以抛物线为特殊积分的二次系统的极限环

平面二次系统(E_2)以二次代数曲线(包括退化情形)为一条积分曲线时的极限环问题,已有不少人进行了研究。主要结果为:当二次曲线为椭圆、一条直线、二条直线(相交、平行或重合)、双曲线这四种情形之一时,分别证明了极限环的存在性、唯一性和不存在性。本文研究剩下的一种情形,即系统(E_2)以抛物线为一条积分曲线时极限环的存在性问题。先给     

具有中心二次曲线解的Kolmogorov型三次系统的极限环

平面n次微分系统(E)_n具有二次代数积分曲线时的极限环问题,已有不少的研究成果,如文献[1—7]。在生态学等生物数学领域中描述两物种相互作用的数学模型常是具有二条直线解的一类n次微分系统(?)_n,称之为Kolmogorov模型:     

具有二次代数曲线解的二次系统

具有直线解的二次系统,极限环的个数问题已经研究清楚。本文进而研究具有二次代数曲线解的二次系统极限环的个数问题,得到的结果是:除椭圆可以是极限环以外,无其它极限环,从而否定了在文献[1]中得出具有双曲线或抛物线解的二次系统可以出现极限环的结论。     

关于平面二次系统的极限环

在平面二次系统的系数构成的十二维参数空间中,我们找到一个六维流形(定理1)和一个五维流形(定理2),使对应的平面二次系统有至少四个极限环。顺便指出,算错了第三个常数的符号,它直接影响到一个极限环的存在性。正确的结果是     

一类平面E3的极限环

当p=q=r=s=0时,(1)式为文献[1]的二次微分系统的I类方程,并已证明:对于任意的a,l,n,I类方程至多有一个极限环;当l=m=n=0时,(1)式为文献[2]研究的平面三次系统,并利用二次型理论,Poincare-Bendixson定理,Levinson-Smith定理得出一系列结论.本文在更大的参数范围内得到(1)式存在极限环的充分条件.作地形系.当n~2 4s<0时,(3)式是一族包围原点的闭曲线;当n~2 4s≥0时,(3)式以P为分界线,当C>φ(k)时,λ(x,y)=c是一条围绕原点且包含Γ于其内部的闭曲线,当C<φ(k)时,λ(x.y)=c是由两个互不相交(可能重合)闭分枝组成,分别位于Γ内部.借助Poincar(?)-Bendixso定理和无穷远的方     

一类代数极限环个数的上界

对平面多项式系统,如果一极限环又是代数解的实闭分支,则称此极限环为代数极限环。这类极限环的个数问题迄今未有人研究过。本文应用代数几何的知识得到了下述初步结果: 定理对非退化的m次平面多项式系统,对应于只以通常二重点和尖点为其非光滑     

“以抛物线为特殊积分的二次系统的极限环”一文的注记

文献[1]研究了二次系统具有抛物线解时极限环的存在性问题,把所有有可能存在极限环时的此类系统分为以下两种形式(本文均按照原文记号),即     

从鞍点分界线圈分支出极限环的条件

本文研究了从中心区域的一条两端均通往无穷的分界线产生极限环的模式,并对这一模式给出了产生极限环的条件。考虑系统 (?)=P_0(x,y) εP_1(x,y,ε),(I_s) (?)=Q_0(x,y) εQ_1(x,y,ε),其中P_0,Q_0是多项式,其最高次齐次多项式都是m次的。P_1,Q_1是至多m次的多项式。     

二次系统(Ⅱ)_(m=0)的极限环之唯一性问题

文献[2]暗含奇点O外围的极限环或(A)位于过鞍点M的分界线围成的区域中(称O外围的极限环由奇点M决定);或(B)位于过鞍点N的分界线围成的区域中(称O外围的极限环由奇点N决定)。对情形(A),文献[2]用无切直线方法给出了方程(1)至多有一个极限环的一些参数条件。对情形(B),文献[2]除了举出当δ取某些值时,O外围至少出现2个极     

亚纯函数的奇异方向与局部特征的等价

关于亚纯函数的Borel 方向的存在性,首先由G.Yaliron 得到定理A 设f(z)为开平面上ρ(O<ρ<+∞)级亚纯函数,则存在一条从原点出发的半直线B:arg z=θ_0(0≤θ_0<2π),使得至多除去两个例外的复数,对于每个复数a 和任意正数s,有sum from r→∞to —logn(r,θ_0,ε,f=a)/logr=ρM.Biernacki 建立了定理B 设f(z)为开平面上ρ(0<ρ<+∞)级亚纯函数,则存在一条从原点出发的半直线B:argz=θ_0(0≤θ_0<2π),使得至多     

