了东、西方不同数学源泉中的合理因素，从而创造性地完成了他的代数学著作．     

中国早期数学与古希腊数学形成不同体系之因素初探

中国早期数学是指从远古原始社会开始直到公元一世纪初这一漫长的历史时期中,我国人民积累、发展起来的数学。古希腊数学则是指起源于公元前二千八百年、消亡于公元后七世纪的古希腊文明史中的数学,其鼎盛时期约为公元前七世纪至公元一世纪初。因此,中国早期数学与古希腊数学所经历的历史时期几乎相同。然而,它们却在各自的发展过程中,分别形成了互不相同的独特体系。中国早期数学以《九章算术》为标志形成了以算术、代数和经验几何为基本内容的算法体系,古希腊数学则以欧几里得的《几何原本》为代表形成了以论证几何为主体的演绎体系。这两个数学体系分别影响了     

萨玛瓦尔的《算术珍本》与中国古代数学问题

简要介绍12世纪阿拉伯数学家萨玛瓦尔生平和他的代数著作《算术珍本》．指出在《算术珍本》中所出现的一些可能源于中国古代数学的若干问题．如“二项展开式系数表”、“百鸡问题”和“盈不足术”等．根据这些珍贵的资料．在比较的基础上初步探讨了中阿数学之间的交流．     

《易经》符号与祖国数学

《易经》符号有其丰富的数学内蕴，《易经》是我国有文字记载以来最早的数学著作。它对我国古代数学产生了巨大的巨大影响。直到16世纪，我国的数学在世界上一直居于领先水平，并已接近了微积分的大门。落后的封建制度、帝王的腐败和帝国主义的侵略，使得我国的近代数学未能对世界作出应有的贡献。本文同时对我国古代的数学成就进行了简要的总结。     

从《九章算术》看儒法斗争对我国古代数学发展的影响

伟大领袖毛主席指出:“中国是世界文明发达最早的国家之一”,“在中华民族的开化史上,有素称发达的农业和手工业,有许多伟大的思想家、科学家、发明家、政治家、军事家、文学家和艺术家,有丰富的文化典籍。”《九章算术》是秦汉之际的一部伟大数学著作,     

奥马·海亚姆《代数学》来源初探

奥马.海亚姆的《代数学》是将代数与几何结合起来解决问题的代表作,也是阿拉伯数学中最突出的成就之一.关于它的来源,在国内这方面的探讨还很少见.笔者从《代数学》的内容、方法等方面与古希腊、古代中国以及阿拉伯本土数学家的有关著作进行了比较,形成下面的一些初步的认识.奥马.海亚姆在方程代数解法后附有相应的几何证明以及将三次方程写成齐次方程的形式,这都体现了古希腊几何代数学思想的影响;通过与中国古代著作《九章算术》进行比较,我们发现《代数学》中的开方算法与中国古代方法非常相近,而与印度数学的算法相去甚远.《九章算术》中的内容可能是沿着中国-印度-阿拉伯的路线传到伊斯兰世界,并对阿拉伯数学家产生了间接的影响;同时,他继承了前辈花拉子米关于一元二次方程的解法.事实上,奥马.海亚姆博采众长,非常明智地吸收了东、西方不同数学源泉中的合理因素,从而创造性地完成了他的代数学著作.