图族Sψ*r(k+m)+1∪(rk-1)K1的补图的色等价性定理

设ψ(k,m)表示把星图Sk+1的k度点与路Pm的一个1度点重迭后得到的图,Sψ*r(k+m)+1表示把星图Srk+1的rk个1度点分别与rψ(k,m)的每个分支的k个1度点(均邻接于ψ(k,m)的k+1度点)依次重迭后得到的图.证明了图族Sψ*r(k+m)+1∪(rk-1)K1的补图的色等价性及非色唯一性,进而推广了这一结果.     

图族Sψ*r(k+m)+1∪(rk-1)K1的补图的色等价性定理

设ψ(k,m)表示把星图Sk+1的k度点与路Pm的一个1度点重迭后得到的图,Sψ*r(k+m)+1表示把星图Srk+1的rk个1度点分别与rψ(k,m)的每个分支的k个1度点(均邻接于ψ(k,m)的k+1度点)依次重迭后得到的图.证明了图族Sψ*r(k+m)+1∪(rk-1)K1的补图的色等价性及非色唯一性,进而推广了这一结果.     

图Sp(m,m,…,m)(}r)∪(r-1)K1的补图的色等价性

令Sr l表示r 1个顶点的星，Pm表示m个顶点的路，φ(r，m)表示把Sr 1的r度点与Pm的一个1度点重迭后得到的图，S^p(m,m…,m)/r表示把rPm的每个分支的一个1度点分别与Sr 1的r个1度顶点重迭后得到的慧星图。通过研究图S^p(m,m,…,m)/r∪(r-1)K1的伴随多项式的分解，证明了其补图与图(r-1)Pm∪φ(r，m)的补图是色等价的。     

一类新的图簇的伴随分解定理及其补图的色等价性

设Pn是具有n个顶点的路,Sδ表示有δ=r+1个顶点的星图,把Pn的n个顶点与nSδ的每一个分支的r度顶点依次重迭后得到图PSnδ,运用网的伴随多项式的性质,讨论了图簇PSnδUtSδ的伴随多项式的因式分解定理,进而证明了它们的补图的色等价性.     

一类新图的伴随多项式的分解及其补图的色等价性

设Pn和Cn是具有n个顶点的路和圈,Sn是n个顶点的的星图,n G表示n个图G的无公共点的并。当m≥3是奇数时,图PSm+2-1(m+1)r是表示把2-1(m+1)Sr+1的每个分支的r度顶点分别与Pm的下标为奇数的2-1(m+1)个顶点重迭后得到的图,把图PS(2m+1)+(m+1)r中的两个r+1度顶点与2P3中的每个分支的一个2度点分别重迭后所得到的图为Ψ*(2,2,(2m+1)+(m+1)r),当m≥3是偶数时的此图记为Ψ*(2,2,(2m+1)+mr)。运用图的伴随多项式的性质,讨论了图簇Ψ*(2,2,(2m+1)+(m+1)r)∪K1和Ψ*(2,2,(2m+1)+mr)∪Sr+1的伴随多项式的因式分解式,若m=2kq-1,λn=(2nq-1)+2n-1qr,讨论了图簇Ψ*(2,2,λn)和Ψ*(2,2,λn)∪(n-1)K1的伴随多项式的因式分解式,进而证明了这些图的补图的色等价性。     

V*类图的伴随等价性

Pn表示n个点的路,Sk表示k阶星图.本文通过研究两族V*类图的伴随多项式的分解,得到了此类图的补图的色等价图的结构.     

一类稠密图的色唯一性

用Pn表示有n个顶点的路.Dn表示把K3的一个顶点与Pn-2的一个一度顶点重迭后得到的图.Fn表示把K3的一个顶点与Dn-2的一度点重迭后得到的图.用伴随多项式来讨论图的着色唯一性.得到Fn的补图色唯一的充要条件是n≠17.彻底解决了这类稠密图的色性.     

几类图的伴随多项式的分解及其色等价性分析

设Ρn和Cn分别表示具有n个顶点的路和圈,令Ψ2(,n)表示把路Ρn的一个1度点与Ρ3一个2度点重迭后得到的图,令φrm+1表示把(r-1)Cm+1的每个分支的一个2度点与Ρm+1的一个1度点重迭后得到的图,令δ=rm+1,ρφnδ表示由Ρn与φrm+1组合而成的图.我们运用图的伴随多项式的性质,讨论了图ρφnδ的伴随多项式,给出并证明了这些图簇的伴随多项式的因式分解式,进而证明了这些图类的补图的色等价性,得到了这些图的色等价图的结构特征.     

Γφ*G(i,j)r(2k+p)+1型图簇的伴随多项式的因式分解及色性

通过研究Γφ*G(i,j)r(2k p) 1类图簇的伴随多项式的因式分解,证明了这类图簇的补图的色等价图的结构性质和非色唯一性.     

