关于平稳时间序列中Yule——Walker方程的求解

在用平稳时间序列作预报中,离不开求Yule—Walker方程[1]的解。这个方程的系数矩阵是平稳时间序列一段的协方差矩阵,它一般是非负定的。在资料[2][3]中曾给出过求解Yule—Walker方程的递推公式,但此公式只适用于系数矩阵是正定的情况,而对非负定的情况,可以举出反例,说明这个公式不适用。本文的目的是用分块矩阵方法证明在系数矩阵正定时确有[2]中递推公式,论证方法不涉及Hilbert空间及其投影定理,结论按多维平稳时间序列形式叙述,而当系数行列式为零时,给出另一个求解的递推公式,这个公式及其证明似未曾见有。沿用资料[4]中记号,所谓优维平稳时间序列的Yule—Walker方程是指下面的矩阵方程:     

线性方程组AX＝b反问题特解的计算

利用实对称矩阵正定性的一个充要条件，给出线性方程组ＡＸ＝ｂ反问题正定（负定）特解矩阵的计算方法。     

关于线性代数方程组AX=B反问题的再讨论

本文研究线性代数方程组AX=b的反问题,在实对称半正定(半负定)矩阵类中有解的充要条件和几个重要推论。     

改进的非正定方差阵下证券组合投资模型

为了更全面的研究各类方差阵下的证券组合投资模型,在分析非负定方差阵下的证券组合投资模型[1]的基础上,利用线性代数的二次型及对称阵的相关理论知识,提出了非正定方差阵下证券组合投资模型的改进方法,使得模型中的方差阵最终转化成正定阵.此模型对于研究协方差矩阵为非正定的证券组合投资模型的最优投资比列系数有一定的参考价值.     

平稳序列中的一个问题

设实数矩阵C_n=(C_(ii))中C_ii=R_t(t=|i-i|,i,i=1,…,n 1,t==0,1,…,n),记号C_n≥0 (>0)表示C是半正定(正定)矩阵。本文绘出C_n是半正定矩阵的充要条件。在概率论中,平稳序列应用于气象、水文、地震等预报问题中,出现的协方差矩阵往往是半正定矩阵,因此就需要解决下面的一个问题: 设R_0,R_1,…,R_n是一串实数,组成形如下式的n 1阶对称矩阵:即当|i-i|=t时,C_(ii)=R_i(t=0,1,…,n;i,i,=1,…,n 1)。则当C_(n-1)为半正定矩阵时,R_n使C_n是半正定矩阵的充要条件是什么? 在[1]文中。已得到了当C_(n-1)为正定矩阵时的结果;在[2]文中,已得到了当C_(n-2)(n≥2)是正定矩阵,deiC_(n-1)=0时的结果。本文的目的是利用广义逆矩阵的性质,解决上面所提出的问题,即下面的定理1,2,而[2]、[1]文中的结果分别是它们的推论。容易看到,当R_0=0时,则C_n是半正定矩阵的充要条件是R_1=R_2=…=R=0,这时,没有多大意思,所以我们仅在R_0>0及n≥2的情况下进行讨论。     

解二次规划的Lagrange方法

本文讨论解二次规划问题的 Lagrange 方法。我们分析了解正定二次规划和某些半正定二次规划的对偶算法,指出这些算法可以从 Lagrange 方法直接导出。此外我们还给岀了解不定二次规划的一个新的 Lagrange 算法。这一算法在投影矩阵为不定矩阵时,利用广义的 Cholesky 分解技术由 Lagrange 方程解得二次目标函数的负曲率方向,以此作为该步迭代寻查方向。算法还采用了有效集策略。     

满足iljak猜想的矩阵

1972年iljak 提出了对大系统稳定性研究很重要的一个猜测:若A 是稳定矩阵,每一列至少有一个负元素,则存在正定矩阵W,使得A~TV+VA=-W 有非负正定解V.至今只对某类矩阵证得猜测成立.本文证明了对于广义负定矩阵和元素满足2|aii|>(?)|aij+aij|,aii<0的稳定矩阵,猜测是成立的.     

