波动方程在角形区域上的边值问题

本文给出一维波动方程u_(tt)-c~2u(xx)=0在角形区域上边值问题解的表达式.     

一类Boursinesq方程柯西问题的整体解

§0 引言在研究非线波的传播时,常遇到形如 u_(tt)-u_(xx)-b(u~2)_(xx) u_(xxxx)=0之方程。这就是Boussinesq方程。它的孤立子解及其性质,是人们感兴趣的。这里把此种方程推广为一类更广泛的Boussinesq方程,并研究其柯西问题:u_(tt)-u_(xx)-f(u)_(xx) au_(xxxx)=0 (0.1) u|t=0 =u_0(x),u_(t=0)=u_1(x) (0.2) 本文使用数理方程中熟悉的能量积分法,解决(0.1)-(0.2)的整体解的存在性与唯一性,在讨论中,始终假定u(xt)及它的各阶导数当|x|→∞时趋于零。以下先     

一类非线性二阶退化椭圆型方程的混合边值问题

§1 引言 对于形如下的在区域G的部分边界上退化的二阶线性椭圆型方程(1.1) L_1(u)=y~mu_(xx) u_(yy) au_x bu_y cu=0(1.2) L_2(u)=u_(xx) y~m·u_(yy) au_x bu_y cu=0其中m>0,c≤0,又区域G是由X轴上的部分γ及整个位于上半平面(y>0)的光滑弧Г所围成的有界域。М.В.Келдыш在[1]中首先证明了方程(1.1)的Dirichlet边值问题(问     

一个半线性双曲型方程广义Cauchy问题的反问题

本文讨论了半线性双曲型方程u_(tt)-u_(xx)=F(x,t)+q(x)E(u)的广义Cauchy问题的反问题。在一定的附加条件下,给出了反问题的局部解的存在性、唯一性。     

一类双曲型方程的周期边界问题

本文讨论方程u_(tt)-a_0u_(xx)a_1(u_x)~2mu_(xx)-a_2u_(xxtt)=f(X,t,u_x,u_t,u_(xt))的周期边界问题弱解的存在唯一性。     

一类非线性波动方程的强迫振荡

本文给出非线性波动方程U_(tt)-U_(xx)+F(t,x,u)=0在有限区间的Dirichlet边值问题的时间周期解的存在性。主要结果为定理1.1,其中加在F上的条件(i)～(iii)类似Lovicarova讨论小扰动εF时加在F上的条件。在那里小参数ε对证明解的存在性起着本质的作用。为克服没有ε带来的困难,本文先在小区域Ω_λ=(0,2λπ)×(0,λπ)上求解,然后证明延拓后的函数即是所需求的解。最后讨论一类特殊的非线性方程。这时可适当削弱部份条件,以致容许函数F关于u没有任何单调性,甚至容许F是u的凸函数。     

一类高阶KdV方程的行波复化亚纯解

考虑了一类高阶KdV微分方程u_t+δu~2u_x+βu_xu_(xx)+γuu_(xxx)+ωu_(xxxxx)=0.通过行波变换u(x,t)=w(z),z=x+λt(λ≠0),这类高阶KdV微分方程变为常微分方程w~(4)+δww″+βw'2+γw~3+λw+μ=0,其控制项有4项:E(z,w)=w(4)+δww″+βw'2+γw3.主要结果是运用复方法给出这些常微分方程的3类亚纯解表达式,即椭圆函数解、有理函数解、eαz(α∈C)的有理函数解,并以行波复化modified Sawada-Kotera方程u_t+u_(xxxxx)+5uu_(xxx)+15u_xu_(xx)+5u~2u_x=0,Kaup-Kupershmid方程u_t-u_(xxxxx)+20uu_(xxx)+50u_xu_(xx)-80u~2u_x=0为例说明:除了该文所确定的亚纯解之外,或许有方程还有其他的亚纯解.     

关于几个二阶非线性偏微分方程的Bcklund变换

本文的主要结果为下列三个定理: 定理1 设a,b,c,d为实常数,a>0,b<0。那么方程“u_(xx)+u_(yy)=ae~u+be~(-u)和v_(xx)+u_(yy)=ccosv+dsinv之间有如下B(?)cklund变换:     

第二类混合问题的离散现象

<正>本文讨论方程u_(xx)-x~2u_(tt)+pu_t=0的第二类边值混合问题解的存在性和唯一性中的离散现象。文中证明了当P(?)1,5,9,…时,问题的解是存在且唯一的;而当p=1,5,9,…时,问题的解的存在性遭到了破坏,唯一性也不复成立。或更确切地说,在一定的相容条件下,以及在方程的重特征流形x=0上补充指定适当的数据,新问题的解才是存在和唯一的。     

双曲型方程的一类反问题

本文讨论了确定双曲型方程U_(tt)(x,t)-U_(xx)(x,t)+q(x)(U_t(x,t)+U(x,t))=F_(x,t)中未知系数q(x)的反问题,证明了此类方程柯西问题古典解的存在唯一性,得到了等价于反问题的含未知函数q(x),u(x,t)、U_t(x,t)、U_(tt)(x,t)的非线性积分方程组,证明了其局部解的存在唯一性,从而得到了反问题解的存在唯一性。     

波动方程u_(tt)=u_(xx)在不变群下的不变解

利用PDE在Lie群下的不变性理论研究了波动方程utt=uxx在不变群下的不变解,并给出波动方程在不变群下的不变形式和不变解.     