三部图K(m,n,r)-A(|A|=2)的色唯一性

设G是简单图,用P(G,λ)表示图G的色多项式,令K(m,n,r)表示完全三部图.证明了1)当3≤m≤n≤r时,令s=1/√6√(n-m)2 (r-n)2 (r-m)2 12,若m n r＞2√3s 3s2,则K(m,n,r)-A(|A|=2)是色唯一图;2)当m≥4时,K(m,m,m)-A,K(m,m,m 1)-A,K(m,m 1,m 1)-A,(|A|=2)都是色唯一图;3)设n,k为非负整数,则当n＞k2 2√k2 6 k 2时,K(n-k,n,n)-A;当n＞k2 2√k2 6-k/3 2时,K(n,n,n k)-A;当n＞2√3k2 6 k2 2时,K(n-k,n,n k)-A(|A|=2)均为色唯一图.     

稠密图T(1,2,n)∪(∪iCui)的色等价刻画

研究稠密图T(1,2,n)∪(∪iCui)的色性,并刻画它的色等价图.其中,T(l1,l2,l3)(l1≤ l2≤l3)表示只有一个3度点,三个1度点,且唯一3度点到三个1度点的距离分别为l1,l2,l3的树,P(G,λ)和h(G,x)分别表示图G的色多项式和伴随多项式.     

图S_m∪S_(2t)的两种边幻和标号及其算法

研究了坌m,t∈N*图S m∪S2t的边幻和标号,得到了两种不同的边幻和算法A和B,给出了坌m,t∈N*图S m∪S2tt是具有边幻和常数C1=4+4m+5t和C2=5+2m+7t的边幻和图,其中图S m是具有m+1个顶点的星图,图S2t具有2t+1个顶点的星图,图S m∪S2t表示图S m和图S2t的并图.     

(￣)(∪I∈A Ui)∪(∪j∈B Pj)∪(∪k∈M Ck)色唯一的充要条件

Pn和Cn分别表示具有n个顶点的路和圈.Un表示由Pn-1的两个1度点分别与两个P3的2度点粘接得到的图.应用图的伴随多项式理论得到了(￣)(∪I∈A Ui)∪(∪j∈B Pj)∪(∪k∈M Ck)色唯一的充要条件.     

图ES∪rK1的色性分析

讨论了图簇ES(m m+1,...,m+1)r的伴随多项式的因式分解式,并证明了ES(m m+1,...,m+1)r∪rK1的补图不是色唯一的.     

具有5n+4个点的5部图的色性

设G是简单图，用P(G，λ)表示图G的色多项式，若P(G，λ)=P(H，λ)，则称G与H是色等价．令H～G，令{G}={H|H～G)，若对任意的图G有{G}={G}，称G是色唯一的．设G表示具有5n 4个点的完全5部图，令θ(G)=(m5(G)-2^n 2-2^n-1 5)／2^n-1，其中m5(G)表示G的6-独立分划个数．本文证明了θ(G)≥0且刻划θ(G)=0，1，3／2，2，5／2，13／4的图．利用此结果研究了图G—S的色性，其中S是图G某些边组成的集合，G—S表示从G中删去S中所有的边得到的图，进而得到许多色唯一的5部图．     

一类图的色唯一性

让W_(n,n-2)表示删去轮形图W_n中一条轮辐所得到的图.W(n,n-2,k)表示在W_(n,n-2)中由k个点u_1,u_2,…,u_t组成的独立集取代W_(n,n-2)中的2度点u,使得u_j(j=1,2,…,k)仅与u所相邻的两个点x,y相邻接而得到的。本文证明了当k=2,n≥4为偶数时,这类图是色唯一的。     

■色唯一的充要条件

Pn和Cn分别表示具有n个顶点的路和圈.Un表示由Pn-4的两个1度点分别与两个P3的2度点粘接得到的图.应用图的伴随多项式理论得到了(∪i∈AUi)∪(∪j∈BPj)∪(∪k∈MCk)色唯一的充要条件.     

(Cn∪Um)的色等价类

应用图的伴随多项式理论完整地刻画了与Cn∪Um的补图有相同色划分的图,其中Cn表示n个顶点的圈,Um表示由Pm-4的两个1度点分别与两个P3的2度点边接得到的图.     

一类图φ*(n,k+1)的优美性

设Pn和Sn分别表示有n个顶点的路和星图,φ*(n,k 1)表示Pn 1的一个1度点与Sk 1的k个1度点邻接后得到的图,本文根据优美图的定义,就φ*(n,k 1)的顶点集和边集,构造了与非负整数集间的两种映射(单射和双射)关系,从而证明了特殊图φ*(n,k 1)是优美图.     

稠密图“非汉字字符”的色等价刻画

研究稠密图T(1,2 ,n)∪ ∪iCui 的色性 ,并刻画它的色等价图 .其中 ,T(l1 ,l2 ,l3) (l1 l2 l3)表示只有一个3度点 ,三个 1度点 ,且唯一 3度点到三个 1度点的距离分别为l1 ,l2 ,l3的树 ,P(G ,λ)和h(G ,x)分别表示图G的色多项式和伴随多项式 .