E_n的焦点量与一类Poincaré分枝

本文对含小参数ε的实平面n次系统■证明了同心圆的Poincaré分枝完全由焦点量决定,且由此产生的极限环的最大个数为M(n)——E_n细焦点的最高重次。本文还对E_2(ε)及缺二次项的三次系统E_3~((3))(ε)依次给出了由上述分枝产生3个及5个极限环的实例。     

关于“三维弱同宿吸引子的判别准则”一文的反例

同宿环的稳定性在研究同宿分支时起很重要的作用.对于平面系统,这一问题已有不少结果(见冯贝叶,中国科学,A辑,1991,(7):673—684);嗣后《科学通报》(1992,37(21):1935—1937)发表了孙建华的“三维弱同宿吸引子的判别准则”,其中研究三维系统x=F(X),X∈R~3,F∈C~2.假设此系统有同宿环L.孙建华首先定义了“弱吸引子”的概念:定义1 弱吸引子(弱排斥子)是一个不可分解的闭不变集L,满足如下性质:给定ε>0,在L的ε-邻域中存在Lebesgue测度为正的集合U,使得只要X∈U,则X的ω(α)极限集就包含在L中,且X的前向(后向)轨道O~ (X)(O~-(X))就包含在U中.     

平面三次微分系统多重Hopf分枝的环性:M(3)≥7

近年来,英国数学家M.G.Lloyd等三人,中国奥地利访问学者D.M.Wang和刘一戎等先后给出不同的例子证明,平面三次多项式微分系统至少存在六个小振幅极限环,即由原点产生的多重Hopf分支的环性(Bautin意义下)值M(3)≥6。 我们研究具有中心型奇点的N次多项式系统的一次非线性unfolding系统(n>     

曲线上微分算子环的Stafford-Smith问题

设XM特征为零的代数闭域k上的仿射代数曲线,O(X)表示X上的正则函r,D(X)是X上微分算子环,H(X)是D(X)的导出Artin代数.Stafford-Smith在文献[1]中提出如下两个问题:Stafford-Smith问题Ⅰ:D(X)是否有无限的总体同调维数?Stafford-Smith问题Ⅱ:给定一个任何有限维代数A,是否存在仿射曲线X,使得H(X)=A?Brown在文献[2]中提出了如下问题:是否H(X)总是为拟遗传代数?     

非线性定常系统极限环的存在与唯一性

1.设a,l、m、n、b为实数,对于非线性定常系统 dx/dt=ax-y+lx~2+mxy+ny~2 dy/dt=x+bxy (1) 得到定理1 若a=0,且l-b=0或m~2-4n(n+b)≥0,则系统(1)在整个平面上不可能有极限环。定理2 当真a≠0,但l=0或l-b=0时,系统(1)可分别在两奇点O(0,0)、N(0,1/n)外围出现极限环,但不能同时存在,如存在必唯一。定理3 若n=0或n+b=0成立,则当a≠0时,系统(1)可存在包含原点O的极限环,但最多一个。     

两个关于Liénard方程极限环存在性定理

则(1)式或(1＇)式在(x,y)平面上至少存在一个极限环。 定理2 设ⅰ) 满足定理1的条件ⅰ)和ⅱ);     

二次系统（Ⅲ）m=0极限环的唯一性

文献[1]§20研究了二次系统极限环(2,2)分布的不可能性,其中p.553脚注1)猜想:二次系统(Ⅲ)m=0 在条件 下,当1 ax=y交椭圆     

一类二次系统极限环的分布

陈兰荪、王明淑解决了二次系统的Ⅱ类方程在δ=0时的极限环集中分布问题。我们解决了这类方程在δ≠0时的极限环集中分布问题。因此这一类二次系统极限环集中分布问题就完全被解决了。     

Morita系统环的IBN性

在环论研究中,IBN(不变基数)性质(参见文献[1])是一个非常重要的性质,只有在IBN环上的自由模才可定义其维数和秩,IBN环在代数K-理论和拓扑学中也有应用.另一方面,Morita系统环(ring of Morita context)是一个包含众多环类的非交换环,如矩阵环、自同态环和环的Morita等价等,它的IBN性引起人们的兴趣.本文证明了若M为有限生成右S-模,N为有限生成左S-模,则T为IBN环当且仅当R或S为IBN环.这一结果使许多重要的已知结论成为特例.     

对无环性的一个注解

众所周知,对下述非线性微分方程(?)=y—F(x),(?)=—g(x) (1)的研究是常微分方程定性理论的一个重要方面,对方程(1)的极限环的存在性、唯一性及唯三性筹已有非常丰富的结果,而对极限环的不存在性,许多结果是利用下面定理来得到的: