中学数学解题中的“换元法”例析

中学数学解题中的“换元法”例析薛庆中学数学中有部分的题目如：①解方程：；②解方程：③解方程组：④分解因式：这些题目若用常规解法当然能解，但解起来毕竟很繁．若作一次理想的变换，结果呢？①令则原方程变为②令则原方程变为歹③原方程组变为④由于题中多次出现（...     

怎样教学文字叙述的几何证明题

学习几何离不开证明，而文字叙述的几何命题的证明是教学中的难点。怎样才能使学生学好证明文字叙述的几何命题，笔者有以下几点体会。一、要切实让学生学好几何基础知识学好定义、公理、定理等几何基础知识，对概念会深刻理解其含义，对定理、公理能彻底弄清题设与结论。二、必须使学生学好几项基本功1、学会正确审题，弄清已知什么，要证什么，并且会挖掘隐含条件。比如：求证等腰三角形两底角的平分线相等（见人教版初二《几何》第70页例4）。在证明时就要用到隐含条件中的公共角或公共边相等。2、学会正确识图与画图所谓识图，就是指观…     

球面上两点的最短距离的证明

教科书上对此问题只提出结论：“在球面上两点的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点之间的劣孤的长度．”《数学教学通讯》1983年2期上有文章给予了证明，简述如下；如图，M1M2为球面上两点，设则微分可以证明，y与R成减函数关系．所以当R最大等于球的半径时，MIMZ长有最小值，因此大圆劣孤M1M2长是M1到M2的球面最短距离．以上证明有两个问题：一是使用微分已超出高中数学范围；二是此种证法先人为主地规定了，M1到M2的最短路线是一道圆孤，只是去找最小的圆孤．为什么？没有论证．笔者提出一种证明方法，可以避免上述两个问题．…     

微积分客观题解法例说

客观题指能给答案以客观评分的题目，可分为填空题、选择题和判断题三种，其中判断题实质上是给出“是”与“非”两种答案供学生选择的选择题。这类题的特点是考试题量大，知识覆盖面宽，评分客观公正，并可采用电脑评卷，使评卷的效率和信度更高，因而这类题在各类考题中所占比重都较大。但各类教科书对其解法都未谈及，下面以微积分中的例题来谈谈客观题的解法。1填空题填空题是在一个正确命题中，留出一些关键性的空缺由学生填写，使其成为一个完整、正确命题。这类题有题意明确见空即填的，也有需借助于简短、明确的指导语，才能正确填…     

蕴涵关系与数学命题

数学推理命题的典型形式为“如果有条件A,那么有结论B”。现行的中学课本,把命题描述为“判断一件事情的句子”,而命题的结构是这样指出的:“每个命题都可分解为题设与结论两个部份”。其实,题设与结论本身也是命题。所以,中学课本中的命题是由题设与结论两个命题组成的复合命题。 命题演算中蕴涵关系“A→B”(读为A蕴涵B)定义为“非A或B”,通常称为实质蕴涵。也就是“A→B”为假,当且仅当A真且B假时。它的真值表为:     

F推理格式及其应用

Ｆ命题演算是Ｆ逻辑的基本内容，本文引进了Ｆ推理格式的概念，并证明了它的一些基本性质，从而，Ｆ命题的演算可以按照一定的Ｆ推理格式进行推理论证，这样才能导出正确的结论．另外，它又为推断Ｆ逻辑公式的相容性提供了理论方法基础．     

巧用基本不等式及其变形式解IMO题

数学竞赛题是课本基础知识和技能技巧的结晶．大家熟知的基本不等式是：当a、b∈ER+，则：①（a－b）2由它们可以推出如下变形式：等，其中当且仅当a=b时取等号．巧用这些基本不等式及其变形式，结合均值不等式等中学课本的其它知识及技能，也能使一些IMO题获解，现特举如下几例，供参考．例1设X1，X2，…，Xx为两两不相等的正整数，求证：所以由上面两式即得原不等式成立．例2在ABC中，三边长分别是IMO）．证明：令，代人求证式中，展开共整理后换为证明，即要证，其证法如下：证法一：由已知不等式③得：证法二：由不等式④得证法三…     

