幂零群无不动点地作用于有限群

本文讨论容许一个幂零的无不动点自同构群的有限群的可解性,推广B.Scimemi[2]的结果,而得出下面的定理,幂零群A≤AutG,C_G(A)=1,若G有一个A-不变的幂零π—Hall子群H,GεH(π＇),且H的Sylow2—子群H_2 Abel.(?)a∈A,C_G(a)≤H,则H在G内有幂零的正规补群,特别地G可解本文有例说明存在一对群(A,G)满足本文的定理但Scimemi及文[1]的定理3.2都不适用.     

幂零群的若干充分条件

在文献[1]的基础上,改变-些条件得出G为幂零群的若干充分条件。利用弱C-正规,s-正规与弱左Engle元之间的关系获得了下面几个定理：①G的每个素数阶元均为G的弱左Engle元;如果2∈φ（G）,G的每个4阶循环子群均在G中弱C-正规,则G是幂零群。②设N〈3G,G／N幂零,2∈π（G）,若N的素数阶元均为G的弱左Engle元,且N的每个4阶循环子群也在G中弱C-正规,则G幂零。③如果G的每个素数阶元x为NG（（x））的弱左Engle元,并且〈x〉和G的每个4阶循环子群均在G中弱C-正规,则G是幂零群。④G的每个素数阶元均为G的弱左Engle元;如果2∈π（G）,G的每个4阶循环子群均在G中S-正规,则G是幂零群。⑤如果G的每个素数阶元x为NG（（x））的弱左Engle元,并且（x）和G的每个4阶循环子群均在G中弱S-正规,则G是幂零群。     

一类有限群的结构

利用无不动点的幂自同构确定了每个素数幂阶子群为 s-拟正规或自正规的有限群的结构 ,主要结果为 :定理 1　设 G为有限群 ,若 G的每个素数幂阶子群为 s-拟正规或自正规 ,则 G超可解 ,且 G为下列情形之一 :(1) G为幂零群 ;(2 ) G=H P,其中 H 为 G的正规 Able的 p′- H all子群 ,而 P=为 G的循环的 P- Sylow子群。 x在 H上的共轭作用诱导 H 的一个 p阶无不动点的幂自同构利用定理 1和定理 2可得 FATTAHI在文 [1]中给出的结果。定理 2　设 G为定理 1中的 (2 )型群 ,则 G中的每个子群为正规或为 abnorm al     

幂零群的若干充分条件

在文献[1]的基础上,改变一些条件得出G为幂零群的若干充分条件.利用弱C-正规,S-正规与弱左Engle元之间的关系获得了下面几个定理:①G的每个素数阶元均为G的弱左Engle元;如果2∈Φ(G),G的每个4阶循环子群均在G中弱C-正规,则G是幂零群.②设NG,G/N幂零,2∈π(G),若N的素数阶元均为G的弱左Engle元,且N的每个4阶循环子群也在G中弱C-正规,则G幂零.③如果G的每个素数阶元x为NG(〈x〉)的弱左Engle元,并且〈x〉和G的每个4阶循环子群均在G中弱C-正规,则G是幂零群.④G的每个素数阶元均为G的弱左Engle元;如果2∈π(G),G的每个4阶循环子群均在G中S-正规,则G是幂零群.⑤如果G的每个素数阶元x为NG(〈x〉)的弱左Engle元,并且〈x〉和G的每个4阶循环子群均在G中弱S-正规,则G是幂零群.     

2-Sylow子群的阶及元素最高阶和次高阶与A_8相同的有限群

讨论了群的2-Sylow子群的阶及元素的最高阶和次高阶与A_8相同的有限群.利用群的素图及外自同构群、幂零群的若干性质,得出结论:若群G的2-Sylow子群的阶及元素的最高阶和次高阶与A_8相同,则存在H■G,使得下列结论之一成立:(i)G/H?A_8,|G|=2~6·3~α·5~β·7,其中H为3~(α-2)阶且方指数整除3的幂零群,或5~(β-1)阶初等Abel群,或3~(α-2)·5~(β-1)阶且方指数整除15的幂零群;(ii)G/H?L_3(4),|G|=2~6·3~α·5~β·7,其中H为3~(β-2)阶且方指数整除3的幂零群,或5~(β-1)阶初等Abel群,或3~(α-2)·5~(β-1)阶且方指数整除15的幂零群.由此得到推论:若|G|=|A_8|,K_i(G)=K_i(A_8)(i=1,2),则G?A_8.     