不等式约束下AXA*=B的Hermite最小二乘解

利用线性Hermite矩阵函数A-BX-(BX)*的最大最小秩与惯性指数,研究了Y-P的最大最小秩与惯性指数,其中Y为矩阵方程AXA*=B的Hermite最小二乘解,P是给定的Hermite矩阵.从而得到了Y>(<,≥,≤)P的充要条件.特别地,给出了Y的最大最小秩与惯性指数以及存在AXA*=B的正定(负定、半正定、半负定)Hermite最小二乘解的等价条件.     

利用矩阵正定、负定、不定性求多元函数极值

本文通过把多元函数化作一个二次型,求出二次型的矩阵,由矩阵的正定、负定、不定性求出多元函数在某点的极值,给出了求一般多元函数极值方法。     

半定规划与线性规划之异同

文章对半定规划和线性规划问题进行比较研究,概括介绍了两者的异同点.半定规划是将线性规划中的向量变量用对称矩阵变量代替,非负约束用半正定约束代替而得到,因此半定规划与线性规划有很多相似之处,而半定规划比线性规划更一般.     

D对称非负定矩阵反问题解和算法

讨论了D对称非负定矩阵反问题解和算法，给出了D对称非负定矩阵反问题有解条件的判别以及求解的MATLAB程序．     

矩阵的广义亚次正定与次Volterra乘子

推广了亚次正定矩阵的概念，即广义亚次正定矩阵和实方阵的次Volterra乘子的概念，讨论并给出了广义亚次定矩阵的一些基本性质及实方阵存在次Volterra乘子的条件。     

实对称半正定矩阵的三角（LL^T）分解

设A为n阶实对称半正定矩阵,若存在一个对角线上元素全为非负的下三角阵L,使A＝LL^T,称为对A的三角分解。本文讨论了实对称半正定矩阵的三角分解的存在性以及这种分解的唯一性的充要条件,最后给出了实对称半正定矩阵的三角分解的一种算法。     

实对称半正定矩阵的三角(LLT)分解

设A为n阶实对称半正定矩阵,若存在一个对角线上元素全为非负的下三角阵L,使A=LLT,称为对A的三角分解.本文讨论了实对称半正定矩阵的三角分解的存在性以及这种分解的唯一性的充要条件,最后给出了实对称半正定矩阵的三角分解的一种算法.     

关于非负正定矩阵的Löder序和预偏序的一个注记

指出对于非负正定矩阵的平方阵的减序,矩阵的非负正定性可以减弱为Hermmite矩阵,同时利用矩阵的组合关系,给出Hermmite矩阵的平方矩阵的*序的等价刻画.     

关于非负正定矩阵的L(o)der序和预偏序的一个注记

指出对于非负正定矩阵的平方阵的减序,矩阵的非负正定性可以减弱为Hermmite矩阵,同时利用矩阵的组合关系,给出Hermmite矩阵的平方矩阵的*序的等价刻画.     

一般线性常微分方程组解的稳定性

本文在引入函数矩阵正定的概念基础上,讨论了一阶和二阶线性非定常常微分方程组解的稳定性,给出了稳定、不稳定、渐近稳定的系数矩阵判别法.     

矩阵多项式的亚正定性

本文讨论了反对称矩阵方幂的正定性及其多项式矩阵的亚正定性和一类亚正定矩阵的方幂及其多项式矩阵的亚正定性问题,取得了一系列有用结果。     

关于非负正定矩阵的Lder序和预偏序的一个注记

指出对于非负正定矩阵的平方阵的减序,矩阵的非负正定性可以减弱为H ermm ite矩阵,同时利用矩阵的组合关系,给出H ermm ite矩阵的平方矩阵的*序的等价刻画.     

实对称矩阵半正定性的一个新判据

本文指出了一些文献以“主要主子式非负”作实对称矩阵半正定性判据的错误,并进而提出了一个新的判据,即:实对称矩阵为半正定的充分必要条件是其任意一个阶数最高的非奇异主子矩阵为正定矩阵.由此推进了半正定性的基本定理,简化了计算方法,有利于控制理论中二次型最优问题与稳定性问题的研究.