关于无 穷小量等价命题的推广

定理设｛ａｎ｝与｛Ｂｎ｝为有界变量，若有（记Ｂ－１＋…＝ｐ－ｋ＝０），其中　　　　　　　　　　　　　且　　　　　　　　　　则｛ａｎ｝与｛Ｂｎ｝是等价的无穷小量．即有　　　　　　　　　　　　　　　当　　　　　　　　　上述无穷小量等价命题中当ｋ＝１时，就是姜天权教授［１］的结果，且本文下述证法也同时给出了另一种借助于母函数思路的幂级数方法，它也不同于青岛大学山其骞教授文［２］的论证方法．我们的方法比较简明且有推广．定理的证明：若Ｂｎ→０则显然可得ａｎ→０（当ｎ→＋∞）．今设ａｎ→０要证Ｂｎ→０（当ｎ…     

一道前苏联赛题的探究

1991年全苏数学冬令营第五天竞赛第1题是：已知数列｛an｝满足且a1=1，证明对所有的n＞l，数恒为自然数．文献［1］中曾给出过证明，但其证较繁难，且对a1=1有较多的依赖，不易进行推广．本文先对原题作演变，给出简证，再对a1的值进行推广．注意到条件（1）改写为，作代换，可将原题演变为命题1已知数列｛bn｝满足且则对所有的都恒为自然数．证；只须用数学归纳法证明一个更加的命题：在命题1的题没下，数1）都是自然数（n＞1时）．，放结论成立；设当n=k时结论成立，则当时，有2由归纳假设知也是自然．证毕．下面要探究的一个问题是：对满…     

关于方程组的同解性

本文是本刊上期登载的《方程的同解性》的续篇。在中学数学里对于多元一次方程组,通常用代入消元法或加减消元法求解;而对二元二次方程组只讲一些特殊形式的特殊解法,其中有通过因式分解“降次”的方法。本文着重对上述这些解法的同解性作些讨论。     

Menelaus逆定理浅探

l定理钱探Menelaus定理是初等几何中证明共线点的一个有力工具，为了证明它，一般我们先证明了以下的Menelaus逆定理．定理1设面ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB被一直线分别截子点X、Y、Z（图1），则有：此定理在初等几何中有很广泛的应用，介于接受能力，中学数学并未提及此定理．下面，我们由它得出如下一个易于中学生接受，同时在中学几何又很有用的定理，以体现高等数学对中学数学的指导．定理2设过凸ABC的一个顶点C任作一直线，分别分对边AB及不过此顶点的中线AD（或BM）为两部分，其分点分别为F、E，则（如图2）：此定理…     

由一道函数习题所引起的联想

在教学过程中，我发现华东师大版数学教材八年级下册第十八章《函数及其图象》的复习题C组中有这样一道题目，现摘抄如下：将函数y=2x＋3的图象平移，使它经过点（2，1），求平移后的直线所对应的函数关系式。你能想出几种不同的平移方法？请和同学们交流一下。现将这道题解答如下：在求函数关系式中，我们可以用待定系数法求解，因为平移后的直线与已知直线平行，所以k值相等。可以设平移后的直线解析式为y=2x＋b。由题意得b=-5，所以函数的关系式为y=2x-5。     

复数方程解法探讨

复数方程在近年来的高考和竞赛试题中经常见到，由于它的类型多，解法比较灵活在具体处理时难以入手，下面结合一些实例,来归纳复数方程的解法。1利用复数相等的充要条件根据“两复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等”，可以把复数集上的方程转化为实数集上的方程。例1设z∈C，解方程z-2|z|=-7＋4i（1992年全国高考题）。解设依题意有相根复数相等的充要条件,得解此方程组并经检验得x=3，y＝4或x=5／3，y＝4.所以一l＝3＋4S，12＝50＋4d2公式法若复数方程是一元二次的可用一元二次的求根公式；若是二项方程的可利用复数的开方公…     

环面T~2上的拓扑传递性与度量传递性

如果一个动力系统是度量传递的可以证明它也是拓扑传递的。但是，一个动力系统是拓扑传递的却不一定推出它是度量传递的．对此，Morse曾作如下猜想：对于解析的或具有某种光滑度的动力系统，拓扑传递性可能蕴含度量传递性．对环面T2上的解析动力系统，笔者利用极限集的性质证明上述猜想是正确的。这种方法可能有利于对更复杂的情形下的Morse猜想的证明。     

你了解纸张吗?