容许一个无不动点自同构群的有限群

设G是一个有限群,G的自同构群A无不动点地作用于G,且(│G│,│A│)=1,本文证明了下面几个主要定理。 定理3.2 若G有A-不变的幂零Hall子群H,且H的Sylow2-子群H_2Abel,a∈A~#,C_G(a)≤H,则H在G内有幂零的正规补群,特别地G可解。 定理3.4 若a∈A~#,C_G(a)为奇阶,则G2-闭,特别地G可解。 定理3.8 进一步假定A的指数无平方因子,若G有A-不变的幂零Hall子群H使a∈A~#,C_G(a)≤H,则G幂零。 定理3.2和3.8 都是Thompson(14)关于无不动点自同构的著名定理的推广,也是Scimemi(13)结果的部分推广,定理3.4是Pettet〔8)结果的部分推广。     

有限p—幂零群的一个新刻划

推广了Itδ的结果,得到下述主要定理.定理1 设G是有限群,N(?)G,G/N p-幂零.那么(i)p为奇素数时,G p-幂零当且仅当N的p阶元均含于Z_(p∞)(G);(ii)p=2时,G 2-幂零当且仅当N的2.2~2阶元均含于Z_(2∞)(G).定理2 设G是有限群,N(?)G且G/N是幂零群.那么G是幂零群当且仅当N的素数阶元与2~2阶元均.含于Z_∞(G).此外,还证明了定理3 设G是有限群.则Z_(p∞)(G)=NI_(G)=∩{M|M为G的极大p-幂零子群}.     

有限群的p-幂零性的一个判定定理

设G是有限群,P是G的Sylowp-子群,其中p是一个素数.利用P的同阶子群的正规化子的p-幂零性以及同阶子群在G中的S-拟正规嵌入性质给出了群G是p-幂零群的一个判定定理.     

n阶幂零群的子群个数与其循环性的关系

我们可以证明,n阶循环群G的子群的个数是T(n)。本文在G是幂零群的假定下,证明其逆也成立,从而得到:n阶幂零群G是循环群(?)G的子群的个数是T(n)。我们先从讨论p-群开始。这里,要用到我们在[3]中建立的n阶群G的阶方程。     

c-可补子群与有限群结构的讨论

文中利用c-可补子群的性质讨论了有限群的p-幂零性,设G是一个与A4无关的有限群,且p∈π(G)使得(G,p-1)=1。如果G中存在一个正规子群N,使得G/N是p-幂零,且N的每个p2阶子群在G中c-可补,那么G是p-幂零群。     

两类有限单群的刻划

文[1]中提出了仅用群的"极大子群阶之集"来刻划有限复阶单群的猜想:"设G是有限群,M是有限复阶单群,则G≌M"当且仅当πs(G)=πs(M).这里πs(G)表示G的极大子群阶之集."并证明了这个猜想对M为阶小于106的复阶单群是成立的.这里对两类有限单群Suzuki无穷系列单群与Mathieu群Mi(i=11,12,22,23,24)证明上述猜想是正确的,即用群的"极大子群阶之集"来刻划两类有限单群.     

F-z-可补子群对p-幂零群的影响

设H是有限群G的一个子群,称H在G中是F-z-可补的,如果存在G的一个子群K,使得G=HK且H∩K≤Z∞(G),其中,是一个群系.首先利用p阶和p2阶子群的Np-z-可补性,得到如下结论:1)令G是与A4无关的有限群,p是|G|的最小的素因数,P是GNp(群G的Np-剩余类)的Sylow p-子群.如果P的每个p或4阶循环子群均在G中Np-z-可补,那么G是p-幂零群.2)令G有限群,p是|G|满足(|G|,p2-1)=1的素因数.令H是G的正规子群使得G/H是p-幂零的.若H的每个阶为p2的子群均在G中Np-z-可补,则G是p-幂零的.其次探讨Sylow p-子群的2-极大子群的U-z-可补性对p-幂零群结构的影响,得到如下结论:3)令p的|G|最小的素因数.若G与A4无关且Gp每个2-极大子群均在G中U-z-可补,则G是p-幂零的.     