一类非线性发展方程的显式精确解

文章推广了齐次平衡原则及F-展开法的思想，求得了含有参数的一类具有广泛物理背景的非线性发展方程utt-a1uxx＋a2u＋a3u^3=0的显式精确解，其解主要包括Jacobi椭圆函数双周波期解、钟型孤波解和扭结型孤波解．用该方法求解不仅能获得一些新解而且方法简便，可以为求解其它类似的方程提供借鉴。     

一类强非线性双曲方程组解的存在性和唯一性

本文研究了一类强非线性双曲方程组ｕ＿（ｔｔ）－ｕ＿（ｘｘ）＝ｆ（ｕ，ｖ），ｖ＿（ｔｔ）－ｖ＿（ｘｘ）＝ｇ（ｕ，ｖ）解的存在和唯一性，还证明了解的Ｈｏｌｄｅｒ连续性。     

一类带有强耗散项非线性BBM型方程整体解的衰减估计与熄灭行为

考虑带有强耗散项ＢＢＭ型方程的初边值问题和周期边初值问题。首先用先验估计和Ｇａｌｅｒｋｉｎ方法证明了这二类定解问题整体可解，之后进一步讨论了这种解的衰减和熄灭性质。     

在弹性波导槽中非线性应变波方程的显式精确解

文章应用齐次平衡法求出了在弹性波导槽中非线性应变波方程utt-uxx=14(cu3 6u2 autt-buxx dut)xx的多个显式精确行波解。     

一类广义非齐次BBM方程周期行波解的存在性

研究了一类广义非齐次BBM方程[g_0(u)]_t+[f_0(u)]_x-εu_(xx)-δu_(xxt)=h_0(x-βt)周期行波解的存在性.通过求解显式格林函数,将周期边值问题转化为相应的积分方程来研究.最后,使用Schauder不动点定理得到了该方程周期行波解的存在性,推广了已有结果.     

一类半线性方程孤波解的存在性

本文将文[1]中的结果进行推广,讨论了方程的孤波解的存在性问题,并得到了相应的结果。     

具有奇性的拟线性边界退化椭圆边值问题正解的存在性及正则性

主要研究来自于塑性流体的下列边界退化椭圆问题{u~γu_(xx)+u~γu_(yy)+p(x,y)r~(2α)(x,y)=0,(x,y)∈Ω u|(e)Ω=0, (x,y)∈(e)Ω (P)解的正则性的估计. 其中Ω={(x,y):x~2+y~2＜1}(∪)R~2,γ＞0 ,α≥0,r(x,y)是点(x,y)∈Ω到Ω的边界(e)Ω的距离,p(x,y)定义在Ω(-)上的具有正的上、下界的光滑函数. 本文应用正则化手段及精细的估计技巧,得到了问题(P) 解的存在性及正则性估计.具体的结果是:如果1+α/1+γ＜1/2, 问题(P)的解具有指标为2(1+α)/1+γ的 H(o)lder 连续性;如果1+α/1+γ≥1/2, 问题(P)的解的梯度是有界的. 显然,本文得到的正则性结果比经典的结果更好.     

非线性分数阶微分方程边值问题多重正解的存在性

 研究了非线性分数阶微分方程边值问题 ^cD^α₀₊u(t)+f(t,u(t))=0, 0cD^α₀₊为Caputo分数阶导数.通过Green函数的性质,利用不动点定理得出了奇异和非奇异微分方程边值问题多重正解的存在性的一些理论以及奇异问题的唯一解存在性理论,并给出了相应的例证.     

一类非线性波方程的尖峰孤立子解

根据尖峰孤立子解的特点,提出了待定系数法求非线性方程尖峰孤子解的方法,并利用该方法求出了一类非线性波方程u_t+2ku_x-u_(xxt)+(b+1)uu_x=bu_xu_(xx)+uu_(xxx)-γ·u_(xxx)的几类尖峰孤立子解.几个重要的非线性方程,如CH(Camassa-Holm)方程、DP(Degasperis-Procesi)方程和带色散项的DP方程等,作为该方程的特殊情形也得到了若干新的尖峰孤立子解.文献中已有的结果成为本文结果的特例.本文方法也适用于求其他多个非线性方程的尖峰孤立子解.