读者朋友，你是否有兴趣检测一下自己是“知识匮乏”还是“学识渊博”？本刊推出的这个小栏目以我们日常生活中司空见惯的小事物设题求问。对一些看似简单的题目，您可能还真要动动脑筋。请您在回答完最后一道题之前不要看答案，否则，测试就失去意义。１．公元２世纪，中国制造出的第一张纸的主要原料是：眼a演破布眼b演树皮眼c演稻草２．世界上新闻纸的生产大国是：眼a演俄罗斯眼b演加拿大眼c演美国３．１３世纪由意大利人发明的在纸上印上水痕的方法叫做：眼a演掷骰子眼b演合股线眼c演水印４．第一个用传统纸币替代合金钱币的国家是：眼a…     

一题多解多变法在数学素质教育中的作用

1一题多解一题多解，就是尽可能用多种不同方法去解决同一道题．通过一题多解练习，可以提高题的利用率，有利于提高学生分析问题、解决问题的能力，达到熟练掌握知识和运用知识的目的，更重要的是可以培养学生的思考能力和创造能力，这正是培养学生的数学素质的主要方面．例1用数字以0，1，2，3，4，5组成多少个无重复数字的5位数？解法1：从0，1，2，3，4，5中任取5个数字的排列种数是，在这些排列里包括两类：一类是0在首（万位）的排列，有种，另一类是0不在首位的排列，因此符合要求的5位数是：解法2：组成题中的5位数可分2步：（1）确…     

在论证几何题时应注意图形的一般性

对于未给出图形的几何证题,在论证时我们常需考虑所画的图形是否具有一般性。这个老生常谈的问题,本应引起我们充分的重视,但在实践中却往往又被忽视了。因此,导致对一些题目的论证是不严格的,甚至是错误的。本文将就什么是图形的一般性和它与论证的关系谈谈个人的看法,不当之处,请批评指正。什么是图形的一般性呢?这个问题在理论上是简单的,因为“命题有真有假。正确的命     

有比较才能有鉴别——“工程问题”两种教法的评析

【教法一】 出示： 1．一项工程8天完成，平均每天完成几分之几？ 2.一项工程每天完成1／5，几天可以完成全工程？ 师：这两题的数量关系式各是怎样的？（根据学生回答板书）     

结合化学习题浅谈学生思维能力的培养

一、一题多解──拓宽思路．诱导思维一道化学习题往往有多种不同解法。在教学中，启发引导学生广开思路，积极思维，充分运用所学知识，以多个角度分析同一个问题，利用不同的方法进行来解，可拓宽思路开阔视野，使学生的思维得以深化。例，向100mL，Fecl3溶液中通入标准状况下的H2S2－24L，设qS全部被吸收后，再加入过量钱粉，持反应停止后，设得溶液中含有0．6ed金周阳离子，则原Fap溶液的物质的量浓度是多少？解法1：引导学生根据化学方程式求解：ZFap十孔S＝ZFWh＋ZHQ＋S4（l）反应的nmpo·Zed生成的nrA二0·ZI’x）ln。二0·…     

一道矩阵习题的多种解法

在财经类中专学校通用教材《数学》（高等教育出版社）第4册中，复习题十第7题是一道求解矩阵方程组的问题．这类问题本书中仅在此出现一次，它的形式特殊，求解难度较大．对此笔者探寻出下列解法．题目：已知和矩隈议程组，求末知数矩阵X和Y．解1：把分块矩隈和分别叫做该议程组的系数矩隈和增广矩隈，利用增广矩阵变换法求解．对方程组的增广矩阵施行行的初等变换，将其中系数矩阵变成单位矩阵就可求出未知数矩阵X和Y．解2：利用逆矩阵法求解，矩阵方程组写成矩阵形式：因此对如下矩阵的行施一系列初等变换：解3：利用消无法求解：解方…