幂零群的一些判别条件

若群G有一个幂零的正规子群H使得商群G/H幂零,并不能推出G幂零.但对正规子群加强条件由商群的幂零性可以得出原群的幂零性,主要讨论了一些特殊的正规子群构成的商群,比如Z(G),φ(G)等.     

次正规子群对有限群可解性的影响

研究了次正规子群对有限群结构的影响,得到了有限可解群的若干充分条件,证明了3-极大子群皆次正规的有限群的分类定理：设G是一个有限群,则G的极大子群皆次正规的充要条件是G为下列二型群之一：（1）幂零群;（2）G有一个正规的极大子群M,并且下列情况之一成立：（i）M是幂零群;（ii）M是pαq阶的p-基本群,即M是Sylowp-子群正规的内幂零群.     

关于有限群的幂零性与p-幂零性的一些判别

主要证明了如下两个定理：（1）假设Ⅳ是有限群G的一个正规子群使得G／Np-幂零群．如果N的Sylow P-子群P与G的p-幂零剩余G^p-N 之交P∩中每个p阶或4阶（当P=2的时候）元素均含于Z（NG（P））中，则G是p-幂零群． （2）假设H是有限群G的一个正规子群使得G／H是幂零群．如果对于｜H｜的每个素因数P和H的Sylow P-子群P，P与G的p-幂零剩余G^p-N 之交G^p-N 中每个P阶或4阶元素x都是NG（P） 的一个弱左Engle元素，则G是幂零群．     

有一个超可解子群其指数为素数的有限群

Kazarin和Korzjukov在[2]中描述了满足下述条件的有限群G的构造: (ⅰ) G是非超可解的,它有一个指数为素数的超可解子群M,并且M■G。 (ⅱ) Frattini子群Φ(G)=1。我们的工作是证明了下面的定理: 定理1 如果有限群G包含一个指数为素数的2-幂零子群,那么G是可解的。定理2 假设有限非可解群G包含一个子群M满足下列条件: (1) 指数|G:M|是素数,     

群、环、体论的一些近代成果

1.关于单群的问题当一个群G除了两个天然的正规子群G与{e}外就不再有其它的正规子群时便称为一个单群。质数元数的p元群是单群的平凡例子。从一定意义上说,单群的对立面是所谓Hamilton群,即其子群恒为正规子群者。于是p元群(p为质数)也是Hamilton群的平凡例子。因此,在通常的观点下,并不把p元群算作单群。历史上最早出现的(非交换)单群是Galois在1832年发现的交待群A_5。现在已熟知交待群A_n(n>4)均为单群。但除此以外,再要找出其它的单群即不是一件轻而易举的事     

关于Thompson定理的一个注记

证明有限群G是幂零的,如果满足:G′幂零,G有素数r阶自同构α使得rπ(CG(α)),并且G有α-不变的幂零极大子群H使得CG(α)≤Φ(H)且H的Sylow2-子群的幂零类≤2.该结果推广了Thompson定理.     

某些有限群的非单性

本文证明了下述定理:定理令 G 为有限群,K 和 L 是 G 的两个极大子群。如果 G 的每个真局部子群共轨地包含在 K 或 L 中,那么 G 的 Fitting 子群 F(G)≠1。特别地,G 不是非交换单群。这个定理推广了G.Pazderski 的结果:至多含有两个极大子群共轭类的有限群可解。     

极大幂零子群的阶为素数幂的有限群

主要用有限单群理论及其素图知识讨论了极大幂零子群的阶为素数幂的有限群,给出这类群结构的一些刻化.设G有限群,G的极大幂零子群的阶都是素数幂,则G为下列之一:1)G为p-群;2)G为pαqβ阶群,此时G为Frobenius群或2-Frobenius群;3)存在H△G,H为2-群,G/H同构下列群之一:A5、A6、A6·23、L2(7)、L2(8)、L2(17)、L3(4)、2B2(8)、2B2(32).进一步可得:当G/H≌L2(7)时,有G≌L2(7),其中H是2-群;当G/H≌L3(4)时,有G≌L3(4),其中H是2-群.